專題10圓周角（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)6種題型3種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1：圓周角知識(shí)點(diǎn)2：圓周角定理（難點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)3：圓周角定理的推論（難點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)4：圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)（重點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1：利用圓周角定理求角度題型2：利用圓周角定理解決線段的有關(guān)問題題型3：圓周角與其他知識(shí)綜合應(yīng)用題型4：添加輔助圓求角的度數(shù)題型5：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與圓周角定理的綜合題型6：應(yīng)用圓周角定理解決探究性問題【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1：用圓周角定理求角的度數(shù)考法2：圓周角定理的推論考法3：圓內(nèi)接四邊形【方法四】成果評(píng)定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握?qǐng)A周角與圓心角及其所對(duì)弧的關(guān)系，會(huì)證明圓周角定理及其推論。2.能運(yùn)用圓周角定理及其推論解決相關(guān)問題。3.學(xué)會(huì)用分類、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法解決問題?！局R(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1：圓周角1.圓周角定義：像圖中∠AEB、∠ADB、∠ACB這樣的角，它們的頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．2.圓心角與圓周角的區(qū)別與聯(lián)系【例1】觀察下圖中角的頂點(diǎn)與兩邊有何特征?指出哪些角是圓周角?【答案與解析】(a)∠1頂點(diǎn)在⊙O內(nèi)，兩邊與圓相交，所以∠1不是圓周角；(b)∠2頂點(diǎn)在圓外，兩邊與圓相交，所以∠2不是圓周角；(c)圖中∠3、∠4、∠BAD的頂點(diǎn)在圓周上，兩邊均與圓相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圓周角．(d)∠5頂點(diǎn)在圓上，一邊與圓相交，另一邊與圓不相交，所以∠5不是圓周角；(e)∠6頂點(diǎn)在圓上，兩邊與圓均不相交，由圓周角的定義知∠6不是圓周角.【總結(jié)升華】緊扣定義，抓住二要素，正確識(shí)別圓周角．知識(shí)點(diǎn)2：圓周角定理（難點(diǎn)）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．A．B．或C．D．或【答案】D；【解析】當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上時(shí)，∠ACB=50°；當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB上時(shí)，∠ACB=130°，故選D.【點(diǎn)評(píng)】考查分類討論思想.【變式】如圖，AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°則弦AB所對(duì)的圓周角是.【答案】40°或140°.知識(shí)點(diǎn)3：圓周角定理的推論（難點(diǎn)）半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．要點(diǎn)詮釋：(1)圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上；②角的兩邊都和圓相交.(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.（3）圓心與圓周角存在三種位置關(guān)系：圓心在圓周角的一邊上；圓心在圓周角的內(nèi)部；圓心在圓周角的外部．（如下圖）【答案】A【詳解】解：∵是的直徑，【變式】如圖，⊙A過點(diǎn)O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，點(diǎn)B是x軸下方⊙A上的一點(diǎn)，連接BO、BD，則∠OBD的度數(shù)是．【答案】30°【詳解】連接CD.由題意得∠COD=90°，∴CD是⊙A的直徑.∵D（0，1），C（，0），∴OD=1，OC=，∴∠OCD=30°，∴∠OBD=∠OCD=30°.（同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等）知識(shí)點(diǎn)4：圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)（重點(diǎn)）（1）定義:圓內(nèi)接四邊形：頂點(diǎn)都在圓上的四邊形，叫圓內(nèi)接四邊形．（2）性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角（即它的一個(gè)外角等于它相鄰內(nèi)角的對(duì)角）．【例4】（2022秋?靖江市期末）如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O．求證：∠A+∠C＝180°．【解答】證明：如圖，連接OB、OD，由圓周角定理得：∠A＝∠2，∠C＝∠1，∵∠2+∠1＝360°，∴∠A+∠C＝180°．【變式】如圖已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝70°，則∠ADC的度數(shù)是．【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝70°，∴∠ADC＝110°，故答案為：110°．【方法二】實(shí)例探索法題型1：利用圓周角定理求角度1．（2023?亭湖區(qū)校級(jí)三模）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BCD＝40°，則∠ABD的大小為（）A．60° B．50° C．45° D．40°【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠BAD＝∠BCD＝40°，∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝50°．故選：B．2．（2023?溧陽市一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的兩點(diǎn)，若∠ABD＝54°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．36° B．40° C．46° D．65°【解答】解：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝54°，∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝36°，∴∠DAB＝∠BCD＝36°，故選：A．3．（2023?金壇區(qū)一模）如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P，若∠A＝40°，∠APD＝70°，則∠B的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．35° D．40°【解答】解：∵∠APD＝∠C+∠A，∠A＝40°，∠APD＝70°，∴∠C＝∠APD﹣∠A＝70°﹣40°＝30°，∴∠B＝∠C＝30°．故選：B．4．（2023?天寧區(qū)模擬）如圖，在⊙O中，AB∥OC，若∠OBA＝40°，則∠BAC的度數(shù)是（）A．50° B．30° C．25° D．20°【解答】解：∵AB∥OC，∠OBA＝40°，∴∠COB＝∠OBA＝40°，∴∠BAC＝∠COB＝20°，故選：D．5．（2023?鹽都區(qū)一模）用破損量角器按如圖方式測(cè)量∠ABC的度數(shù)，讓∠ABC的頂點(diǎn)恰好在量角器圓弧上，兩邊分別經(jīng)過圓弧上的A、C兩點(diǎn)．若點(diǎn)A、C對(duì)應(yīng)的刻度分別為55°，135°，則∠ABC的度數(shù)為．【解答】解：連接OA、OC、DA、DC，設(shè)⊙O的直徑為EF，如圖：由題意可知，∠AOE＝55°，∠EOC＝135°，∴∠AOC＝∠EOC﹣∠AOE＝135°﹣55°＝80°，∴∠ADC＝∠AOC＝40°，∵∠ABC+∠AOC＝180°，∴∠ABC＝140°，故答案為：140°．6．（2023?蘇州模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交⊙O于點(diǎn)C，D，連接BD．若∠A＝34°，∠AED＝87°，則∠B＝°．?【解答】解：∵∠AED是△ACE的一個(gè)外角，∠A＝34°，∠AED＝87°，∴∠C＝∠AED﹣∠A＝53°，∴∠C＝∠B＝53°，故答案為：53．7.如圖，AB是⊙O的直徑，C、D、E都是⊙O上的點(diǎn)，則∠1+∠2=___________.【答案】90°.【解析】如圖，連接OE，則8．（2022秋?鼓樓區(qū)期末）如圖，AB為⊙O的直徑，D是弦AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AC＝CD，DB的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，連接CE．（1）求證∠A＝∠D；（2）若的度數(shù)為108°，求∠E的度數(shù)．【解答】（1）證明：連接BC，∵AB是⊙O的直徑，∴即AD⊥BC，又AC＝CD，∴AB＝BD，∴∠A＝∠D；（2）解：∵的度數(shù)為108°，∴∠EBA＝54°，又∠EBA＝∠A+∠D，∠A＝∠D，∴，∴∠E＝∠A＝27°．9．（2022秋?建鄴區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，AC是⊙O的直徑，，∠CAB＝32°．求∠ACD的度數(shù)．【解答】解：∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠CAB＝90°﹣32°＝58°，∴∠ADB＝∠ACB＝58°，∵＝，∴∠DAB＝∠DBA＝（180°﹣58°）＝61°，∴∠ACD＝∠DBA＝61°．∴∠ACD的度數(shù)是61°．題型2：利用圓周角定理解決線段的有關(guān)問題10．（2023?南京模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD與AB交于點(diǎn)E，連接AC、BD，∠B＝75°，∠A＝45°，，則弦CD＝．【解答】解：連接OC，過點(diǎn)O作OH⊥CD，垂足為H，∴CD＝2CH，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝45°，∴∠AOC＝180°﹣∠A﹣∠ACO＝90°，∵，∴OA＝OC＝＝＝2，∵∠B＝75°，∴∠ACD＝∠B＝75°，∴∠OCD＝∠ACD﹣∠ACO＝30°，在Rt△OCH中，OH＝OC＝1，CH＝OH＝，∴CD＝2CH＝2，故答案為：2．11.如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長(zhǎng)BD到C，使AC=AB，BD與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？【答案與解析】BD=CD.理由是：如圖，連接AD∵AB是⊙O的直徑∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB，∴BD=CD.題型3：圓周角與其他知識(shí)綜合應(yīng)用12．（2023?濱江區(qū)一模）如圖1，AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，，BF與CD交于點(diǎn)G．（1）求證：CD＝BF．（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的長(zhǎng)．（3）連結(jié)GO，OF，如圖2，求證：．【解答】（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，∴，∵，∴，∴，即，∴BF＝CD；（2）解：如圖所示：連接BC，由（1）得：，CD＝BF＝4，∴∠FBC＝∠BCD，∴BG＝CG，∵AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，∴，設(shè)EG＝x，則BG＝CG＝2﹣x，在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+12＝（2﹣x）2，解得：，∴GE的長(zhǎng)為；（3）解：如圖所示：連接OC交BF于I，∵，∴，在△OCG和△OBG中，，∴△OCG≌△OBG（SSS），∴∠COG＝∠BOG，∴∠IOB＝2∠EOG，∵OF＝OB，OC為半徑，∴OC⊥BF，∴∠OIB＝90°，∵∠IOB+∠IBO＝90°，∴．題型4：添加輔助圓求角的度數(shù)13．（2022秋?思明區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝20°，∠BDC＝30°，則∠BAD＝．【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴B、C、D三點(diǎn)在以點(diǎn)A為圓心，以AB為半徑的圓上，∵∠CBD＝20°，∠BDC＝30°，∴∠BAC＝2∠BDC＝60°，∠CAD＝2∠CBD＝40°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝60°+40°＝100°．故答案為：100°．14．（2021?漢陽區(qū)校級(jí)模擬）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝15°，BD＝AB，則∠BDC＝．【解答】解：過點(diǎn)A作AM⊥BD于M．∵AB＝AC＝AD，∴∠CAD＝2∠CBD＝30°，∴∠ADC＝∠ACD＝75°，∵AB＝AD，AM⊥BD，∴BM＝DM，∵BD＝AB，∴＝，∴cos∠ABM＝，∴∠ABM＝∠ADB＝30°，∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝45°．故答案為：45°．15．（2020秋?昭陽區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD是對(duì)角線，AB＝AC＝AD，如果∠BAC＝70°，那么∠BDC＝．【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴點(diǎn)B，C，D在以點(diǎn)A為圓心的圓上，∵∠BAC＝70°，∴∠BDC＝∠BAC＝35°．故答案為：35°．16．（2020?武漢模擬）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AC＝AD＝BO，∠DBC＝15°，則∠BDC＝．【解答】解：∵AB＝AC＝AD＝BO，∴點(diǎn)B、C、D在以A點(diǎn)為圓心，AB為半徑的圓上，∴∠BAC＝2∠BDC，∠CAD＝2∠DBC＝2×15°＝30°，設(shè)∠BDC＝x，則∠BAC＝2x，∵BO＝BA，∴∠BOA＝2x，∵∠BOA＝∠OAD+∠ADO，∴∠ADO＝2x﹣30°，∵AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣30°）＝75°，即2x﹣30°+x＝75°，解得x＝35°，即∠BDC＝35°．故答案為35°．題型5：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與圓周角定理的綜合17．（2022秋?宿城區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于一圓，CE是邊BC的延長(zhǎng)線．（1）求證∠DAB＝∠DCE；（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∵∠DCE+∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCE；（2）解：∵∠ACB＝70°，∴∠ADB＝∠ACB＝70°，∴∠ABD＝180°﹣60°﹣70°＝50°．18．（2022秋?鎮(zhèn)江期中）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠EAD＝∠BAC，BA、CD延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．求證：BD＝BC．【解答】證明：∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠EAD+∠BAD＝180°，∴∠BCD＝∠EAD，∵∠EAD＝∠BAC，∴∠BCD＝∠BAC，∵∠BDC＝∠BAC，∴∠BCD＝∠BDC，∴BD＝BC．題型6：應(yīng)用圓周角定理解決探究性問題(1)【動(dòng)手操作】(2)【問題探究】根據(jù)（1）所畫圖形，探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)【拓展延伸】【答案】(1)作圖見解析；135【詳解】（1）解：如圖所示：故答案為：135．連接，如圖所示：∴、P、B、E四點(diǎn)共圓，∴、B、P、E四點(diǎn)共圓，【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1：用圓周角定理求角的度數(shù)20．（2021?常州）如圖，BC是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，若∠AOC＝60°，則∠OAB的度數(shù)是（）A．20° B．25° C．30° D．35°【解答】解：∵∠AOC＝60°，∴∠B＝∠AOC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B＝30°，故選：C．21．（2022?徐州）如圖，A、B、C點(diǎn)在圓O上，若∠ACB＝36°，則∠AOB＝．【解答】解：∵∠ACB＝∠AOB，∠ACB＝36°，∴∠AOB＝2×∠ACB＝72°．故答案為：72°．考法2：圓周角定理的推論22．（2022?蘇州）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，連接AC，AD．若∠BAC＝28°，則∠D＝°．【解答】解：如圖，連接BC．∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，∴∠D＝∠ABC＝62°，故答案為：62．23．（2021?淮安）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，則∠D的度數(shù)是．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝55°，∴∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，∴∠D＝∠B＝35°．故答案為：35°．24．（2021?宿遷）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，點(diǎn)B、C在⊙O上，邊AB、AC分別交⊙O于D、E兩點(diǎn)，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，則∠ABE＝．【解答】解：如圖，連接DC，∵∠DBC＝90°，∴DC是⊙O的直徑，∵點(diǎn)B是的中點(diǎn)，∴∠BCD＝∠BDC＝45°，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE，故答案為：13°．25．（2021?徐州）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，若∠ADC＝58°，則∠BAC＝°．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝∠ADC＝58°，∴∠BAC＝90°﹣∠B＝32°．故答案為32．考法3：圓內(nèi)接四邊形26．（2022?淮安）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠AOC＝160°，則∠ABC的度數(shù)是（）A．80° B．100° C．140° D．160°【解答】解：∵∠AOC＝160°，∴∠ADC＝∠AOC＝80°，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣80°＝100°，故選：B．27．（2022?南京）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，它的3個(gè)外角∠EAB，∠FBC，∠GCD的度數(shù)之比為1：2：4，則∠D＝°．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)ED到H，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝∠BAD+∠BCD＝180°，又∵∠EAB，∠FBC，∠GCD的度數(shù)之比為1：2：4，∴∠EAB，∠FBC，∠GCD，∠CDH的度數(shù)之比為1：2：4：3，∵∠EAB+∠FBC+∠GCD+∠CDH＝360°，∴∠CDH＝360°×＝108°，∴∠ADC＝180°﹣108°＝72°，故答案為：72．28．（2021?鹽城）如圖，在⊙O內(nèi)接四邊形ABCD中，若∠ABC＝100°，則∠ADC＝°．【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣100°＝80°．故答案為：80．【方法四】成果評(píng)定法一、單選題A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求出的度數(shù)，根據(jù)與所對(duì)弧相同，即可求解．∵與所對(duì)弧相同，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，同弧或等弧所對(duì)圓周角相等的知識(shí)的綜合，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知弦把圓周分成兩部分，則弦所對(duì)圓周角的度數(shù)為（

）【答案】D【分析】分優(yōu)弧，劣弧兩種情況，求解即可．【詳解】解：∵弦把圓周分成兩部分，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查弦，弧，角之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是注意弦分弧為優(yōu)弧和劣弧兩種情況．

A． B． C． D．【答案】C故選：C．

A． B． C． D．【答案】C故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．

【答案】D故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，能熟記圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．

【答案】A故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確應(yīng)用圓的有關(guān)性質(zhì)和定理．【答案】D∴點(diǎn)P在以為直徑的圓上，如圖，設(shè)的中點(diǎn)為D，連接，即長(zhǎng)度不變，故選D．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)和直徑所對(duì)圓周角等于90度求解即可．∵是的直徑，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)，涉及到圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)和直徑所對(duì)圓周角等于90度，熟記知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，連接，∵是的直徑，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理、直徑的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問題．A． B． C． D．【答案】A∴的半徑為，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了求正方形外接圓的直徑、正方形的性質(zhì)、勾股定理、圓的面積，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理．二、填空題

【分析】根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，進(jìn)行求解即可．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．熟練掌握同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，是解題的關(guān)鍵．【答案】故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．【答案】20【詳解】解：連接，如圖，故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理、等腰三角形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【答案】/43度【詳解】解：連接，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，等邊對(duì)等角，三角形的外角，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．

【答案】4【詳解】解：連接并延長(zhǎng)交于D，連接，

故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，含角的直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．

【點(diǎn)睛】本題考查等弧所對(duì)的圓周角相等，圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)等知識(shí)，掌握?qǐng)A的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，交于點(diǎn)，點(diǎn)恰為線段中點(diǎn)，【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，三角形中位線定理，平行線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理，三角形中位線定理，平行線的性質(zhì)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，是解題的關(guān)鍵．【答案】70連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，故答案為：70．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題【答案】【詳解】解：如圖，連接，．．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理以及直角三角形的性質(zhì)，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思維，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【答案】(1)相等，理由見解析(2)10【詳解】（1）解：連接，是的直徑，【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理，等角的余角相等，圓心角、弦的關(guān)系，三角形的中位線性質(zhì)，垂徑定理，掌握?qǐng)A心角、弦的關(guān)系，三角形的中位線性質(zhì)以及垂徑定理是解題的關(guān)鍵．

【答案】(1)證明見解析【詳解】（1）解：∵為弧的中點(diǎn)，【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記圓周角定理與圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵．22．（2022秋·江蘇連云港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）【特例感知】【類比遷移】【問題解決】【詳解】解：（1）∵是的直徑，故答案為：120，；【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理，直角三角形30度角的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理，熟練掌握各定理并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．23．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）已知：A、B為圓上兩定點(diǎn)，點(diǎn)C在該圓上，為所對(duì)的圓周角．知識(shí)回顧①求的度數(shù)；逆向思考拓展應(yīng)用(2)見解析；(3)見解析（2）只要說明點(diǎn)到圓上、和另一點(diǎn)的距離相等即可；

為該圓的圓心．（3）證明：過作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連接，，

必有一個(gè)點(diǎn)的位置始終不變，點(diǎn)即為所求．24．（2022秋·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）【學(xué)習(xí)心得】【初步運(yùn)用】【方法遷移】【問題拓展】【分析】（1）由圓周角定理可得出答案；故答案為：；（2）如圖2，取的中點(diǎn)，連接、．點(diǎn)、、、共圓，（3）作圖如下：【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理、作圖、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、垂徑定理等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．（2023?姑蘇區(qū)校級(jí)一模）我們給出定義：如果三角形存在兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足2a+β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)