單元過關(guān)檢測(六)(第六章)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.(2018·中山模擬)已知a,b,c∈R,則下列命題正確的是 ()A.a>b?ac2>bc2 B.ac>bcC.a>bab<0?1a>1b 【解析】選C.當(dāng)c=0時(shí),ac2=0,bc2=0,故由a>b不能得到ac2>bc2,故A錯(cuò)誤;當(dāng)c<0時(shí),ac>bc?a<b,故B錯(cuò)誤;因?yàn)?a1b=b-aab>0?ab>02.(2018·哈爾濱模擬)A=x|y=lg(x2A.(0,2] B.(1,2]C.[2,4) D.(4,0)【解析】選B.A==x|x2+3x-4>0{x|x<4或x>1}.因?yàn)?x2≤1,故y=21-x2≤3.(2018·長沙模擬)若x,y滿足x-y≤0,A.0 B.1 C.32 【解析】選D.作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如圖所示.作直線x+2y=0并上下平移,易知當(dāng)直線過點(diǎn)A(0,1)時(shí),z=x+2y取最大值,即zmax=0+2×1=2.【變式備選】(2018·深圳模擬)若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件x-y-1≤0A.8 B.-6 C.2 【解析】選D.作出約束條件x-y-1≤0,變形目標(biāo)函數(shù)可得y=2xz,平移直線y=2x可知,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)C(3,2)時(shí),直線的截距最小,z取最大值,代值計(jì)算可得z=2xy的最大值為zmax=2×32=4.4.(2018·沈陽模擬)實(shí)數(shù)x,y滿足y≤2x+2()A.2 B.4 C.6 【解析】選B.依題意畫出可行域如圖中陰影部分所示,令m=yx,則m為直線l:y=x+m在y軸上的截距,由圖知在點(diǎn)A(2,6)處m取最大值4,在C(2,0)處取最小值2,所以m∈[2,4],所以z的最大值是4.【變式備選】(2018·南陽模擬)若x,y滿足約束條件x-y+2≥0,y+2≥0,A.1 B.92 C.5 【解析】選B.不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示,由題意可知點(diǎn)P(2,3)到直線x+y+2=0的距離為|-2-3+2|2=32,所以(x+2)2+(y+3)5.有一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù),整數(shù)是有理數(shù),則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)”結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的,是因?yàn)?()A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤 D.非以上錯(cuò)誤【解析】選C.因?yàn)榇笄疤岬男问?“有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù)”,不是全稱命題,所以不符合三段論推理形式,所以推理形式錯(cuò)誤.6.(2018·武漢模擬)用反證法證明某命題時(shí),對結(jié)論:“自然數(shù)a,b,c中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)為 ()A.a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)B.a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)C.a,b,c都是奇數(shù)D.a,b,c都是偶數(shù)【解析】選B.因?yàn)椤扒∮幸粋€(gè)”的否定是“至少有兩個(gè)”或“一個(gè)也沒有”,因此選B.【變式備選】(2018·重慶模擬)用反證法證明命題:“若a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1,且ac+bd>1,則a,b,c,d中至少有一個(gè)負(fù)數(shù)”的假設(shè)為 ()A.a,b,c,d中至少有一個(gè)正數(shù)B.a,b,c,d全都為正數(shù)C.a,b,c,d全都為非負(fù)數(shù)D.a,b,c,d中至多有一個(gè)負(fù)數(shù)【解析】選C.用反證法證明命題時(shí),應(yīng)先假設(shè)結(jié)論的否定成立,而“a,b,c,d中至少有一個(gè)負(fù)數(shù)”的否定是“a,b,c,d全都為非負(fù)數(shù)”.7.(2018·南昌模擬)已知a>1,b>2,(a+1)(b+2)=16,則a+b的最小值是()A.4 B.5 C.6 【解析】選B.因?yàn)閍>1,b>2,所以a+1>0,b+2>0,又(a+1)(b+2)≤a+1+b+222,即16≤a+b+322,8.某校舉行了以“重溫時(shí)代經(jīng)典,唱響回聲嘹亮”為主題的“紅歌”歌詠比賽.該校高一年級有1,2,3,4四個(gè)班參加了比賽,其中有兩個(gè)班獲獎(jiǎng).比賽結(jié)果揭曉之前,甲同學(xué)說:“兩個(gè)獲獎(jiǎng)班級在2班、3班、4班中”,乙同學(xué)說:“2班沒有獲獎(jiǎng),3班獲獎(jiǎng)了”,丙同學(xué)說:“1班、4班中有且只有一個(gè)班獲獎(jiǎng)”,丁同學(xué)說:“乙說得對”.已知這四人中有且只有兩人的說法是正確的,則這兩人是()導(dǎo)學(xué)號A.乙,丁 B.甲,丙C.甲,丁 D.乙,丙【解析】選B.由題意知乙與丁的說法同時(shí)正確或同時(shí)錯(cuò)誤,若乙丁同時(shí)正確,根據(jù)乙的說法“2班沒有獲獎(jiǎng),3班獲獎(jiǎng)了”中獎(jiǎng)情況有兩種:1班和3班獲獎(jiǎng)或者4班和3班獲獎(jiǎng),兩種情況都說明丙同學(xué)的說法正確,這樣就有丙乙丁三位同學(xué)的說法正確,所以不合題意,故只能乙丁兩位同學(xué)說法同時(shí)錯(cuò)誤,從而知甲丙兩位同學(xué)說法正確.9.(2018·太原模擬)觀察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=sinx,由歸納推理可得:若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(x),記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則g(x)等于 ()A.f(x) B.f(x)C.g(x) D.g(x)【解析】選D.由(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=sinx可歸納得偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為奇函數(shù),由f(x)=f(x)可知函數(shù)f(x)為偶函數(shù),所以導(dǎo)函數(shù)g(x)為奇函數(shù).10.已知f(x+1)=2f(x)f(x)+2A.f(x)=42x+2 C.f(x)=1x+1 【解析】選B.由題意知f(1+1)=2f(1f(3)=2f(2)f(2)+2=43211.(2018·晉城模擬)在R上定義運(yùn)算:abcd=adbc,若不等式x-1a-A.12 B.32 C.12 【解題指南】本題根據(jù)新定義把不等式建立起來,然后分離變量.【解析】選D.由定義知,不等式x-1a-2a+1x≥1等價(jià)于x2x(a2a2)≥1,所以x2x+1≥a2a對任意實(shí)數(shù)x恒成立.因?yàn)閤2x+1=x-122+34≥34,所以a212.(2018·長春模擬)若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足1x+4y=1,且不等式x+y4<m2-3m有解,則實(shí)數(shù)A.(1,4)B.(∞,1)∪(4,+∞)C.(4,1)D.(∞,0)∪(3,+∞)【解析】選B.因?yàn)椴坏仁絰+y4<m2-3m有解,所以x+y4min<m2-3m,因?yàn)閤>0,y>0,且1x+4y=1,所以x+y4=x+y41x+4y=4xy+y4x+2≥24xy·y4x+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)4x二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上)13.(2018·天津模擬)若關(guān)于x的一元二次方程(a2)x22ax+a+1=0沒有實(shí)數(shù)解,則ax+3>0的解集為________.

【解析】由題意可知Δ=(2a)24(a2)(a+1)=a+2<0,所以a<2,所以解ax+3>0得x<3a答案:x14.已知x,y滿足約束條件x≥2,x+y≤4,-2【解析】由z=6x+2y,得y=3x+z2,作出不等式組所表示可行域的大致圖形如圖中陰影部分所示可知當(dāng)直線y=3x+z2經(jīng)過點(diǎn)C時(shí),直線的縱截距最小,即z=6x+2y取得最小值10,由解得x=2,y=-1,即C(2,1),將其代入直線方程2x+y+c=0,得c=5,即直線方程為2x+y+5=0,平移直線3x+y=0,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)D時(shí),直線的縱截距最大,此時(shí)z取最大值,由-答案:20【變式備選】(2018·濟(jì)南模擬)已知變量x,y滿足約束條件x+2y-3≤0,x+3y-3≥0, ()A.(0,2) B.0C.0,13 【解析】選B.約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示,作直線l:ax+y=0,過點(diǎn)(1,1)作l的平行線l′,要滿足題意,則直線l′的斜率介于直線x+2y3=0與直線y=1的斜率之間,因此,12<a<0,即0<a<115.(2018·衡水模擬)設(shè)a,b∈(0,+∞),a≠b,x,y∈(0,+∞),則a2x+b2y≥(a+b)2x+y,當(dāng)且僅當(dāng)ax=by時(shí)【解析】根據(jù)已知結(jié)論,f(x)=2x+91-2x=42x+91-2x答案:2516.(2018·洛陽模擬)觀察下面等式,則按此規(guī)律第n個(gè)等式為__________.

1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……【解析】等式的右邊為1,9,25,49,…,即為12,32,52,72,…,即奇數(shù)的平方,第n個(gè)等式左邊是2n1個(gè)連續(xù)整數(shù)的和,第一個(gè)數(shù)為n,最后一個(gè)數(shù)為3n2,所以第n個(gè)式子的右邊為(2n1)2,左邊為n+(n+1)+(n+2)+…+(3n2),所以第n個(gè)式子為n+(n+1)+(n+2)+…+(3n2)=(2n1)2.答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n2)=(2n1)2三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)(2018·商丘模擬)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),若f(c)=0,且0<x<c時(shí),f(x)>0.(1)證明:1a是f(x)=0的一個(gè)根(2)試比較1a與c的大小(3)證明:2<b<1.【解析】(1)因?yàn)閒(x)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以f(x)=0有兩個(gè)不等實(shí)根x1,x2,因?yàn)閒(c)=0,所以x1=c是f(x)=0的根,又x1x2=ca,所以x2=1所以1a(2)假設(shè)1a<c,又1知f1a>0與f1a=0矛盾,所以1又因?yàn)?a≠c,所以1(3)由f(c)=0,得ac2+bc+c=0,即ac+b+1=0,所以b=1ac.又a>0,c>0,所以b<1.二次函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸方程為x=b2a=x1+x22<x2+又a>0,所以b>2,所以2<b<1.18.(12分)(2018·開封模擬)已知x,y,z>0,x+y+z=3.(1)求1x+1y+1(2)證明:3≤x2+y2+z2<9.【解析】(1)1x+1y+1z==1=1≥13[3+2xy·2yz當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1時(shí)等號成立,所以1x+1y+(2)9=(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz≤3(x2+y2+z2),所以x2+y2+z2≥3.又因?yàn)閤,y,z>0,所以xy+xz+yz>0.所以x2+y2+z2=92(xy+xz+yz)<9.所以3≤x2+y2+z2<9.19.(12分)(2018·太原模擬)已知x>0,y>0,且2x+8yxy=0,求:(1)xy的最小值.(2)x+y的最小值.【解析】(1)由2x+8yxy=0,得8x+2又x>0,y>0,則1=8x+2y≥28x·2當(dāng)且僅當(dāng)x=16,y=4時(shí),等號成立.所以xy的最小值為64.(2)由(1)知8x+2則x+y=8x+2y·≥10+22x當(dāng)且僅當(dāng)x=12且y=6時(shí)等號成立,所以x+y的最小值為18.20.(12分)已知函數(shù)f(x)=x22ax1+a,a∈R.(1)若a=2,試求函數(shù)y=f(x)(2)對于任意的x∈[0,2],不等式f(x)≤a成立,試求a的取值范圍.【解析】(1)依題意得y=f(x)x=因?yàn)閤>0,所以x+1x≥2.當(dāng)且僅當(dāng)x=1即x=1時(shí),等號成立.所以y≥2.所以當(dāng)x=1時(shí),y=f((2)因?yàn)閒(x)a=x22ax1,所以要使得“對任意的x∈[0,2],不等式f(x)≤a成立”只要“x22ax1≤0在[0,2]恒成立”.不妨設(shè)g(x)=x22ax1,則只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可.所以g(0解得a≥34,則a的取值范圍為321.(12分)(2018·衡陽模擬)某研究所計(jì)劃利用宇宙飛船進(jìn)行新產(chǎn)品搭載試驗(yàn),計(jì)劃搭載若干件新產(chǎn)品A,B,該研究所要根據(jù)產(chǎn)品的研制成本、產(chǎn)品重量、搭載試驗(yàn)費(fèi)用和預(yù)計(jì)收益來決定具體安排,通過調(diào)查得到的有關(guān)數(shù)據(jù)如表:每件A產(chǎn)品每件B產(chǎn)品研制成本、搭載試驗(yàn)費(fèi)用之和(萬元)2030產(chǎn)品重量(千克)105預(yù)計(jì)收益(萬元)8060已知研制成本、搭載試驗(yàn)費(fèi)用之和的最大資金為300萬元,最大搭載重量為110千克,則如何安排這兩種產(chǎn)品進(jìn)行搭載,才能使總預(yù)計(jì)收益達(dá)到最大,求最大預(yù)計(jì)收益是多少【解析】設(shè)搭載A產(chǎn)品x件,B產(chǎn)品y件,則預(yù)計(jì)收益z=80x+60y,由題意知,20作出可行域如圖所示.作出直線l:80x+60y=0并平移,由圖形知,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)M時(shí),z取得最大值,由20x+30y所以zmax=80×9+60×4=960(萬元),所以搭載9件A產(chǎn)品,4件B產(chǎn)品,才能使總預(yù)計(jì)收益達(dá)到最大,最大預(yù)計(jì)收益為960萬元.22.(12分)(2018·中山模擬)已知f(n)=1+123+133+143+…+1n3(1)當(dāng)n=1,2,3時(shí),試比較f(n)與g(n)的大小關(guān)系.(2)猜想