第2章

一元二次函數(shù)、方程和不等式2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)1人教A版2019高中數(shù)學(xué)必修第一冊

不等關(guān)系及其表示在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，大量存在著相等關(guān)系和不等關(guān)系，例如多與少、大與小、長與短、高與矮、遠(yuǎn)與近、快與慢、漲與跌、輕與重、不超過和不少于等。類似于這樣的問題反映在數(shù)量關(guān)系上就是相等和不相等，相等用等式表示不等用不等式表示?！镜仁健恐傅氖怯玫忍枴?”連接起來的式子【不等式】指的是用不等號“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”

連接起來的式子不等關(guān)系及其表示【問題1】你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關(guān)系嗎？

（3）三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（4）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.

設(shè)P是直線AB外任意一點(diǎn)，PQ是P到AB的垂線段，C是直線AB上任意一點(diǎn)，則PC≥PQABCPQ不等關(guān)系及其表示【問題2】某種雜志原本以每本2.5元的價(jià)格出售，可以售出8萬本.據(jù)市場調(diào)查

發(fā)現(xiàn)，雜志的單價(jià)每提高0.1元，銷售量就可能減少2000本.如何定價(jià)

才能使?jié)q價(jià)后的總收入不低于20萬元?

所以用不等式表示為：單價(jià)漲了多少元單價(jià)漲了多少個(gè)0.1元銷量少了多少個(gè)2000元課本習(xí)題P401．用不等式或不等式組表示下面的不等關(guān)系：（1）某高速公路規(guī)定通過車輛的車貨總高度從地面算起不能超過4m；（2）與的和為非負(fù)實(shí)數(shù)；（3）如圖，在一個(gè)面積小于350的矩形地基的中心位置上建造一個(gè)倉庫，倉庫的四周建成綠地，倉庫的長大于寬的4倍．實(shí)數(shù)大小的比較

實(shí)際上，在初中我們已經(jīng)通過具體實(shí)例歸納出了一些不等式的性質(zhì)，那么這些不等式的性質(zhì)為什么是正確的呢？還有其他不等式的性質(zhì)嗎？回答這些問題要用到關(guān)于兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí).不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號的方向不變不等式的兩邊同乘(或除以)一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變不等式的兩邊同乘(或除以)一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變實(shí)數(shù)大小的比較

AB

BA

A(B)

實(shí)數(shù)大小比較的基本事實(shí)①【作差法】

【解】運(yùn)用作差法：

0是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界線，它為比較實(shí)數(shù)的大小提供了標(biāo)桿.

若設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為a,b，則

ABCDE(FGH)

當(dāng)a=b時(shí)，S=S'，即ABCDEFGHab當(dāng)a=b時(shí)

(1)正方形ABCD的面積S=________；四個(gè)直角三角形的面積和S'

=_____;(2)

S與S’有什么樣的不等關(guān)系，如何表示？（3）S與S’會(huì)出現(xiàn)相等的情況嗎，什么時(shí)候相等？【問題4】一個(gè)重要不等式優(yōu)化設(shè)計(jì)P393.某高速公路對行駛的各種車輛的最大限速為120km/h,正常行駛過程中,同一車道上的車間距不得小于50m.則車輛的行駛速度v(單位:km/h)和車間距d(單位:m)用不等式表示為(

)優(yōu)化設(shè)計(jì)P403.已知x<1,則x2+2與3x的大小關(guān)系為

.

優(yōu)化設(shè)計(jì)P403.若x2+y2=4,則xy的最大值是(

)優(yōu)化設(shè)計(jì)P40【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b之間,有且只有a>b,a=b,a<b三種關(guān)系中的一種.(√)(2)實(shí)數(shù)x不大于3,用不等式表示為x<3.(×)(3)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小,只能用作差法.(×

)優(yōu)化設(shè)計(jì)P40【例1】

已知某列車的速度為v1(單位:km/h),這個(gè)速度的2倍再加100km/h,不超過民航飛機(jī)的最低速度v2(單位:km/h).列車的速度已經(jīng)超過了普通客車速度v3(單位:km/h)的3倍,請你用不等式表示v1和v2,v1和v3的關(guān)系.優(yōu)化設(shè)計(jì)P40【例2】

已知x>1,比較x3-1與2x2-2x的大小.將例題中的“x>1”改為“x∈R”,試比較x3-1與2x2-2x的大小.優(yōu)化設(shè)計(jì)P41【變式訓(xùn)練2】

已知m∈R,a>b>1,試比較的大小.優(yōu)化設(shè)計(jì)P41【例3】

某單位組織職工去某地參觀學(xué)習(xí),需包車前往.甲車隊(duì)說:“若領(lǐng)隊(duì)買一張全票,則其余人可享受7.5折優(yōu)惠.”乙車隊(duì)說:“你們屬團(tuán)體票,按原價(jià)的8折優(yōu)惠.”這兩個(gè)車隊(duì)的原價(jià)、車型都是一樣的,試根據(jù)該單位去的人數(shù),比較兩車隊(duì)的收費(fèi)哪家更優(yōu)惠.優(yōu)化設(shè)計(jì)P41【變式訓(xùn)練3】

建筑設(shè)計(jì)規(guī)定,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標(biāo)準(zhǔn),窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%,且這個(gè)比值越大,住宅的采光條件就越好.試問:同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積,住宅的采光條件是變好了,還是變壞了?請說明理由.優(yōu)化設(shè)計(jì)P42【典例】

若A=a2+3ab,B=4ab-b2,則A,B的大小關(guān)系是(

)A.A≤B B.A≥BC.A>B D.大小關(guān)系不確定優(yōu)化設(shè)計(jì)P421.下列能表示“m與n的和是非正數(shù)”的不等式為(

)A.m+n<0 B.m+n>0 C.m+n≤0 D.m+n≥02.設(shè)M=x2,N=-x-1,則M與N的大小關(guān)系是(

)A.M>N B.M=NC.M<N D.與x的取值有關(guān)優(yōu)化設(shè)計(jì)P423.已知0<a<1,則a與的大小關(guān)系為.

4.某單位的甲、乙、丙三人到A城出差.在安排住宿時(shí),有三種住宿方案可供他們選擇:(1)三人同住一個(gè)套間;(2)二人住標(biāo)準(zhǔn)間(雙人間)、一人住單間;(3)三人各住一個(gè)單間.若賓館方面對套間、標(biāo)準(zhǔn)間及單間的標(biāo)價(jià)分別為300元、160元和60元;同時(shí)對客戶實(shí)行打折優(yōu)惠,但這三類房間的折扣率各不相同,分別為50%,65%和85%,三種住宿方案中最經(jīng)濟(jì)的是第

種方案.

優(yōu)化設(shè)計(jì)P42