離散信號與系統(tǒng)的Z域分析

7.1Z變換7.1.1從拉普拉斯變換到Z變換對連續(xù)信號f(t)進(jìn)行理想抽樣，即f(t)乘以單位沖激序列δT(t)，T為抽樣間隔，得到抽樣信號為7.1.2雙邊Z變換的定義和收斂域1.雙邊Z變換的定義對于離散序列f(k)(k=0,±1,±2,…)，函數(shù)(z的冪級數(shù))稱為f(k)的雙邊Z變換，記為F(z)=Z[f(k)］。F(z)又稱為f(k)的象函數(shù)，f(k)稱為F(z)的原函數(shù)。為了表示方便，f(k)與F(z)之間的對應(yīng)關(guān)系簡記為2.雙邊Z變換的收斂域F(z)存在或級數(shù)收斂的充分條件是收斂域

例7.1-1

已知有限長序列f(k)=ε(k+1)-ε(k-2)。求f(k)的雙邊Z變換及其收斂域。解所以，當(dāng)時式（7.1-8）的級數(shù)收斂。于是得（7.1-8）

例7.1-2已知無限長因果序列f(k)=akε(k)。求f(k)的雙邊Z變換和收斂域。解f(k)的雙邊Z變換為所以，當(dāng)|z|>|a|時F(z)收斂。于是得

例7.1–3

已知無限長反因果序列f(k)=-akε(-k-1)。求f(k)的雙邊Z變換及其收斂域。解f(k)的雙邊Z變換為因為并且k取負(fù)值。所以，當(dāng)|z|<|a|時F（z）收斂。于是得例7.1-4

已知無限長雙邊序列f(k)為式中，|b|>|a|。求f(k)的雙邊Z變換及其收斂域。解

f(k)的雙邊Z變換為|a|<|z|<|b| (7.1-12)圖7.1-1

例7.1-2、例7.1-3、例7.1-4圖(1)有限長雙邊序列的雙邊Z變換的收斂域一般為0<|z|<∞；有限長因果序列雙邊Z變換的收斂域為|z|>0；有限長反因果序列雙邊Z變換的收斂域為|z|<∞；單位序列δ(k)的雙邊Z變換的收斂域為全Z復(fù)平面。

(2)無限長因果序列雙邊Z變換的收斂域為|z|>|z0|，z0為復(fù)數(shù)、虛數(shù)或?qū)崝?shù)，即收斂域為半徑為|z0|的圓外區(qū)域。

(3)無限長反因果序列雙邊Z變換的收斂域為|z|<|z0|，即收斂域為以|z0|為半徑的圓內(nèi)區(qū)域。

(4)無限長雙邊序列雙邊Z變換的收斂域為|z1|<|z|<|z2|，即收斂域位于以|z1|為半徑和以|z2|為半徑的兩個圓之間的環(huán)狀區(qū)域。

(5)不同序列的雙邊Z變換可能相同，即序列與其雙邊Z變換不是一一對應(yīng)的。序列的雙邊Z變換連同收斂域一起與序列才是一一對應(yīng)的。7.1.3常用序列的雙邊Z變換（2）(3)(4)(5)(6)|z|>1|z|<1|z|>|a||z|<|a|7.2雙邊Z變換的性質(zhì)1.線性若則

例7.2-1

已知f(k)=ε(k)-3kε(-k-1)，求f(k)的雙邊Z變換F(z)及其收斂域。|z|>1|z|<31<|z|<3由線性性質(zhì)得2.位移(時移)性式中，m為正整數(shù)根據(jù)雙邊Z變換的定義，則有令n=k+m,則有

例7.2-2

已知f(k)=3k［ε(k+1)-ε(k-2)］，求f(k)的雙邊Z變換及其收斂域。解f(k)可以表示為根據(jù)位移性質(zhì)，得根據(jù)線性性質(zhì)，得3.序列乘ak(Z域尺度變換)式中，a為常數(shù)（實數(shù)、虛數(shù)、復(fù)數(shù)），證根據(jù)雙邊Z變換的定義，則有若a=-1,則有例7.2-3

已知求f(k)的雙邊Z變換及其收斂域。解令f1(k)=3k+1ε(k+1)，則有由于3<|z|<∞根據(jù)時域乘ak性質(zhì)，得4.序列域卷積若則證根據(jù)雙邊Z變換的定義，則有交換上式的求和次序，得式中，方括號中的求和項是f2(k-m)的雙邊Z變換。根據(jù)位移性質(zhì)，有例7.2-4已知

求f(k)的雙邊Z變換和f(k)。解由位移性質(zhì)得1<|z|<∞|z|>1由序列乘ak性質(zhì)得|z|>1根據(jù)卷積性質(zhì)，得|z|>1F(z)的原函數(shù)f(k)為5.序列乘k(Z域微分)式中，

m為正整數(shù)。若f(k)←→F(z)，α<|z|<β，則有證根據(jù)雙邊Z變換的定義，則有α<|z|<β

對上式關(guān)于z求導(dǎo)一次，得上式兩邊乘以-z，得即由于k2f(k)=k［kf(k)］，應(yīng)用式(7.2-9)得例7.2-5已知f(k)=k(k-1)ak-2ε(k)，求f(k)的雙邊Z變換F(z)。解根據(jù)位移性質(zhì)，得根據(jù)Z域微分性質(zhì)式再應(yīng)用位移性質(zhì)得再對上式應(yīng)用Z域微分性質(zhì)得由于k=0、k=1時k(k-1)ak-2=0，故可以表示為|z|>|a|(7.2-13)

式(7.2-13)重復(fù)應(yīng)用位移性質(zhì)和Z域微分性質(zhì)，可得如下重要變換對：于是得6.序列除(k+m)](Z域積分)若f(k)←→F(z)，α<|z|<β，則有α<|z|<β

式中，

m為整數(shù)，m+k>0。若m=0，k>0,則有α<|z|<β

(7.2-16)證由雙邊Z變換的定義α<|z|<β

對上式兩端除zm+1，然后從z到∞積分，得

為了避免積分變量與積分限的混淆，把積分變量z用λ代替，并交換積分、求和次序，得因為k+m>0，故上式為上式兩端乘以zm，得即α<|z|<β

例7.2-6已知求f(k)的雙邊Z變換F(z)。解由于|z|>2根據(jù)Z域積分性質(zhì)式(7.2-16)，則有|z|>27.K域反轉(zhuǎn)若f(k)←→F(z)，α<|z|<β，則有f(-k)←→F(z-1)

證根據(jù)雙邊Z變換的定義，則有令m=-k，則上式為令z1=z-1，則由于F(z)的收斂域為α<|z|<β，所以F(z-1)的收斂域α<|z-1<β，即為例7.2-7

已知f(k)=2-k-1ε(-k-1)，求f(k)的雙邊Z變換F(z)。解由于根據(jù)K域反轉(zhuǎn)性質(zhì)根據(jù)位移性質(zhì)，則有于是得8.部分和若f(k)←→F(z)，α<|z|<β，則有證由于|z|>1所以，根據(jù)卷積性質(zhì)，得的收斂域應(yīng)為|z|>1和α<|z|<β的公共部分，故應(yīng)為max(α,1)<|z|<β。例7.2-8

已知

求f(k)的雙邊Z變換F(z)。解由于|z|>1根據(jù)部分和性質(zhì)，則|z|>1令，則有由序列乘ak性質(zhì)，得9.初值定理若k<N(N為整數(shù))時，f(k)=0，并且α<|z|<∞證根據(jù)雙邊Z變換的定義兩端乘以zN，得取z→∞的極限，得10.終值定理若k<N時f(k)=0，f(k)的雙邊Z變換為則f(k)的終值為或者證根據(jù)雙邊Z變換的定義，則有根據(jù)線性性質(zhì)和位移性質(zhì)，則因此，得對式(7.2-25)取z→1的極限，若F(z)在z=1有一階極點，其余極點在單位圓內(nèi)，則(1-z-1)F(z)的收斂域包含單位圓,z=1在收斂域內(nèi)。因此式(7.2-26)的右端，f(N-1)=0，除f(∞)外其余各項之和為零。因此得例7.2-9

已知分別求f1(k)和f2(k)的終值f1(∞)和f2(∞)。解求f1(∞)。由于|z|>1并且F1(z)在z=-1處有極點，所以在單位圓上不收斂，f1(∞)不存在，終值定理不適用。若根據(jù)終值定理求f1(∞)，則有(2)求f2(∞)。由于

F2(z)在z=1有一階極點，的極點為，收斂域為。因此，根據(jù)終值定理得7.3Z逆變換7.3.1雙邊Z逆變換的定義復(fù)變函數(shù)理論中的柯西公式為m=-1

m≠-1序列f(k)的雙邊Z變換的定義為

α<|z|<β

把上式中的n用k代替，得7.3.2雙邊Z逆變換的計算1.冪級數(shù)展開法

根據(jù)雙邊Z變換的定義，若f(k)為雙邊序列，則F(z)為z和z-1的冪級數(shù)，收斂域為α<|z|<β。即α<|z|<β式中：|z|<β|z|>α若f(k)為因果序列，則F(z)為z-1的冪級數(shù)，收斂域為|z|>α，即若f(k)為反因果序列，k＞0時f(k)=0，則F(z)為z的冪級數(shù)，收斂域為|z|<β，即例7.3-1

已知|z|>1，求F(z)的原函數(shù)f(k)。解因為F(z)的收斂域為|z|>1，所以其原函數(shù)為因果序列。即于是得例7.3-2已知|z|<1，求F(z)的原函數(shù)f(k)。

解因為F(z)的收斂域為|z|<1，故F(z)的原函數(shù)f(k)為反因果序列。即于是得例7.3-3已知求F(z)的原函數(shù)f(k)。解

F(z)的原函數(shù)f(k)為雙邊序列。F(z)可以表示為1<|z|<3式中：2.部分分式展開法若F(z)為有理分式，則F(z)可表示為式中，ai(i=0，1,2,…,n)、bj(j=0，1,2,…,m)為實數(shù)，取an=1。若m≥n，F(xiàn)(z)為假分式，可用多項式除法將F(z)表示為設(shè) 為有理真分式，可表示為

用部分分式展開法求Z逆變換與部分分式展開法求拉普拉斯逆變換類似。但由于常用指數(shù)函數(shù)Z變換的形式為 ，因此，一般先把 展開為部分分式，然后再乘以z，得到用基本形式 表示的F(z)，再根據(jù)常用Z變換對求Z逆變換。(1) 的極點為一階極點。的部分分式展開式為式中的系數(shù)Ki的計算方法為(7.3-10)式(7.3-10)兩端乘以z，得α<|z|<β

根據(jù)F(z)的收斂域和以下變換對|z|>|zi||z|<|zi|例7.3-4

已知

求F(z)的原函數(shù)f(k)。

解因為F(z)的收斂域為|z|>2，所以f(k)為因果序列。 的極點全為一階極點，可展開為求K1、

K2、K3，得于是得故|z|>2由于

并且以上三個常用函數(shù)變換的收斂域的公共部分為|z|>2，所以得F(z)的原函數(shù)為例7.3-5

已知求F(z)的原函數(shù)f(k)。

解因為F(z)的收斂域為|z|<2，所以f(k)為反因果序列。對 進(jìn)行部分分式展開，得于是得|z|<2|z|<3|z|<2例7.3-6

已知求F(z)的原函數(shù)f(k)。(1)由于F(z)的收斂域為2<|z|<3，所以f(k)為雙邊序列。展開為故有2<|z|<3由于|z|>1|z|>2|z|<3所以|z|>2|z|<3上面兩個Z變換的收斂域的公共部分為2<|z|<3。于是得(2)有重極點。

設(shè)在z=z0有m階重極點，另有n個一階極點zi(i=1,2,…，n)，則可表示為則可展開為以下部分分式：系數(shù)K1i(i=1,2,…,m)、Ki(i=1,2,…,n)的計算方法為F(z)的部分分式展開式為α<|z|<β

例7.3-7已知求F(z)的原函數(shù)f(k)。解

f(k)為雙邊序列。的部分分式展開式為1<|z|<2|z|<2|z|<2|z|>1所以(3)有共軛復(fù)極點。例7.3-8

已知若F(z)的收斂域為 ,求原函數(shù)f(k)；

(2)若F(z)的收斂域為 ，求原函數(shù)f(k)。解(1)F(z)的收斂域為

這種情況下，f(k)為因果序列。F(z)的極點為z1,2=2±j2，可展開為于是得(2)F(z)的收斂域為一般情況下，若F(z)有共軛復(fù)極點z1,2=c±jd，并且令則復(fù)極點對應(yīng)的部分分式為(7.3-18)若式(7.3-18)的收斂域為|z|>r，則其Z逆變換為若式(7.3-18)的收斂域為|z|<r，則其Z逆變換為若F(z)中有二階共軛復(fù)極點z1,2=c±jd=re±jβ，則復(fù)極點對應(yīng)的部分分式為(7.3-21)若式(7.3-21)的收斂域為|z|>r，則其Z逆變換為若式(7.3-21)的收斂域為|z|>r，則其Z逆變換為*3.反演積分法(留數(shù)法)

雙邊Z逆變換也可以根據(jù)其定義式計算，這種方法稱反演積分法。雙邊Z逆變換的定義為-∞<k<∞反因果序列f2(k)由F(z)中收斂域為|z|<β的部分決定，該部分用F2(z)表示。F2(z)的極點在半徑為|z|=β的圓上和圓外區(qū)域中，即在積分路徑C的外部。根據(jù)留數(shù)定理，f2(k)等于積分路徑C的外部區(qū)域內(nèi)F(z)zk-1的極點留數(shù)之和并取負(fù)號，即k<0k≥0f(k)等于f1(k)與f2(k)之和，即(7.3-27)F(z)為有理分式時，F(xiàn)(z)zk-1的極點留數(shù)計算方法如下：若F(z)zk-1在z=zi有一階極點，則極點zi的留數(shù)為若F(z)zk-1在z=zi有r重極點，則極點zi的留數(shù)為圖7.3-1F(z)的收斂域及反演積分路徑例7.3-9已知1<|z|<3，求F(z)的原函數(shù)f(k)。解

F(z)的原函數(shù)為雙邊序列。F(z)zk-1為極點z1和z2的留數(shù)分別為由式(7.3-27)得k<0k≥0k<0k≥07.4單邊

Z

變換7.4.1單邊Z變換的定義和收斂域?qū)τ陔x散信號f(k)，冪級數(shù)稱為f(k)的單邊Z變換，記為F(z)=Z［f(k)］。積分k<0k≥0稱為F(z)的單邊Z逆變換，記為f(k)=Z-1［F(z)］。F(z)又稱為f(k)的象函數(shù)，f(k)又稱為F(z)的原函數(shù)。f(k)與F(z)之間的對應(yīng)關(guān)系又可表示為

因為單邊Z變換的求和下限為k=0，所以，任一信號f(k)(因果或非因果信號)的單邊Z變換等于信號f(k)ε(k)的單邊Z變換。單邊Z變換也有收斂域問題。使f(k)的單邊Z變換F(z)存在，或使式(7.4-1)冪級數(shù)收斂的充分條件是

因為單邊Z變換的求和下限為k=0，所以單邊Z變換與因果信號的雙邊Z變換相同。因此，單邊Z變換的收斂域與因果信號雙邊Z變換的收斂域相同。即

(1)單邊Z變換的收斂域一般為|z|>α，收斂域為以|z|=α為半徑的圓外區(qū)域。有限長因果序列單邊Z變換的收斂域為|z|>0。δ(k)的單邊Z變換的收斂域為全Z復(fù)平面；

(2)對于不同的離散信號，其單邊Z變換的收斂域必有公共部分。因果信號f(k)與其單邊Z變換F(z)一一對應(yīng)。因為這一特點，不再強調(diào)單邊Z變換的收斂域。7.4.2常用序列的單邊Z變換|z|>1|z|>|a||z|>1(4)(5)|z|>|a|7.4.3單邊Z變換的性質(zhì)1.位移(時移)性質(zhì)若f(k)←→F(z)，|z|>α，則|z|>α|z|>α|z|>α式中，m為整數(shù)，m>0。根據(jù)單邊Z變換的定義，則令和式中的k+m=i，則用k代替i，得根據(jù)單邊Z變換的定義，則令k-m=i，得例7.4-1

求δ(k-m)和ε(k-m)(m>0)的單邊Z變換。解由于δ(k)和ε(k)是因果信號，并且|z|>1|z|>1例7.4-2

已知f(k)=ak-2，求f(k)的單邊Z變換F(z)。解

f(k)為非因果信號。令f1(k)=ak，則f1(k)的單邊Z變換為|z|>|a|根據(jù)位移性質(zhì),則|z|>|a|或者2.卷積性質(zhì)若f1(k)、f2(k)為因果序列，并且|z|>α1

|z|>α2

則|z|>max(α1,α2)

單邊Z變換的卷積性質(zhì)要求f1(k)、f2(k)為因果序列，而雙邊Z變換的卷積性質(zhì)則無此限制。

例7.4-3

已知f1(k)和f2(k)均為因果序列，,N為正整數(shù)，f(k)=f1(k)*f2(k)。求f(k)的單邊Z變換F(z)。

解根據(jù)位移性質(zhì)，則|z|>0根據(jù)線性性質(zhì)，則(7.4-13)式(7.4-13)的冪級數(shù)在|z|>1時收斂，于是得設(shè)f1(k)的單邊Z變換為F1(z)，收斂域為|z|>α。根據(jù)卷積性質(zhì)，得|z|>max(1,α)若f1(k)為有限長因果序列，序列長度小于N，則3.部分和性質(zhì)若f(k)←→F(z)，|z|>α，則有|z|>max(1,α)證因為并且，f(k)的單邊Z變換為|z|>α所以，根據(jù)卷積性質(zhì)，得|z|>max(1,α)例7.4-4已知求f(k)的單邊Z變換F(z)。解設(shè)

則

根據(jù)部分和性質(zhì)，得根據(jù)序列乘ak性質(zhì)，則|z|>2根據(jù)序列乘k性質(zhì)，則|z|>27.4.4單邊Z逆變換的計算1.部分分式展開法

例7.4–5

已知|z|>3,求F(z)的單邊Z逆變換f(k)。解首先對進(jìn)行部分分式展開。的部分分式展開式為有一階極點z=2，有三重極點z=3。各系數(shù)分別為于是得|z|>3

若F(z)有一階共軛復(fù)極點，F(xiàn)(z)的單邊Z逆變換可用例7.3-8(1)的方法計算，也可根據(jù)式(7.3-18)和式(7.3-19)計算，該式表示的變換對為*2.反演積分法(留數(shù)法)

單邊Z逆變換可以根據(jù)定義式直接求解，稱反演積分法。單邊Z逆變換的定義為k<0k≥0式中，F(xiàn)(z)為f(k)的單邊Z變換，F(xiàn)(z)的收斂域為|z|>α。C為收斂域中圍繞坐標(biāo)原點逆時針方向的圍線。根據(jù)雙邊Z逆變換反演積分法，單邊Z變換F(z)的逆變換f(k)等于圍線C內(nèi)F(z)zk-1的極點留數(shù)之和，即k<0k≥0表7.1Z變換的性質(zhì)表7.2常用Z變換7.5離散系統(tǒng)的Z域分析7.5.1離散信號的Z域分解根據(jù)單邊Z逆變換的定義，因果信號f(k)可以表示為(7.5-1)7.5.2基本信號zk激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)

若線性離散系統(tǒng)的輸入為f(k),零狀態(tài)響應(yīng)為yf(k)，單位序列響應(yīng)為h(k)，由時域分析可知若f(k)=zk，則若h(k)為因果信號(對應(yīng)的系統(tǒng)稱因果系統(tǒng))，則有(7.5-3)|z|>α即H(z)是系統(tǒng)單位序列響應(yīng)h(k)的單邊Z變換。H(z)稱為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，zk稱為系統(tǒng)的特征函數(shù)。式(7.5-3)表明，離散系統(tǒng)對基本信號zk的響應(yīng)等于zk與系統(tǒng)函數(shù)H(z)的乘積。

7.5.3一般信號f(k)激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)

若離散系統(tǒng)的輸入為因果信號f(k)，其單邊Z變換為F(z)，則f(k)可以分解為基本信號zk之和，如式(7.5-1)所示。對于圍線C上任一z，根據(jù)式(7.5-3)，信號zk產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)為zkH(z)。zk與其響應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系表示為根據(jù)線性系統(tǒng)的齊次性，對于圍線C上任一z，為復(fù)常數(shù)，則信號產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)可以表示為根據(jù)線性系統(tǒng)的可加性，由于f(k)可以分解為圍線C上不同z的信號之和(積分)，因此，系統(tǒng)對f(k)的零狀態(tài)響應(yīng)就等于不同z的信號產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)之和(積分)。表示為另一方面，由于yf(k)=f(k)*h(k)，因此

由于f(k)、h(k)為因果信號，所以yf(k)也是因果信號。令，則得到以下變換對：

在Z域，離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可按以下方法求解：(1)求系統(tǒng)輸入f(k)的單邊Z變換F(z)；(2)求系統(tǒng)函數(shù)H(z),H(z)=Z［h(k)］；(3)求零狀態(tài)響應(yīng)的單邊Z變換Yf(z),Yf(z)=F(z)H(z)；(4)求零狀態(tài)響應(yīng)yf(k)，yf(k)=Z-1［Yf(z)］。

例7.5-1

已知離散系統(tǒng)輸入為f1(k)=ε(k)時，零狀態(tài)響應(yīng)y1f(k)=3kε(k)。求輸入為f2(k)=(k+1)ε(k)時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y2f(k)。7.6離散系統(tǒng)差分方程的Z域解7.6.1差分方程的Z域解以二階離散系統(tǒng)為例，設(shè)二階離散系統(tǒng)的差分方程為

設(shè)y(k)的單邊Z變換為Y(z)，根據(jù)單邊Z變換的位移性質(zhì)，對式(7.6-1)兩端取單邊Z變換，得(7.6-1)分別令則

只與y(k)的初始值y(-1)、y(-2)有關(guān)，而與F(z)無關(guān)，y(-1)、y(-2)為系統(tǒng)的初始狀態(tài)，所以是系統(tǒng)零輸入響應(yīng)yx(k)的單邊Z變換Yx(z)；只與F(z)有關(guān)，而與初始狀態(tài)無關(guān)，因此，它是系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yf(k)的單邊Z變換Yf(z)；A(z)稱為系統(tǒng)的特征多項式，A(z)=0稱為系統(tǒng)的特征方程，其根稱為特征根。(7.6-7)由于Yf(z)=H(z)F(z)，因此，由式(7.6-7)得到系統(tǒng)函數(shù)為設(shè)n階離散系統(tǒng)的差分方程為式中，m≤n，an=1，ai(i=0,1,…,n-1)、bj(j=0,1,…,m)為實常數(shù)。則系統(tǒng)函數(shù)為

對于n階線性時不變離散系統(tǒng)，若輸入f(k)為因果信號，則yf(-i)(i=1,2,…,n)等于零，但yf(i)一般不等于零。由于因此y(k)、yf(k)、yx(k)的初始值有以下關(guān)系：i=1,2,…,n

i=0,1,2,…,n

初始值y(i)和y(-i)可根據(jù)系統(tǒng)差分方程應(yīng)用遞推法相互轉(zhuǎn)換。例如，設(shè)二階離散系統(tǒng)的差分方程為f(k)=ε(k),y(0)=1，y(1)=2。對式(7.6-13)，令k=1，得令k=0,得例7.6-1

已知二階離散系統(tǒng)的差分方程為求系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(k)、零輸入響應(yīng)yx(k)、零狀態(tài)響應(yīng)yf(k)。解方法1

輸入f(k)的單邊Z變換，得yf(k)滿足的差分方程為yf(k)的初始條件yf(-1)、yf(-2)均為零。7.6.2離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)1.離散系統(tǒng)對正弦序列的響應(yīng)

設(shè)離散系統(tǒng)的輸入為-∞<k<∞式中，A、T、Ω為正實數(shù)，Ω稱模擬角頻率，ΩΤ稱數(shù)字角頻率，f(k)可以看作連續(xù)正弦時間函數(shù)的抽樣值序列，抽樣周期為T。設(shè)系統(tǒng)的初始時刻k0=-∞，系統(tǒng)的響應(yīng)為y(k)，并且設(shè)y(-∞）=0，則y(k)也是零狀態(tài)響應(yīng)。為了討論方便，令θ=0，但不失一般性，則系統(tǒng)輸入f(k)可以表示為

設(shè)系統(tǒng)對ejΩTk的零狀態(tài)響應(yīng)為y1(k)，根據(jù)離散系統(tǒng)時域分析的結(jié)論：對于因果離散系統(tǒng)，單位序列響應(yīng)h(k)為因果序列。因此得(7.6-18)若系統(tǒng)函數(shù)H(z)的極點全部在單位圓內(nèi)，則H(z)的收斂域包含單位圓，即H(z)在單位圓|z|=1上收斂，因此，H(z)在z=ejΩT時也收斂。于是，式(7.6-18)可以表示為設(shè)系統(tǒng)對e-jΩTk的響應(yīng)為y2(k)，同理可得令式(7.6-21)可以表示為若f(k)=Acos(ΩTk+θ)，θ≠0，則-∞<k<∞

式(7.6-22)的結(jié)果表明，若離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域包含單位圓(極點全部在單位圓內(nèi))，則系統(tǒng)對正弦序列的響應(yīng)仍為同頻率的正弦序列，稱為正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。當(dāng)輸入正弦序列的頻率變化時，響應(yīng)正弦序列的振幅和初相位的變化完全取決于H(ejΩT)。因此，H(ejΩT)表征了系統(tǒng)的頻率特性。2.離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

若離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的極點全部在單位圓內(nèi)，則H(ejΩT)稱為離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)或頻率特性。H(ejΩT)為

稱為幅頻響應(yīng)或幅頻特性，φ(ΩT)稱為相頻響應(yīng)或相頻特性。例7.6-2

已知離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。解圖7.6-1例7.6-2圖例7.6-3

已知離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為系統(tǒng)的輸入f(k)為求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。所以在單位圓解因為的收斂域為，上收斂。可以表示為分別求系統(tǒng)對的各分量的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：（1）系統(tǒng)對分量的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)?？梢钥闯?0、初相位=0的正弦系列。當(dāng)=0時，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)以及幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)分別為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為設(shè)系統(tǒng)對的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為，由式（7.6-22）得7.7離散系統(tǒng)的表示和模擬7.7.1離散系統(tǒng)的方框圖表示圖7.7-1離散系統(tǒng)的方框圖表示離散系統(tǒng)的串、并聯(lián)

h(k)與hi(k)之間的關(guān)系為

根據(jù)單邊Z變換的時域卷積性質(zhì)，復(fù)合系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)與各子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)Hi(z)之間的關(guān)系為圖7.7-2離散系統(tǒng)的串聯(lián)圖7.7-3離散系統(tǒng)的并聯(lián)

例7.7-1

已知離散系統(tǒng)的方框圖表示如圖7.7-4所示。圖中，h1(k)=δ(k-2)，h2(k)=δ(k)，h3(k)=δ(k-1)。

(1)求系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k);

(2)若系統(tǒng)輸入f(k)=akε(k)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(k)。圖7.7-4例7.7-1圖

解（1）求h(k):設(shè)由子系統(tǒng)h2(k)和h3(k)串聯(lián)組成的子系統(tǒng)的單位響應(yīng)為h4(k),該子系統(tǒng)的函數(shù)為H4(z),則因此，系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)為（2）求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(k)：或2.用基本單元表示離散系統(tǒng)圖7.7-5離散系統(tǒng)的基本單元

例7.7-2

已知離散系統(tǒng)的框圖表示如圖7.7-6所示，寫出描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的差分方程。圖7.7-6例7.7-2解7.7.2離散系統(tǒng)的信號流圖表示圖7.7-7離散系統(tǒng)框圖與信號流圖的對應(yīng)關(guān)系

例7.7-3

已知離散系統(tǒng)的方框圖表示如圖7.7-8(a)所示，畫出系統(tǒng)的信號流圖。圖7.7-8例7.7-3圖

解設(shè)圖7.7-8(a)所示方框圖左邊加法器的輸出為X1(z)，上邊第一個延遲器的輸出為X2(z)，第二個延遲器的輸出為X3(z)。根據(jù)基本單元的輸入輸出關(guān)系，則有

例7.7-4

已知離散系統(tǒng)的信號流圖表示如圖7.7-9所示，求系統(tǒng)函數(shù)H(z)。圖7.7-9例7.7-4圖

解系統(tǒng)信號流圖中共有兩個環(huán)，其中，環(huán)1的傳輸函數(shù)L1=H1(z)G1(z),環(huán)2的傳輸函數(shù)L2=H2(z)G3(z)，并且環(huán)1和環(huán)2不接觸。因此，流圖特征行列式為于是得系統(tǒng)函數(shù)為7.7.3離散系統(tǒng)的模擬例7.7-5

已知二階離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為解系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子分母同除以z2，得圖7.7-10例7.7-5圖例7.7-6

已知離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為用串聯(lián)形式信號流圖模擬系統(tǒng)解

H（z）可以表示為式中：圖7.7-11例7.7-6圖例7.7-7

已知離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為用并聯(lián)形式信號流圖模擬系統(tǒng)解

H（z）可以表示為圖7.7-12例7.7-7圖7.8系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性7.8.1H(z)的零點和極點

離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)通常為有理分式，可以表示為z-1的有理分式，也可以表示為z的有理分式。即7.8.2H(z)的零、極點與時域響應(yīng)1.單位圓內(nèi)極點

若H(z)在單位圓內(nèi)有一階實極點p=a，|a|<1，則H(z)的分母A(z)中就有因子(z-a)，則h(k)中就含有形式為Aakε(k)的項；若有二階實極點p=a，則A(z)中就有因子(z-a)2，h(k)中就含有形式為Akak-1ε(k)的項，A為實常數(shù)。

若H(z)在單位圓內(nèi)有一階共軛復(fù)極點p1,2=re±jβ，r<1,則A(z)中就有因子(z-rejβ)·(z-re-jβ)，h(k)中就有形式為Arkcos(βk+θ)ε(k)的項；若有二階共軛復(fù)極點p1,2=re±jβ，則A(z)中就有因子(z-rejβ)2(z-re-jβ)2，h(k)中就有形式為Akrkcos(βk+θ)ε(k)的項。若H(z)在單位圓內(nèi)有二階以上極點，這些極點對應(yīng)的h(k)中的項也隨k的增加而減小，最終趨于零。因此，H(z)在單位圓內(nèi)的極點對應(yīng)的h(k)中的響應(yīng)都是隨k的增加而減小，最終趨于零。2.單位圓上極點若H(z)在單位圓上有一階實極點p=±1，則A(z)中就有因子(z