專題3.5圓心角、弧、弦之間的關(guān)系（舉一反三講義） 【浙教版】TOC\o"13"\h\u【題型1圓的對稱性】 2【題型2由圓心角、弧、弦之間的關(guān)系判斷結(jié)論正誤】 4【題型3由圓心角、弧、弦之間的關(guān)系求長度】 7【題型4由圓心角、弧、弦之間的關(guān)系求角度】 11【題型5由圓心角、弧、弦之間的關(guān)系求弧度】 14【題型6由圓心角、弧、弦之間的關(guān)系求面積】 17【題型7由圓心角、弧、弦之間的關(guān)系求周長】 22【題型8由圓心角、弧、弦之間的關(guān)系證明】 26知識點1圓的對稱性1.圓是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心．2.圓是軸對稱圖形，過圓心的任意一條直線都是它的對稱軸．3.圓的旋轉(zhuǎn)對稱性將圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度，所得的圖形都能與原來的圖形重合，所以圓是特殊的中心對稱圖形，圓心是對稱中心．知識點2弧、弦、圓心角1.圓心角及其所對的弧、弦的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．如圖，①如圖，①∠AOB=∠C?②A③AB=推論：（1）在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等．如上圖，如上圖，②AB?①∠AOB=∠C③AB=（2）如上圖，③AB=CD如上圖，③AB=CD?①∠AOB=∠C②AB=由圓心角、弦、弧的關(guān)系及推論可知，在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧（同為優(yōu)弧或劣?。?、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余兩組量都分別相等，簡稱“知一推二”．2.圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等．【題型1圓的對稱性】【例1】如圖，正方形的四個頂點在直徑為4的大圓圓周上，四條邊與小圓都相切，AB，CD過圓心O，且AB⊥CD，則圖中陰影部分的面積是(

)A．4π B．2π C．π 【答案】C

【分析】由于圓是中心對稱圖形，則陰影部分的面積等于大圓的四分之一，即可求解．【詳解】解：由于圓是中心對稱圖形，則陰影部分的面積等于大圓的四分之一．故陰影部分的面積=1故選：C．【點睛】本題利用了圓是中心對稱圖形，圓面積公式求解．【變式11】下列說法不正確的是（

）A．圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形 B．圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，都能與自身重合C．圓的對稱軸有無數(shù)條，對稱中心只有一個 D．圓的每一條直徑都是它的對稱軸【答案】D【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；軸對稱圖形的定義：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形．【詳解】解：A．圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，此說法正確，故A不合題意；B．圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，都能與自身重合，說法正確，故B不合題意；C．圓的對稱軸有無數(shù)條，對稱中心只有一個，說法正確，故C不合題意；D．圓的每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，原說法錯誤，故D符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．【變式12】下圖中，每張方格紙上都畫有一個圓，只用不帶刻度的直尺就能確定圓心位置的是(

)A. B. C. D.【答案】D

【分析】圓心是圓中兩條不平行的弦的垂直平分線的交點，因此看圖中弦的垂直平分線是否為網(wǎng)格線便可求解．【詳解】解：觀察圖形，根據(jù)圓的軸對稱性，可知D是正確的，故選D．【點睛】本題考查了圓心的確定方法，網(wǎng)格內(nèi)的圖形問題須充分利用格線互相垂直的特點．【變式13】在⊙O中有兩個三角形：△AOB和△COD，點A，B，C，D依次在⊙O上，如圖所示．若這兩個三角形關(guān)于過點O的直線l成軸對稱，則點B關(guān)于直線l的對稱點是．【答案】C【分析】根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：△AOB和△COD關(guān)于過點O的直線l成軸對稱，如圖所示，∴點B關(guān)于直線l的對稱點是點C，故答案為：C．【點睛】題目主要考查軸對稱圖形的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【題型2由圓心角、弧、弦之間的關(guān)系判斷結(jié)論正誤】【例2】如圖，在⊙O中，AB是直徑，點C，D，E在圓上，AC=2，AD=6，AE=8，AB=10．以下結(jié)論：①AD=CE；②AE=BD；③AD+A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】連接CE、DB，由AD<CE，得到AD<CE，所以①錯誤；由AB是直徑，得到∠ADB=90°，利用勾股定理求出BD的長，進(jìn)而可判斷BD=AE，AD+【詳解】解：連接CE、DB，如圖，∵AC=2，AE=8，∴CE>AE?AC，即CE>6，而AD=6，∴AD<CE，∴AD∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，∴BD=A∵AE=BD=8，∴BDAD+∵BDAD+故選：B．【點睛】本題主要考查同弧或等弧所對的弦相等，解題的關(guān)鍵是弧長與弦長的相互轉(zhuǎn)化．【變式21】下列說法中，正確的是（

）A．長度相等的弧是等弧 B．在同圓或等圓中，弦相等則所對的弧相等C．優(yōu)弧一定比劣弧長 D．在同圓或等圓中，圓心角相等則所對的弦相等【答案】D【分析】根據(jù)圓心角，弧，弦之間的關(guān)系一一判斷即可．【詳解】A項，在同圓或等圓中，長度相等的弧是等弧，故原說法錯誤，本項不符合題意；B項，在同圓或等圓中，弦所對的弧有優(yōu)弧或劣弧，兩弧不一定相等，故原說法錯誤，本項不符合題意；C項，在同圓或等圓中，優(yōu)弧一定比劣弧長，故原說法錯誤，本項不符合題意；D項，在同圓或等圓中，圓心角相等則所對的弦相等，說法正確，本項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握圓心角，弧，弦之間的關(guān)系．【變式22】（2425九年級上·全國·假期作業(yè)）如圖，在⊙O中，滿足AB=2CD，則下列對弦AB與弦CD大小關(guān)系表述正確的是（A．AB>2CD B．AB<2CD C．AB=2CD D．無法確定【答案】B【分析】本題考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，如圖，取AB的中點E，連接AE，BE．證明AE=EB=CD，再利用三角形的三邊關(guān)系解決問題．【詳解】解：如圖，取AB的中點E，連接AE，BE，則AB=2∵AB=2∴AE=∴AE=EB=CD，∵AE+EB>AB，∴2CD>AB．故選：B．【變式23】如圖，點A，B，C，D是⊙O上的四個點，且AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．AB=CD B．OE=OF C．∠AOB=∠COD 【答案】D【分析】在同圓中，根據(jù)圓心角、弧和弦之間的關(guān)系即可判斷．【詳解】解：在⊙O中，∵AB=CD∴AB=CD故A、C選項正確，不符合題意；∵AB=CD，OA=OD，OB=OC∴△OAB≌△ODC∴S△OAB∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴12∴OE=OF故B選項正確，不符合題意．故選D【點睛】本題考查圓的對稱性，理解同圓中圓心角、弧和弦之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【題型3由圓心角、弧、弦之間的關(guān)系求長度】【例3】（2025·安徽合肥·二模）如圖，圓中兩條弦AB、CD相交于點E，其中兩條劣弧AC、BD的度數(shù)分別為60°、120°，圓O的半徑為5，AD=8，則CD的長為．【答案】3+43/【分析】本題主要考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，連接AO,CO,AC，可得∠AOC=60°,∠ADC=30°,∠BAD=60°，可得△ACO是等邊三角形，∠AED=90°，進(jìn)入得出AC=AO=CO=5，再根據(jù)含30°直角三角形得性質(zhì)得AE=4，然后根據(jù)勾股定理求出DE,CE，則答案可得．【詳解】解：連接AO,CO,AC，∵AC=60°,∴∠AOC=60°,∠ADC=30°,∠BAD=60°，∴∠AED=90°．∵AO=CO，∴△ACO是等邊三角形，∴AC=AO=CO=5．在Rt△ADE中，∠ADE=30°,AD=8∴AE=4．根據(jù)勾股定理，得DE=A∴CD=DE+CE=43故答案為：43【變式31】（2425九年級上·山西呂梁·期中）如圖，AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若BC=CD=DA=6，則⊙O的直徑AB為．【答案】12【分析】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)與判定．如圖，連接OD、OC．根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系證得△AOD是等邊三角形，則⊙O的半徑長為6；即可求解．【詳解】解：如圖，連接OD、OC．∵AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若BC=CD=DA=6，∴AD=∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°．又OA=OD，∴△AOD是等邊三角形，∴OA=AD=6，∴⊙O的直徑AB為12故答案為：12．【變式32】（2425九年級上·陜西渭南·期末）如圖所示，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半徑OA=4，點F在AB上，且BF=2AF．點C、D分別在線段OA、OB上，CD=4，E為CD的中點，連接EF．在CD滑動過程中（CD長度始終保持不變），當(dāng)EF取最小值時，BD的長為【答案】2【分析】本題考查弧與圓心角的關(guān)系，線段最小值問題，等邊三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確當(dāng)O，E，F(xiàn)共線時，EF的值最小，此時∠EOD=60°．連接OF，OE，結(jié)合題意得∠BOF=60°，再求出當(dāng)O，E，F(xiàn)共線時，EF的值最小，此時∠EOD=60°，得△DOE為等邊三角形，即可求解．【詳解】解：如圖，連接OF，OE，∵∠AOB=90°，BF=2∴∠BOF=60°，∵E為CD的中點，∴OE=CE=DE=1∵OF=4，∴EF≥OF?OE=2，∴當(dāng)O，E，F(xiàn)共線時，EF的值最小，如圖，此時，∠EOD=60°，∵OE=DE，∴△DOE為等邊三角形，∴OD=OE=2，則BD=OB?OD=2，故答案為：2．【變式33】如圖，點A，B，C在半徑長為4的⊙O上，點D，E分別是弦AB，弦BC的中點，連接DE，若弧AB的度數(shù)為70°，弧BC的度數(shù)為【答案】2【分析】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，三角形中位線定理以及勾股定理的運(yùn)用，題目的綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線構(gòu)造直角三角，連接OA，OC，AC，作OF⊥AC于點F，根據(jù)已知得∠AOC=120°，可得OF=2，CF=23，所以AC=4【詳解】解：連接OA，OC，AC，作∵弧AB的度數(shù)為70°，弧BC的度數(shù)為50°，∴∠AOC=120°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，AC=2CF=2AF，∵OC=4，∴OF=1∴CF=3∴AC=43∵點D，E分別是弦AB，弦∴DE是△ABC的中位線，∴DE=1故答案為：23【題型4由圓心角、弧、弦之間的關(guān)系求角度】【例4】如圖，⊙O經(jīng)過五邊形OABCD的四個頂點，若∠AOD=150°,∠A=65°,∠D=60°，BC所對的圓心角的度數(shù)為°．【答案】40【分析】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．連接OB、OC，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)得∠OBA=∠A=65°,∠OCD=∠D=60°，則根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠AOB=50°,∠COD=60°，則∠BOC=∠AOD?∠AOB?∠COD=40°，于是得到BC的度數(shù)為【詳解】解：如圖，連接OB、∵OA=OB,OC=OD，∴∠OBA=∠A=65°,∠OCD=∠D=60°，∴∠AOB=180°?2×65°=50°,∠COD=180°?2×60°=60°，∴∠BOC=∠AOD?∠AOB?∠COD=150°?50°?60°=40°，即BC所對的圓心角的度數(shù)為40°，故答案為：40．【變式41】（2425九年級上·貴州黔西·階段練習(xí)）如圖，BC=CD=DE，已知AB是⊙O的直徑，∠COD=35°，那么A．40° B．70° C．75° D．105°【答案】C【分析】本題考查了弧、弦、圓心角的關(guān)系，由BC=CD=DE可得【詳解】解：∵BC=∴∠BOC=∠DOE=∠COD=35°，∴∠BOE=35°×3=105°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AOB=180°，∴∠AOE=180°?∠BOE=75°，故選：C．【變式42】（2425九年級上·山東威海·期末）如圖，BC是半圓的直徑，點A，D在半圓上，且AB=AD，若∠B=56°，則弧AD的度數(shù)為°．【答案】68【分析】本題考查了弦與圓心角的關(guān)系，三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)；取BC的中點O，連接AO,DO，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出∠AOB=68°，進(jìn)而根據(jù)弦與圓心角的關(guān)系，即可求解．【詳解】解：如圖所示，取BC的中點O，連接AO,DO，∵OA=OB，∠B=56°，∴∠AOB=180°?2∠B=180°?112°=68°；∵AB=AD，∴AB=∴∠AOD=∠AOB=68°，即弧AD的度數(shù)為68°；故答案為：68．【變式43】（2025·云南楚雄·三模）如圖，點A，B，C在⊙O上，C是AB的中點，若∠AOB=160°，則∠OAC的度數(shù)是（

）A．10° B．40° C．50° D．60°【答案】C【分析】本題考查圓心角與弧的關(guān)系，圓心角與圓周角的關(guān)系．連接OC，由點C是劣弧AB的中點得AC=BC，故∠AOC=∠BOC=80°，再由AO=OC得到【詳解】解：如圖，連接OC，∵點C是劣弧AB的中點，∴AC∴∠AOC=∠BOC，∵∠AOB=160°，∴∠AOC=∠BOC=80°，∵AO=OC，∴∠OAC=180°?80°故選：C．【題型5由圓心角、弧、弦之間的關(guān)系求弧度】【例5】（2425九年級上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）在半徑為1的⊙O中，弦AB的長為1，則弦AB所對弧的度數(shù)．【答案】60°或300°【分析】本題考查了圓中弧、弦、圓心角的關(guān)系，由題意得△AOB是等邊三角形，據(jù)此即可求解【詳解】解：如圖所示：由題意得：OA=OB=AB=1，∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB=60°∴弦AB所對優(yōu)弧的度數(shù)為300°，所對劣弧的度數(shù)為60°，故答案為：60°或300°【變式51】如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC=CD=DE，∠BOC=42°，那么弧AE度數(shù)等于．【答案】54°/54度【分析】本題主要考了圓心角、弧、弦的關(guān)系．注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．根據(jù)圓心角與弧的關(guān)系可求得∠BOE的度數(shù)，從而即可求解．【詳解】∵BC=CD=DE∴BC=∴∠BOE=3∠BOC=126°，∴∠AOE=180°?∠BOE=54°，∴弧AE度數(shù)等于54°．故答案為：54°．【變式52】（2425九年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，在△ABO中，∠AOB=90°，以O(shè)為圓心，OA長為半徑作⊙O，分別交AB、BO于C、D．若∠B=40°，則CD的度數(shù)是（

）A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】A【分析】本題主要考查了等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，弧與圓心角的關(guān)系，先由三角形內(nèi)角和定理得到∠A=50°，再由等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求出∠AOC=80°，則∠COD=10°，據(jù)此可得答案．【詳解】解：如圖所示，連接OC，∵∠AOB=90°，∠B=40°，∴∠A=90°?40°=50°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=50°，∴∠AOC=180°?50°?50°=80°，∴∠COD=10°，∴CD的度數(shù)是10°；故選：A．【變式53】如圖，已知AB、CD是⊙O的兩條直徑，且∠AOC=50°，過點A作AE∥CD交⊙O于點E，則弧AE的度數(shù)為

【答案】80°/80度【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，圓周角定理等知識點，連接EO，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠A=∠AOC，根據(jù)圓周角定理求出∠EOB，再求出EDB的度數(shù)，即可求出本題答案．【詳解】解：連接EO，

∵∠AOC=50°，AE∥∴∠A=∠AOC=50°，∵OA=OE，∴∠A=∠E=50°∴∠EOB=2∠A=100°，∴EDB的度數(shù)是100°，∵AB、CD是⊙O的兩條直徑，∴AEB的度數(shù)是180°，∴AE的度數(shù)是180°?100°=80°，故答案為：80°．【題型6由圓心角、弧、弦之間的關(guān)系求面積】【例6】如圖，A，B是⊙O上的點，∠AOB=120°，C是AB的中點，若⊙O的半徑為2，則四邊形ACBO的面積為（）A．3 B．2 C．4 D．2【答案】D【分析】根據(jù)在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等得到∠AOC=∠BOC=60°，易得ΔOAC和Δ【詳解】解：連OC，如圖，∵C是AB?的中點，∠AOB=120°∴∠AOC=∠BOC=60°，又∵OA=OC=OB，∴ΔOAC和∴S故選：D．【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．【變式61】如圖，點A，B，C，D都在⊙O上，圓的半徑為2，且CB=CD=2，AB=AD，則該S四邊形ABCD=

A．43 B．23 C．33【答案】A【分析】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，勾股定理．連接AC,求出ADC=ABC，求出AC是圓的直徑，根據(jù)勾股定理求出AD、AB，根據(jù)【詳解】解：連接AC,

∵CB=CD,AD=AB，∴DC=BC，∴ADC=即AC是圓的直徑，∴∠D=∠B=90°，∵圓的半徑為2，∵AC=4，∵CB=CD=2，由勾股定理得：AD=AB=4∴S四邊形故選:A．【變式62】如圖，點A，B，C在⊙O上，順次連結(jié)AB，BC，CA，且ACB=210°，AC(1)求∠BAC的度數(shù)；(2)若⊙O的半徑為3．求△ABC的面積．【答案】(1)∠BAC=30°(2)S【分析】本題考查了圓中弧、弦、角的關(guān)系，垂徑定理以及勾股定理等知識點，掌握相關(guān)結(jié)論即可．（1）根據(jù)BC=ACB（2）求出AB的度數(shù)可得AB=AC，過點A作AD⊥BC交BC于點D,連接OB,OC，分別求出BC,AD即可求解．【詳解】（1）解：∵ACB∴BC∴∠BAC=30°．（2）解：∵ACB∴AB∴AB=AC，如圖，過點A作AD⊥BC交BC于點D,連接OB,OC，則AD過O，由（1）可得∠BOC=60°．∴∠BOD=1∵⊙O的半徑為3，∴OB=3,BD=1∴AD=OA+OD=3+3∴S【變式63】（2425九年級上·遼寧盤錦·期中）如圖，在⊙O中，C為AB的中點，CD⊥OA于點D，CE⊥OB于點E．(1)求證：CD=CE．(2)若∠AOB=120°，OA=6，求四邊形DOEC的面積．【答案】(1)見解析(2)9【分析】（1）根據(jù)弧、圓心角的關(guān)系得OC平分∠AOB．進(jìn)而利用角平分線的性質(zhì)定理即可得證．（2）連接OC．由∠AOB=120°，得∠AOC=60°．進(jìn)而得∠OCD=30°．利用30度直角三角形的性質(zhì)得OD=12OC=3，進(jìn)而根據(jù)勾股定理得CD=OC【詳解】（1）證明：如圖，連接OC．∵C為AB的中點，∴AC∴∠AOC=∠BOC，∴OC平分∠AOB．又∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD=CE．（2）解：如圖，連接OC．由（1）得∠AOC=∠BOC，∵∠AOB=120°，∴∠AOC=60°．∵CD⊥OA，∴∠CDO=90°，∴∠OCD=30°．∵OC=OA=6，∴在Rt△ODC中，OD=∴CD=O∴S同理，可得S△CEO∴S【點睛】本題主要考查了弧、弦、圓心角的關(guān)系，角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理，30度直角三角形的性質(zhì)及直角三角形的兩銳角互余，熟練掌握弧、弦、圓心角的關(guān)系，角平分線的性質(zhì)定理及勾股定理是解題的關(guān)鍵．【題型7由圓心角、弧、弦之間的關(guān)系求周長】【例7】如圖，點P1~P8是⊙O的八等分點．若△P1P3P

A．a(chǎn)<b B．a(chǎn)=b C．a(chǎn)>b D．a(chǎn)，b大小無法比較【答案】A【分析】連接P1P2,P2P3，依題意得P1P2=P2P【詳解】連接P1

∵點P1~P8∴P1P∴P又∵△P1P四邊形P3P4∴b?a=P3=在△P1∴b?a=故選A．【點睛】本題考查等弧所對的弦相等，三角形的三邊關(guān)系等知識，利用作差比較法比較周長大小是解題的關(guān)鍵．【變式71】如圖，已知⊙O的半徑等于2cm，AB是直徑，C，D是⊙O上的兩點，且AD=DC=A．8cm B．10cm C．12cm D．16cm【答案】B【分析】連接OD、OC，根據(jù)圓心角、弧、弦間的關(guān)系證得△AOD是等邊三角形，然后由AD=DC=【詳解】解：如圖,連接OD、OC．∵AD∴∠AOD=∠DOC=∠COB，AD=DC=CB；∵∠AOD+∠DOC+∠COB=180°，∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°；∵OA=OD，∴△AOD是等邊三角形，⊙O的半徑等于2cm，∴AD=OD=OA=2cm；∵AD=DC=CB，∴AD=CD=BC=OA=2cm；∴四邊形ABCD的周長為:AD+CD+BC+AB=5×2=10cm;故選：B．【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦間的關(guān)系與等邊三角形的判定與性質(zhì)．在同圓中，等弧所對的圓心角相等．【變式72】如圖所示，A、B是半徑為2的⊙O上的兩點，若∠AOB=120°，點C是弧AB的中點，則四邊形AOBC的周長為．【答案】8【分析】通過等弧所對的圓心角相等和∠AOB=120°，得到△AOC和△BOC都是等邊三角形，再求出四邊形AOBC的周長．【詳解】解：∵C是AB的中點，∴∠AOC=∠BOC，而∠AOB=120°，∴∠AOC=∠BOC=60°，∵OA=OC=OB，∴△AOC和△BOC都是等邊三角形，∴OA=OB=CA=CB=2，所以四邊形AOBC的周長等于8．故答案為：8．【點睛】本題考查的是等弧所對的圓心角相等；等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練的運(yùn)用等弧所對的圓心角相等是解本題的關(guān)鍵．【變式73】如圖，在扇形AOB中，∠AOB=90°，BO=2，C為BO的中點，D為AB上一點，且2BD=AD，連接AC，DC，在OC繞點O旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)CD取最小值時，△ACO【答案】3+3/【分析】本題主要考查圓中最值問題，等邊三角形的判定以及勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．判斷出在OC的旋轉(zhuǎn)過程中，O,C,D三點共線時，CD最短，得出△AOD是等邊三角形，由勾股定理求出AC=3【詳解】解：∵BO=2，∴AO=BO=2，∵C為BO的中點，∴OC=1在OC繞點O旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)O,C,D三點共線時，CD的值最小，如圖，∵2BD=∴AD∴∠AOD=2又AO=DO，∴△AOD是等邊三角形，∵C為OD的中點，∴AC⊥OD，由勾股定理得，AC=A∴△ACO的周長=AO+OC+AC=2+1+3故答案為：3+3【題型8由圓心角、弧、弦之間的關(guān)系證明】【例8】（2425九年級下·廣東茂名·階段練習(xí)）如圖，D，E分別是☉O的半徑OA，OB上的點，且CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E，CD=CE【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，垂徑定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系等知識點，求出∠CDO=∠CEO=90°，根據(jù)HL得出Rt△CDO≌Rt△CEO【詳解】證明：∵CD⊥OA，∴∠CDO=∠CEO=90°，在Rt△COD和Rt∵CO=COCD=CE∴Rt△COD≌∴∠AOC=∠BOC，∴AC=【變式81】如圖，在⊙O中，半徑OC，OD分別交弦AB于點E，F(xiàn)，且AF=BE．求證：(1)OE=OF；(2)AC=【答案】(1)見解析；(2)見解析【分析】本題考查圓心角、弦、