江蘇省新吳區(qū)2026屆八年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題(每小題3分,共30分)1．已知點(diǎn),都在直線上，則,的值的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．不能確定2．下列式子，表示4的平方根的是（）A． B．42 C．﹣ D．±3．目前世界上能制造的芯片最小工藝水平是5納米，而我國能制造芯片的最小工藝水平是16納米，已知1納米＝10﹣9米，用科學(xué)記數(shù)法將16納米表示為（）A．1.6×10﹣9米 B．1.6×10﹣7米 C．1.6×10﹣8米 D．16×10﹣7米4．如果點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對稱，則，的值為（）A．， B．，C．， D．，5．假期到了，17名女教師去外地培訓(xùn)，住宿時(shí)有2人間和3人間可供租住，每個(gè)房間都要住滿，她們有幾種租住方案A．5種 B．4種 C．3種 D．2種6．若點(diǎn)A（n，m）在第四象限，則點(diǎn)B（m2，﹣n）（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限7．不等式3（x﹣1）≤5﹣x的非負(fù)整數(shù)解有（

）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)8．下列運(yùn)算正確的是()A．a(chǎn)+a=a2 B．a(chǎn)6÷a3=a2 C．(a+b)2=a2+b2 D．(ab3)2=a2b69．下列說法正確的個(gè)數(shù)（）①②的倒數(shù)是-3③④的平方根是-4A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)10．某天小明騎自行車上學(xué)，途中因自行車發(fā)生故障，修車耽誤了一段時(shí)間后繼續(xù)騎行，按時(shí)趕到了學(xué)校．圖中描述了他上學(xué)的途中離家距離（米）與離家時(shí)間（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系．下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（）（1）修車時(shí)間為15分鐘；（2）學(xué)校離家的距離為4000米；（3）到達(dá)學(xué)校時(shí)共用時(shí)間為20分鐘；（4）自行車發(fā)生故障時(shí)離家距離為2000米．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題(每小題3分,共24分)11．已知，則_________．12．如圖，把△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C'，此時(shí)A′B′⊥AC于D，已知∠A＝50°，則∠B′CB的度數(shù)是_____°．13．若點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對稱，則__________．14．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，把多項(xiàng)式因式分解的結(jié)果是________．15．甲、乙兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，已知甲往東走了4km，乙往南走了3km，此時(shí)甲、乙兩人相距______km．16．如圖1，將邊長為a的大正方形剪去一個(gè)邊長為b的小正方形（ab）,將剩下的陰影部分沿圖中的虛線剪開，拼接后得到圖2，這種變化可以用含字母a，b的等式表示為_________________．17．人體內(nèi)某種細(xì)胞可近似地看作球體，它的直徑為0.000000156m，將0.000000156用科學(xué)記數(shù)法表示為．18．因式分解：________.三、解答題(共66分)19．（10分）我們定義：對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）如圖1，垂美四邊形ABCD的對角線AC，BD交于O．求證：AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)BE，CG，GE．①求證：四邊形BCGE是垂美四邊形；②若AC＝4，AB＝5，求GE的長．20．（6分）問題發(fā)現(xiàn)：如圖，在中，，為邊所在直線上的動點(diǎn)(不與點(diǎn)、重合)，連結(jié)，以為邊作，且，根據(jù)，得到，結(jié)合，得出，發(fā)現(xiàn)線段與的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為；（1）探究證明：如圖，在和中，，，且點(diǎn)在邊上滑動(點(diǎn)不與點(diǎn)、重合)，連接．①則線段，，之間滿足的等量關(guān)系式為_____；②求證:；（2）拓展延伸：如圖，在四邊形中，．若，，求的長．21．（6分）因式分解：（1）a3﹣4a（2）m3n﹣2m2n+mn22．（8分）（1）教材呈現(xiàn)：下圖是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第94頁的部分內(nèi)容．定理證明：請根據(jù)教材中的分析，結(jié)合圖①，寫出“線段垂直平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過程．定理應(yīng)用：（2）如圖②，在中，直線、分別是邊、的垂直平分線，直線、的交點(diǎn)為．過點(diǎn)作于點(diǎn)．求證：．（3）如圖③，在中，，邊的垂直平分線交于點(diǎn)，邊的垂直平分線交于點(diǎn)．若，，則的長為_____________．23．（8分）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，∠A=∠D，AC=DF，且AC∥DF．求證：△ABC≌△DEF．24．（8分）我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n=p×q（p，q是正整數(shù)，且p≤q），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解．并規(guī)定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因?yàn)?2﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）如果一個(gè)正整數(shù)m是另外一個(gè)正整數(shù)n的平方，我們稱正整數(shù)m是完全平方數(shù)．求證：對任意一個(gè)完全平方數(shù)m，總有F（m）=1；（2）如果一個(gè)兩位正整數(shù)t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y為自然數(shù)），交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為36，那么我們稱這個(gè)數(shù)t為“吉祥數(shù)”，求所有“吉祥數(shù)”；（3）在（2）所得“吉祥數(shù)”中，求F（t）的最大值．25．（10分）“低碳環(huán)保，綠色出行”的概念得到廣大群眾的接受，越來越多的人喜歡選擇騎自行車作為出行工具.小軍和爸爸同時(shí)騎車去圖書館，爸爸先以150米/分的速度騎行一段時(shí)間，休息了5分鐘，再以米/分的速度到達(dá)圖書館.小軍始終以同一速度騎行，兩人騎行的路程為（米）與時(shí)間（分鐘）的關(guān)系如圖．請結(jié)合圖象，解答下列問題：（1）填空：______；______；______．（2）求線段所在直線的解析式．（3）若小軍的速度是120米/分，求小軍第二次與爸爸相遇時(shí)距圖書館的距離．26．（10分）如圖，中，，，垂足為，，，垂足分別是、．（1）求證：；（2）若，寫出圖中長度是的所有線段．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)-3<1,及k的值即可得到答案.【詳解】∵k=<0，∴y隨x的增大而減小，∵-3<1，∴，故選：A.【點(diǎn)睛】此題考查一次函數(shù)的增減性，熟記函數(shù)的性質(zhì)定理即可正確解題.2、D【分析】根據(jù)平方根的表示方法判斷即可.【詳解】解：表示4的平方根的是±，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的平方根，熟知定義和表示方法是解此題的關(guān)鍵.3、C【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10-n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【詳解】∵1納米＝10﹣9米，∴16納米表示為：16×10﹣9米＝1.6×10﹣8米．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10-n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．4、A【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)代入計(jì)算可解答.【詳解】解：由題意得：，解得：a=6，b=4，故答案為：A.【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，當(dāng)所求的坐標(biāo)是關(guān)于x軸對稱時(shí)，原坐標(biāo)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)為其相反數(shù)；當(dāng)所求的坐標(biāo)是關(guān)于y軸對稱時(shí)，原坐標(biāo)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)為其相反數(shù)；當(dāng)所求的坐標(biāo)是關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，原坐標(biāo)的橫、縱坐標(biāo)均變?yōu)槠湎喾磾?shù).5、C【解析】試題分析：設(shè)住3人間的需要有x間，住2人間的需要有y間，則根據(jù)題意得，3x+2y=17，∵2y是偶數(shù)，17是奇數(shù)，∴3x只能是奇數(shù)，即x必須是奇數(shù)．當(dāng)x=1時(shí)，y=7，當(dāng)x=3時(shí)，y=4，當(dāng)x=5時(shí)，y=1，當(dāng)x＞5時(shí)，y＜1．∴她們有3種租住方案：第一種是：1間住3人的，7間住2人的，第二種是：3間住3人的，4間住2人的，第三種是：5間住3人的，1間住2人的．故選C．6、A【分析】根據(jù)第四象限的點(diǎn)的橫坐標(biāo)是正數(shù)，縱坐標(biāo)是負(fù)數(shù)確定出m、n的符號，然后判斷出點(diǎn)B的橫、縱坐標(biāo)的符號即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵點(diǎn)A（n，m）在第四象限，∴n＞0，m＜0，∴m2＞0，﹣n＜0，∴點(diǎn)B（m2，﹣n）在第四象限．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號特征，記住各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號是解題的關(guān)鍵，四個(gè)象限的符號特點(diǎn)分別是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．7、C【解析】試題分析：解不等式得：3x﹣3≤5﹣x，4x≤8，x≤2，所以不等式的非負(fù)整數(shù)解有0、1、2這3個(gè)，故答案選C．考點(diǎn)：一元一次不等式組的整數(shù)解.8、D【分析】直接利用合并同類項(xiàng)法則、同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則、冪的乘方運(yùn)算法則和完全平方公式分別進(jìn)行計(jì)算，再進(jìn)行判斷．【詳解】A、a+a=2a，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、a6÷a3=a6－3＝a3，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、(a+b)2=a2+b2+2ab,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、(ab3)2=a2b6，故此選項(xiàng)計(jì)算正確.故選D.【點(diǎn)睛】考查了冪的乘方運(yùn)算以及同底數(shù)冪的除法運(yùn)算、合并同類項(xiàng)等知識，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．9、B【分析】化簡看是否等于；計(jì)算的倒數(shù)看是否等于-3；計(jì)算的值看是否等于；計(jì)算的平方根是否等于-1．【詳解】A.，錯(cuò)誤；B.=的倒數(shù)等于-3，正確；C.，錯(cuò)誤；D.，1的平方根是，錯(cuò)誤．故答案為B．【點(diǎn)睛】本題考查了無理數(shù)的簡單運(yùn)算，掌握無理數(shù)混合運(yùn)算的法則、倒數(shù)以及平方根的求解是解題的關(guān)鍵．10、C【分析】（1）根據(jù)圖象中平行于x軸的那一段的時(shí)間即可得出答案；（2）根據(jù)圖象的縱軸的最大值即可得出答案；（3）根據(jù)圖象的橫軸的最大值即可得出答案；（4）根據(jù)圖象中10分鐘時(shí)對應(yīng)的縱坐標(biāo)即可判斷此時(shí)的離家距離．【詳解】（1）根據(jù)圖象可知平行于x軸的那一段的時(shí)間為15-10=5（分鐘），所以修車時(shí)間為5分鐘，故錯(cuò)誤；（2）根據(jù)圖象的縱軸的最大值可知學(xué)校離家的距離為4000米，故正確；（3）根據(jù)圖象的橫軸的最大值可知到達(dá)學(xué)校時(shí)共用時(shí)間為20分鐘，故正確；（4）根據(jù)圖象中10分鐘時(shí)對應(yīng)的縱坐標(biāo)為2000，所以自行車發(fā)生故障時(shí)離家距離為2000米，故正確；所以正確的有3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，讀懂函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、1【分析】令，，根據(jù)完全平方公式的變形公式，即可求解．【詳解】令，，則x-y=1，∵，∴，即：，∵，∴，即：xy=1，故答案是：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查通過完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，掌握完全平方公式及其變形，是解題的關(guān)鍵．12、1【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠A＝∠A'＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，由直角三角形的性質(zhì)可求∠ACA'＝1°＝∠B′CB．【詳解】解：∵把△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C'，∴∠A＝∠A'＝50°，∠BCB'＝∠ACA'∵A'B'⊥AC∴∠A'+∠ACA'＝90°∴∠ACA'＝1°∴∠BCB'＝1°故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．13、-3【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等，求出a、b，代入即可．【詳解】解：∵點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對稱∴a=-5，b=2∴故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查的是關(guān)于y軸對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，掌握關(guān)于y軸對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等是解決此題的關(guān)鍵．14、【分析】首先提取公因式3，得到，再對多項(xiàng)式因式利用平方差公式進(jìn)行分解，即可得到答案．【詳解】==故答案是：【點(diǎn)睛】本題考查了對一個(gè)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解．能夠把提取公因式后的多項(xiàng)式因式寫成平方差公式的形式是解此題的關(guān)鍵．15、5【解析】試題解析：如圖，在Rt△OAB中，∵OA=4千米，OB=3千米，∴千米.所以甲、乙兩人相距5千米.故答案為5.16、【解析】圖(1)中陰影部分的面積等于兩個(gè)正方形的面積之差，即為a2?b2；圖(2)中陰影部分為梯形，其上底為2b，下底為2a，高為（a-b）則其面積為(a+b)(a?b)，∵前后兩個(gè)圖形中陰影部分的面積，∴.故答案為.17、【解析】試題分析：根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．在確定n的值時(shí)，看該數(shù)是大于或等于1還是小于1．當(dāng)該數(shù)大于或等于1時(shí)，n為它的整數(shù)位數(shù)減1；當(dāng)該數(shù)小于1時(shí)，－n為它第一個(gè)有效數(shù)字前0的個(gè)數(shù)（含小數(shù)點(diǎn)前的1個(gè)0）．0.000000156第一個(gè)有效數(shù)字前有7個(gè)0（含小數(shù)點(diǎn)前的1個(gè)0），從而．18、【分析】根據(jù)因式分解的要求是將多項(xiàng)式分解為幾個(gè)因式相乘的形式進(jìn)行化簡即可，注意要分解到不可分解為止.【詳解】，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對多項(xiàng)式的因式分解，熟練掌握公式法進(jìn)行因式分解并確保將式子分解徹底是解決本題的關(guān)鍵.

錯(cuò)因分析較容易題.失分的原因是：1.因式分解不徹底，如；2.混淆平方差公式與完全平方差公式.

三、解答題(共66分)19、（1）見解析；（2）①見解析；②GE＝【分析】（1）由垂美四邊形得出AC⊥BD，則∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，即可得出結(jié)論；

（2）①連接BG、CE相交于點(diǎn)N，CE交AB于點(diǎn)M，由正方形的性質(zhì)得出AG=AC，AB=AE，∠CAG=∠BAE=90°，易求∠GAB=∠CAE，由SAS證得△GAB≌△CAE，得出∠ABG=∠AEC，由∠AEC+∠AME=90°，得出∠ABG+∠AME=90°，推出∠ABG+∠BMN=90°，即CE⊥BG，即可得出結(jié)論；

②垂美四邊形得出CG2+BE2=CB2+GE2，由勾股定理得出BC==3，由正方形的性質(zhì)得出CG=4，BE=5，則GE2=CG2+BE2-CB2=73，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵垂美四邊形ABCD的對角線AC，BD交于O，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得：AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（2）①證明：連接BG、CE相交于點(diǎn)N，CE交AB于點(diǎn)M，如圖2所示：∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠BMN＝90°，即CE⊥BG，∴四邊形BCGE是垂美四邊形；②解：∵四邊形BCGE是垂美四邊形，∴由（1）得：CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝＝＝3，∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴CG＝AC＝4，BE＝AB＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，∴GE＝．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了新概念“垂美四邊形”、勾股定理、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；正確理解新概念“垂美四邊形”、證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．20、（1）①BC=CE+CD；②見解析；（2）AD＝6．【分析】（1）①根據(jù)題中示例方法，證明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE，從而得出BC=CE+CD；②根據(jù)△BAD≌△CAE，得出∠ACE＝45°，從而得到∠BCE＝90°，則有DE2＝CE2+CD2，再根據(jù)可得結(jié)論；（2）過點(diǎn)A作AG⊥AD，使AG=AD，連接CG、DG，可證明△BAD≌△CAG，得到CG＝BD，在直角△CDG中，根據(jù)CD的長求出DG的長，再由DG和AD的關(guān)系求出AD.【詳解】解：（1）①如圖2，在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∴BC=BD+CD=CE+CD，故答案為：BC=BD+CD=CE+CD．②∵△BAD≌△CAE，∴∠B＝∠ACE＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠BCE＝45°+45°＝90°，∴DE2＝CE2+CD2，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴，∴2AD2＝BD2+CD2；（3）如圖3，過點(diǎn)A作AG⊥AD，使AG=AD，連接CG、DG，則△DAG是等腰直角三角形，∴∠ADG＝45°，∵∠ADC＝45°，∴∠GDC＝90°，同理得：△BAD≌△CAG，∴CG＝BD＝13，在Rt△CGD中，∠GDC＝90°，，∵△DAG是等腰直角三角形，∴，∴AD＝＝6．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．21、（1）a（a+1）（a﹣1）；（1）mn（m﹣1）1【分析】（1）首先提取公因式a，進(jìn)而利用平方差公式分解因式即可；（1）首先提取公因式mn，進(jìn)而利用完全平方公式分解因式即可．【詳解】解：（1）a3﹣4a=a(a1﹣4)=a(a+1)(a?1）；（1）m3n﹣1m1n+mn=mn(m1﹣1m+1)=mn(m﹣1)1．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練運(yùn)用因式分解中的提公因式法和公式法是解題的關(guān)鍵．22、（1）答案見解析；（2）證明見解析；（3）1．【解析】（1）根據(jù)垂直得出，證明△PAC≌△PBC（SAS）即可；（2）如圖②中，由直線、的交點(diǎn)為，證明出，利用等腰三角形三線合一即可證明；（3）連接BD，BE，利用垂直平分線的性質(zhì)，得出AD=BD，BE=CE，證明△BDE是等邊三角形即可．【詳解】（1）如圖①，定理證明：∵M(jìn)N⊥AB，∴又∵∴△PAC≌△PBC（SAS），∴（2）連結(jié)OA、OB、OC．∵直線m是邊BC的垂直平分線，∴∵直線n是邊AC的垂直平分線，∴∴∵OH⊥AB，∴AH=BH．（3）連接BD，BE，∵∠ABC=120°，AB=AC，∴∠A=∠C=30°，∵直線垂直平分AB，直線k垂直平分BC，∴AD=BD，BE=CE，∴∠A=∠ABD=∠EBＣ=∠C=30°，∴∠DBE=120°-30°-30°=60°，∠EDＢ=∠A+∠ABD=60°，∴△BED是等邊三角形，∴AD=BD=BE=CE=DE，∵AC=11，∴，故答案為：1.【點(diǎn)睛】考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟記三角形判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．23、見解析；【解析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ACB=∠DFE，再根據(jù)ASA定理證明△ABC≌△DEF即可．【詳解】證明：∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，∴△ABC≌△DEF．(ASA)【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．24、（1）證明見解析；（2）15，26，37，48，59；（3）．【解析】試題分析：（1）對任意一個(gè)完全平方數(shù)m，設(shè)m=n2（n為正整數(shù)），找出m的最佳分解，確定出F（m）的值即可；（2）設(shè)交換t的個(gè)位上數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t′，則t′=10y+x，由“吉祥數(shù)”的定義確定出x與y的關(guān)系式，進(jìn)而求出所求即可；（3）利用“吉祥數(shù)”的定義分別求出各自的值，進(jìn)而確定出F（t）的最大值即可．試題解析：（1）對任意一個(gè)完全平方數(shù)m，設(shè)m=n2（n為正整數(shù)），∵|n﹣n|=0，∴n