5.5.2簡單的三角恒等變換第1課時(shí)簡單的三角恒等變換——(教學(xué)方式：深化學(xué)習(xí)課—梯度進(jìn)階式教學(xué))[課時(shí)目標(biāo)]1.通過二倍角公式的變形公式推導(dǎo)出半角的正弦、余弦、正切公式.2.了解半角公式的結(jié)構(gòu)形式，并能利用半角公式解決簡單的求值問題.3.掌握兩角和、差的正、余弦公式，通過積化和差、和差化積進(jìn)行簡單的化簡、求值、證明.(一)半角公式三角函數(shù)半角公式正弦sineq\f(α,2)＝____________余弦coseq\f(α,2)＝____________正切taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))，taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝________|微|點(diǎn)|助|解|(1)理解半角的含義：角eq\f(α,2)是角α的半角，角α是角2α的半角，角2α是角4α的半角．(2)半角公式中的±號(hào)不能去掉，若沒有給出決定符號(hào)的條件，則在根號(hào)前保留±兩個(gè)符號(hào)；若給出α的具體范圍時(shí)，則先求eq\f(α,2)的所在范圍，然后根據(jù)eq\f(α,2)所在的范圍選用符號(hào)．(二)積化和差、和差化積1．積化和差公式(1)sinαcosβ＝________________；(2)cosαsinβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]；(3)cosαcosβ＝________________；(4)sinαsinβ＝－eq\f(1,2)[cos(α＋β)－cos(α－β)]．2．和差化積公式(1)sinθ＋sinφ＝2sineq\f(θ＋φ,2)coseq\f(θ－φ,2)；(2)sinθ－sinφ＝________________；(3)cosθ＋cosφ＝2coseq\f(θ＋φ,2)coseq\f(θ－φ,2)；(4)cosθ－cosφ＝________________.基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)sin15°＝±eq\r(\f(1－cos30°,2)).()(2)cos15°＝eq\r(\f(1－cos30°,2)).()(3)taneq\f(α,2)＝eq\f(1＋cosα,sinα).()(4)對于任意的α∈R，sineq\f(α,2)＝eq\f(1,2)sinα都不成立．()2．cos2eq\f(π,8)－eq\f(1,4)的值為()A.eq\f(\r(2)－1,4) B.eqB.eq\f(\r(2)＋1,4) C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(\r(2),2)3．若cosα＝eq\f(1,3)，且α∈(0，π)，則sineq\f(α,2)＝________.4．sin75°－sin15°的值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2) C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(1,2)題型(一)利用半角公式求值聽課記錄：|思|維|建|模|利用半角公式求值的思路[針對訓(xùn)練]1．已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosα＝eq\f(2\r(5),5)，則taneq\f(α,2)等于()A．2－eq\r(5) B．2＋eq\r(5)C.eq\r(5)－2 D．±(eq\r(5)－2)2．已知sinα＝－eq\f(4,5)且π＜α＜eq\f(3π,2)，則sineq\f(α,2)＝________.題型(二)積化和差、和差化積公式的應(yīng)用[例2](1)求值：sin20°cos70°＋sin10°sin50°；(2)已知cosα－cosβ＝eq\f(1,2)，sinα－sinβ＝－eq\f(1,3)，求sin(α＋β)的值．聽課記錄：|思|維|建|模|1．積化和差公式的功能與關(guān)鍵(1)功能：①把三角函數(shù)的一種形式(積的形式)轉(zhuǎn)化為另一種形式(和差的形式)．②將角度化為特殊角求值或化簡，將函數(shù)式變形以研究其性質(zhì)．(2)關(guān)鍵是正確地選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)相約或相消，從而化為特殊角的三角函數(shù)．2．和差化積公式應(yīng)用時(shí)的注意事項(xiàng)(1)在應(yīng)用和差化積公式時(shí)，必須是一次同名三角函數(shù)方可施行，若是異名，必須用誘導(dǎo)公式化為同名，若是高次函數(shù)，必須用降冪公式降為一次．(2)根據(jù)實(shí)際問題選用公式時(shí)，應(yīng)從以下幾個(gè)方面考慮：①運(yùn)用公式之后，能否出現(xiàn)特殊角；②運(yùn)用公式之后，能否提取公因式，能否約分，能否合并或消項(xiàng)．[針對訓(xùn)練]3．求下列各式的值：(1)cos29°cos31°－eq\f(1,2)cos2°；(2)coseq\f(π,8)＋coseq\f(3π,8)－2sineq\f(π,4)coseq\f(π,8).題型(三)三角恒等式的證明問題[例3]求證：eq\f(1＋sinθ－cosθ,1＋sinθ＋cosθ)＋eq\f(1＋sinθ＋cosθ,1＋sinθ－cosθ)＝eq\f(2,sinθ).聽課記錄：|思|維|建|模|三角恒等式證明的常用方法(1)執(zhí)因索果法：證明的形式一般是化繁為簡．(2)左右歸一法：證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子．(3)拼湊法：針對題設(shè)和結(jié)論之間的差異，有針對性地變形，以消除它們之間的差異，簡言之，即化異求同．(4)比較法：設(shè)法證明“左邊－右邊＝0”或“左邊/右邊＝1”．(5)分析法：從被證明的等式出發(fā)，逐步地探求使等式成立的條件，直到已知條件或明顯的事實(shí)為止，就可以斷定原等式成立．[針對訓(xùn)練]4．在△ABC中，求證：sinA＋sinB－sinC＝4sineq\f(A,2)sineq\f(B,2)coseq\f(C,2).eq\a\vs4\al(課下請完成課時(shí)跟蹤檢測五十九)5.5.2簡單的三角恒等變換第1課時(shí)簡單的三角恒等變換?課前預(yù)知教材(一)±1?cosα2±1+cos(二)1.(1)12[sin(α+β)+sin(αβ(3)12[cos(α+β)+cos(αβ2.(2)2cosθ+φ2(4)2sinθ+φ2[基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練]1.(1)×(2)×(3)×(4)×2.B3.334.B?課堂題點(diǎn)研究[例1]解:∵α為第四象限角,∴α2為第二、四象限角當(dāng)α2為第二象限角時(shí),sinα2=1?cosα2=33,cosα2=1+cosα2=63當(dāng)α2為第四象限角時(shí),sinα2=1?cosα2=33,cosα2=1+cosα2=63[針對訓(xùn)練]1.選C法一∵sinα=55,cosα=255,∴tanα2=si法二∵sinα=55>0,cosα=255>0,∴α的終邊落在第一象限,α2的終邊落在第一或第三象限,所以tanα2>0,故tanα2=1?cos2.解析:因?yàn)閟inα=45,π<α<3π2,所以cosα=35.又π2<α2<3π4,所以sinα2答案:2[例2]解:(1)sin20°cos70°+sin10°sin50°=12(sin90°sin50°)12(cos60°cos40°)=1412sin50°+=1412sin50°+12sin(2)∵cosαcosβ=12∴2sinα+β2sinα?又∵sinαsinβ=13∴2cosα+β2sinα?β2=13∴由①②,得tanα+β2即tanα+β2∴sin(α+β)=2si=2tanα+β2[針對訓(xùn)練]3.解:(1)cos29°cos31°12cos=12[cos(29°+31°)+cos(29°31°)]12cos=12cos60°+12cos(2°)12cos(2)cosπ8+cos3π82sinπ4=2cosπ8+3π82·cos=2co