第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年廣東省梅州市興寧一中高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=|7+3i|，則復(fù)數(shù)z=A.2?i B.2+i C.2?2i D.1+2i2.設(shè)a=(m,12)，b=(2m,?6)，若a⊥b，則A.?6 B.0 C.6 D.±63.如圖，矩形A′B′C′D′是水平放置的平面四邊形ABCD用斜二測畫法畫出的直觀圖，其中A′B′=1，B′C′=3，則原四邊形ABCD的周長為(

)A.235+6 C.12 D.24.某中學(xué)共有300名教職員工，其中一線教師200人，行政人員60人，后勤人員40人，采取分層隨機(jī)抽樣，擬抽取一個(gè)樣本容量為60的樣本，則行政人員應(yīng)抽取(

)A.40人 B.28人 C.12人 D.8人5.已知向量a=(4,?2,6)，b=(?2,1,x)，則使a⊥b，a//bA.53，?3 B.103，?3 C.53，3 D.6.在四面體OABC中，空間的一點(diǎn)M滿足OM=12OA+16OB+λOC，若A.12 B.13 C.5127.將一枚質(zhì)地均勻的正四面體教具連續(xù)拋擲n(n≥8,n∈N?)次，第5次和第8次某一面朝下的概率分別記為p，q，則p，q的大小關(guān)系為A.p，q的大小由n確定 B.p<q

C.p>q D.p=q8.美國數(shù)學(xué)家JackKiefer于1953年提出0.618優(yōu)選法，又稱黃金分割法，是在優(yōu)選時(shí)把嘗試點(diǎn)放在黃金分割點(diǎn)上來尋找最優(yōu)選擇.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚于20世紀(jì)60、70年代對其進(jìn)行簡化、補(bǔ)充，并在我國進(jìn)行推廣，廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域.黃金分割比t=5?12≈0.618，現(xiàn)給出三倍角公式cos3α=4cos3α?3cosαA.2t=3sin18° B.t=2sin18° C.t=5sin18°二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知平面α過點(diǎn)A(1,?1,2)，其法向量n=(2,?1,2)，則下列點(diǎn)不在平面α內(nèi)的是(

)A.(2,3,3) B.(3,?3,4) C.(?1,2,0) D.(2,?1,1)10.記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a=13，b=3，A=π3A.c=4 B.△ABC的周長為7+13

C.sinC=21311.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，動(dòng)點(diǎn)E在線段A1C1上，F(xiàn)、A.FM//A1C1

B.BM⊥平面CC1F

C.存在點(diǎn)E，使得平面BEF//平面三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知平面α的法向量是(2,3,?1)，平面β的法向量是(4,λ,?2)，若α//β，則λ的值為______．13.將10個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列如下：11，15，17，a，23，26，27，34，37，38，若該組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為22，則a=______．14.在三棱錐P?ABC中，AB⊥BC，點(diǎn)P在底面的投影O為△ABC的外心，若AB=4，BC=3，PO=5，則三棱錐P?ABC的外接球的表面積為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復(fù)數(shù)z=(a2+a?2)+(a2?7a+6)i，其中a∈R．

(1)若z∈R，求a的值；

(2)16.(本小題15分)

甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機(jī)抽取8次，記錄如下：

甲82?81?79?78?95?88?93?84

乙92?95?80?75?83?80?90?85

(1)求甲成績的80%分位數(shù)；

(2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度(在平均數(shù)、方差或標(biāo)準(zhǔn)差中選兩個(gè))考慮，你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適？請說明理由？17.(本小題15分)

在△ABC中內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bsinA=acos(B?π6)．

(1)求角B的大??；

(2)設(shè)a=2，c=3，求b和△ABC18.(本小題17分)

已知長方體ABCD?A1B1C1D1，AA1=3，AB=2BC=2，E為棱AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段D1C的中點(diǎn)．

19.(本小題17分)

如圖1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，將△BCD沿BD翻折至△BC1D，且AC1=23，如圖2所示．

在圖2中：

(1)求證：平面ABC1⊥平面AC1D；

(2)

參考答案1.C

2.D

3.C

4.C

5.A

6.B

7.D

8.B

9.BC

10.ABD

11.ABD

12.6

13.21

14.6251615.(1)因?yàn)閦∈R，所以a2?7a+6=0，解得a=1或a=6；

(2)由已知可得a2+a?2>0a2?7a+6>0，

解得a∈(?∞,?2)∪(6,+∞)，

所以a的取值范圍為a∈(?∞,?2)∪(6,+∞)．

16.解：(1)甲成績按從小到大排列為：78，79，81，82，84，88，93，95，

所以8×0.8=6.4，

所以甲成績的80%分位數(shù)93；

(2)甲的平均數(shù)是82+81+79+95+88+93+848=85，乙的平均數(shù)是92+95+80+75+83+80+90+858=85，

甲的方差是17.(1)由bsinA=acos(B?π6)及正弦定理，

則sinB?sinA=sinA?cos(B?π6)，

又A∈(0,π)，則sinA≠0，

故sinB=cos(B?π6)=32cosB+12sinB，

化簡得tanB=3，

又B∈(0,π)，故B=π3；

(2)由題意，a=2，c=3，

由余弦定理，b=a2+c2?2accosB=4+9?2×2×3×12=7，

則△ABC外接圓半徑R=b2sinB=72×32=213，

故△ABC外接圓面積S=πR2=7π3．

18.解：(1)以D為原點(diǎn)，以DA、DC、DD1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

則E(1,1,0)，F(xiàn)(0,1,32)，A(1,0,0)，D1(0,0,3)19.(1)證明：由題意知AC1=23，AB=C1D=4，AD=BC1=2，

則AC12+AD2=DC12，故AC?1⊥AD，

又AB⊥AD，且AB∩AC1=A，AB，AC1?平面ABC1，

故AD⊥平面ABC1，

而AD?平面AC1D，

故平面ABC1⊥平面AC1D.

(2)由AC12+BC12=AB2，可得AC1⊥BC1，由(1)知AD⊥平面