溯源有道w

——回扣教材重落實一：

《中國高考評價體系》中明確提出高考的核心功能之一為引導(dǎo)教學(xué)，結(jié)合近三年新高考

試題，回歸教材在這些試題中體現(xiàn)得淋漓盡致.高考試題雖在書外，但根植于書內(nèi)，60%的

試題直接源于教材習(xí)題、例題的改編、嫁接與揉合，30%的試題借用教材中經(jīng)典思想方法進

行創(chuàng)新，因此，回扣教材小冉是簡單的贅述定義、定理、公式與性質(zhì)，向是需要直擊教材知

識本源，加強對課本例題、習(xí)跑的利用和升華，把握數(shù)學(xué)方法，提煉數(shù)學(xué)思想，并適度進行

拓展與創(chuàng)新.

回扣（一）糾正認知偏差——避易錯

一一H一遺忘空集或區(qū)間端點

1.集合A={-1,2},8={冰忒-2=0},若BQA,則由實數(shù)?的取值組成的集合為（）

A.{-2}B.{1}

C.{-2,1}D.（-2,1,0}

解析：D對于集合B,當〃=0時，B=。,滿足BUA；當。大0時，8=弓],又5GA,

22

所以片一1或42,解得。=-2或。=1.綜上，滿足—A的實數(shù)。的取值組成的集合為{-

2,1,0）.

2.己知集合A={My=log2（/-4）},8={%。-3蛆+2加<0（//1>0）},若8GA,則實數(shù)機

的取值范圍為（）

A.（4,+8）B.[4,+8）

C.（2,4-oo）D.[2,4-oo）

解析：D由/-4>0,得xV—2或心>2,則A=（—8,-2）U（2,+~）.由爐一3，址

+2裙<0（〃?>0）,得機y<2/〃（〃>0）,則8=?！?，2m）.由BQA可知機22,所以實數(shù)機的取

值范圍為[2,4-oo）.故選D.

易錯2混淆充分條件與必要條件的關(guān)系

1.已知函數(shù)於）=（/+#X+1把,則“。=爽”是"函數(shù)兒T）在工=一1處取得極小值”

的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：A易知函數(shù)7U）的定義域為R,對7（幻求導(dǎo)，得了（.DuQt+f^ex+C^+^x+Dex

=b，+(a2+2)x+a2+”^=(《+〃2+])(x+i)e?[若〃=也,則久0在x=—1處取得極小值；

若7U)在x=-1處取得極小值，只需〃不為0.所以“。=正”是“函數(shù)/U)在工=一1處取得

極小值”的充分不必要條件.故選A.

2.設(shè)〃：卜一切>3,q：(x+1)(21—1)20,若踴〃是“的充分不必要條件，則實數(shù)。的

取值范圍是.

解析：由|x—。|>3,可用'XVa—3或x>a+3,即p：x〈a—3或x>a+3,貝謙p：a—3WxWa

+3.由(x+l)(2x—1)20,可得xW—I或x2],即g：xW—1或因為〃是夕的充分不

乙乙

I7

必要條件，所以“+3W—I或32],解得aW—4或.故。的取值范圍是(-8,—

4JU1,+8).

答案：(-8,-4]U.+8)

?iS_忽視基本不等式的應(yīng)用條件

1.若x<1,則於)=以+元、()

A.有最小值3B.有最小值7

C.有最大值3D.有最大值7

解析：CyU)=4x+_)=(4x—5)+)+5.因為文所以5—4x>0.所以(41-5)+

_!_二(5—4八)+514.JA-2\/(5—4X)?不￡=一2.當且僅當5—4入=馬；即x

4A—5

=1時取等號.當X趨于負無窮大時,I/(%)也趨于負無窮大，即無最小值.故當4=1時,J：X)max

=-2+5=3,故選C.

2.已知Q0,)>0,且x+2y=l,則的最小值是.

解析：；00,)>0,且x+2y=l,.,.：+千=二手+斗互=1+2+§：+拉3+2\仔個

人)人y人)V入)

=3+25.當且僅當"=三且x+2)，=l,即工=也一1,y=l一半時取等號.所以的最小

xyLxy

值為3+2^2.

答案：3+2也

(W對函數(shù)零點存在定理使用不當

1.已知函數(shù)/(x)=log2S+l)+3x+,〃的零點在(0,1]上，則實數(shù)機的取值范圍為()

A.(一4,0)

B.(—8,—4)U(0,+°°)

C.(-8,-4]U[0,+8)

D.[-4,0)

解析：D易知函數(shù)貝x)=log2(x+l)+3x+M在定義域上單調(diào)遞增，由函數(shù)K6在(0,1]

/(0)<0,log2(0+1)+3X0+/k<0,

上存在零點，得即I解得一4《〃?<0,即實數(shù)機的

/(I)20,logz(1+1)+3Xl+〃i20,

取值范圍為[-4,0).故選D.

2.設(shè)函數(shù)g(x)=8+[l—江)x-a(a￡R,e為自然對數(shù)的底數(shù))，定義在R上的函數(shù)./U)

滿足火一處+於)=-且當xWO時?，/(x)4.令T(x)=/2一夕2,已知存在均￡{巾32》(1

-x)(,且其為函數(shù)y=g(.t)—x的一個零點，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(坐,+8)B.(#,+°0)

C.[y[e,+°°)D.[坐,+8)

解析：D由/(一?+")",可知Tlx)+T(-x)=fix)-p-2-x)-1(-x)2=J(x)-

x)-x2=0,所以7U)為奇函數(shù).又當xWO時，V(X)=/(A)-X<0,可知7(x)在(一8,()]上

單調(diào)遞減，所以T(X)在R上單調(diào)遞減.因為存在即￡{M7U)2T(1—X)},所以7Uo)2T(1一

M)),可得M)W1—xo,即koW：令h(x)=g(x)—x=ex—Vex—a,因為的為函數(shù),y=g(x)—x的

一個零點，所以“(X)在時有零點.因為當時，力'(x)=6A—正We?一五=0,所以

一8,1上單調(diào)遞減，由選項知a>0,

e-東>0,所以要使A(x)在時有零點，只需使/(；)=加一坐一a這0,解得

坐所以實數(shù)。的取值范圍為售，+8)故選D.

I明辨三角函數(shù)中周期與對稱問題

1.已知函數(shù)yU)=sin(37u—s：—0)(3>O,|夕|<習(xí)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為

2兀，則函數(shù)?r)的最小正周期為,3=.

解析：因為<x)=sin(37t—5—伊)(①>0,|初3)，所以yU)=sin(Qc+g)(3>0,\(p\<^j

,因

為其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為2冗，所以函數(shù)ZW的最小正周期為4兀，所以①=矣=

2-

答案：4兀1

2.函數(shù)./U)=3(y§sin3.t+cos^x)-\-h(A>0,3>0)有如下性質(zhì)：最大值為4,最小值

為一2；圖象的相鄰兩個對稱中心之間的距離環(huán).則b=,函數(shù)y=/(x)的最小正周

期為.

解析：因為X,v)=^(>/3sin3x+cos3戈)+〃(4>0,3>0),所以A%)=Asin，ox+§+

4+6=4,

仇A>0,3>0).因為函數(shù))，=火助的最大值為4,最小值為一2,所以一解得

—A+Z?=—2,

A=3,兀

,因為函數(shù))，=/5)的圖象的相鄰兩個對稱中心之間的距離為去所以函數(shù)的最

b=\.2

TT

小正周期T=2X-=n.

答案：1兀

不能正確利用向量關(guān)系中的幾何意義

1.已知點。在正△ABC所確定的平面內(nèi)，且滿足律+詞+無*=而，則ZU8P

的面積與△ABC的面積之比為()

A.1：1B.1：2

C.1：3D.1：4

解析：C因為京*+/+不不=而=7芬一k,所以k=一21不，所以點P

在邊AC上，且AP=5C,所以點2到48的距離等于點。到A8的距離的g,故AABP的

面積與△ABC的面積之比為1:3.故選C.

2.在△A8C中，~AB-AC>=O,A8=3,AC=4,尸為8c上任意一點(含8,Q,以

P為圓心，1為半徑作圓，Q為圓上任意一點，設(shè)又Q>=xA8>+y/,則x+y的最大值為

()

135

A-12B-4

C旦D/

J12u-12

解析：C如圖所示，設(shè)AQ或AQ的延長線交5。于點。，過Q作\c

.1%、0

QG〃BC交AC或AC的延長線于點G,過圓上離8C最遠的點作切線，、、c[\

匣,.

A\B\

與AB的延長線交于點Bo,與AC的延長線交于點Q.NO=L回而>=^1（6（75+

IAD\|AD\

加記*）,其中a+夕=1,又而=x9*+y/,所以x+y=?[a+.尸竺今.當Q在班?

由I而

的下方時，x+）yl;當。在8c上時，x+y=l；當。在8C的上方時，工+），>1.根據(jù)平面幾

何知識知，當Q為動圓P與BoCo的切點時，經(jīng)生最大，即X+），取得最大值，此時由AA8。

\AD\

5

3十-

4

得空色="竺，易知88。=*所以x+y的最大值為17

故選c.

\AD\IABI

NL_忽視對公匕q的值進行討論

1.設(shè)無窮等比數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和為S”，若一則（）

A.｛SJ為遞減數(shù)列B.｛&｝為遞增數(shù)列

C.數(shù)列｛%｝有最大項D.數(shù)列｛a｝有最小項

解析：D設(shè)數(shù)列｛〃”｝的公比為我療0）.因為一所以。1>0,-1琮vl,即一

1<4<1且4#0.若0<4<1,則知+1=。q〃>0,Sn+l=Sn+a什l>Sn,所以⑸｝是遞增數(shù)列，沒有

最大項，選項A、C錯誤,若一IVqVO,則S〃+I>o,。2〃<0,所以S2n+i>S2〃,S2n〈s2n-1,｛Sn｝

是擺動數(shù)列，選項B錯誤.當（Xg<l時，｛￡｝是遞增數(shù)列，｛￡｝有最小項S；當一IV伏①時,

/（]—〃-2）

S2〈S],43+04+…+如=]_（/>0,所以5”=52+（。3+。4+3+斯）>52（〃>2）,｛5”｝有

最小項S.故選D.

2.已知等比數(shù)列｛的｝的公比為q,前〃項和為S”，且2Ss，Sio,S20—So構(gòu)成等比數(shù)歹U，

則S5,S5,$0構(gòu)成的數(shù)列（）

A.是等差數(shù)列

B.在qWl時構(gòu)成等差數(shù)列，在,/=1時構(gòu)不成等差數(shù)列

C.是等比數(shù)列

D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列

解析：B當,/=1時，5.5+510^2515,所以Ss,515.$0構(gòu)不成等差數(shù)列.當，產(chǎn)1時,

山（1—〃°）2

由2ss,5io?S20—5io構(gòu)成等比數(shù)列，得S，o=2SS（S2O—Sio）,即（1_。）2=

2al（1一爐）|"出（「武）0（Li"）]I即/4以（1一3）

T—qt\-q一\~qJ，化簡停爐-七，所以S5+S10-…+

99

“I(1—)。)24|-

4一2SI=4三，即&+$。=2先，此時S，，S?

i-q5

So構(gòu)成等差數(shù)列.故選B.

忽視空間線面關(guān)系的多重性

1.已知〃?，〃是兩條不重合的直線，。，夕是兩個不重合的平面，有下列命題：

①若“〃p,則/〃〃〃；

②若〃?〃a,"?〃4，則a〃萬；

③若aAfi=n,m//n,則〃?〃a且〃?〃少；

④若〃?_La,則a〃氏

其中正確的個數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：B對于①，若〃?Ua,〃〃人則相與〃可能相交或平行或異面，故①不正確；

對于②，若小〃a,〃?〃夕，則a與夕可能相交或平行，故②不正確；對于③，若aG夕=〃，

m//n,則機可能在平面a或A內(nèi)，也可能與a,4均平行，故③不正確；對于④，若的_1_。，

根據(jù)垂直于同一直線的兩個平面邛行，可得?！ㄈ斯盛苷_.故選B.

2.已知m>n為兩條不重合的直線,a為平面，且mUa,則是的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：B當直線加，〃都在平面a內(nèi)時，不能由〃_!_機推出〃_La；若〃_La,且〃：Ua,

則由線面垂直的性質(zhì)知〃_L，〃.所以是“〃上a”的必要不充分條件.故選B.

求圓錐曲線方程時忽視焦點的位置

1.（多選）若方程出+為=1所表示的曲線為C,則下面四個選項中正確的是（）

A.若則C為橢圓

B.若。為橢圓，且焦點在,，軸上，則1<?2

C.若C為雙曲線，則分3或

D.若。為雙曲線，則其離心率的取值范圍為Yev6

解析：CD對于選項A,當7=2時，曲線Cr+>，2=],此時C為圓，故不正確.對

于選項B,若C為橢圓，且焦點在y軸上，則—解得2y<3,故不正確.對于

選項C,若C為雙曲線，則（3—。（，-1）<0,解得>3或《1,故正確.對于選項D,若C為

?/—42

雙曲線，則/>3或<1,當>3時，a2=t—\,b2=t—3,e2=~~~r=2~-~~re（l,2）,此時

f—It~1

有\(zhòng)<e<\[2；當《1時，a2=3—t,b2=1~t,/=三二^=2+1E~^e（l，2）,此時有\(zhòng)<e<y[2.

故正確.

2.中心在坐標原點，焦點在坐標軸上的雙曲線C與橢圓方+?=1有相同的焦距，一條

漸近線的方程為2)，=0,則雙曲線C的方程為()

A-1—爐=]或)2—7=]

B.r—?=]或產(chǎn)—亍=]

V2

C.r一彳=1

D.)2一±1

解析：A法一：在橢圓丁+；=1中，c=：9—4=小.因為雙曲線C與橢圓g+1=l

有相同的焦距，一條漸近線的方程為工一2)，=0,所以可設(shè)雙曲線方程為?一)2=〃2￡R,且

件0),化為標準方程為或一號"=1.當1＞0時，c川「+以=木,解得為=1,則雙曲線C的

方程為$一產(chǎn)=1；當*0時，c=\一2—41=小,解得4=一1,則雙曲線。的方程為尸一日

=1.綜上可知，雙曲線。的方程為＞2=1或,,2一，=].故選A.

法二：①當雙曲線的焦點在x軸上時，且。=小，結(jié)合/=/+〃，解得〃=4,

力2=1,此時雙曲線。的方程為弓一y2=].②當雙曲線的焦點在)，柚上時，且c=木,

解得屋=1,按=4,此時雙曲線。的方程為尸一9=1.綜上可知，雙曲線C的方程為手一)2

=1或)2—，=1.故選A.

易借前求軌跡方程時忽視隱含條件

1.已知圓的方程為/+),2=4,若拋物線過點A(—1,0),8(1,0),且以圓的切線為準線，

則拋物線的焦點的軌跡方程為()

A.]_^=l(xW0)B.'+勺=l(xH0)

c.,Y=1G'WO)D.亍+裊]G'HO)

解析：D設(shè)坐標原點為。，拋物線的焦點為F(x,)，)，準線為/,過點A,B,。分別

作A4_L/,BB1_L/,OPLI,其中H,Zf,P為垂足.又/為圓的切線，。為圓心，所以

P為切點,且有A41+I8即=2。8=4.因為拋物線過點A,B,所以照|=|AA'尸3|=舊團,

所以|?M+|F用=44,|+|8夕|=4＞依陰=2,所以點F的軌跡是以A,B為左、右焦點的橢

圓，其方程為￡+與=1.又A,4在拋物線上，則焦點廠不在x軸上，所以拋物線的焦點的

2.在△48C中，~CAL~CB\~OA=(0,-2)(。為坐標原點)，點M在)，軸上，且病

=；(而+而)，點。在x軸上移動，則點8的軌跡方程為.

解析;由。4>一(0,-2),知人(0,-2).設(shè)以％,y),CQn,0),M(0,〃)，則&,一(一

/〃，—2),CB>=(x—m,y)?AB>=(x,y+2),2),AA/*=(0,〃+2).因為CA

_LCB”,所以CA,CB=0,即(一〃?，-2>(x—〃?，>)=0,所以"ix+2y=〃/,①.因為

+AC>=2AA/,所以(x,y+2)+(〃?，2)=2(0,〃+2),即〃?=—x,〃=5把機=-x代入①，

得)=/.顯然xWO,否則點8與點C重合，不能構(gòu)成三角形.所以點B的軌跡方程為y=

9(工工0).

答案：y=x2(x^O)

明辨二項式中的系數(shù)

1.(多選)關(guān)于(統(tǒng)一，的展開式，下列說法正確的有()

A.展開式中所有項的系數(shù)和為28

B.展開式中所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為128

C.展開式中二項式系數(shù)最大的項為第五項

D.展開式中含X3項的系數(shù)為一448

解析：BCD對于A,令x=l,可得展開式中所有項的系數(shù)和為1,故錯誤；對干B,

展開式中所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為28r=128,故正確；對于C,易知展開式中二項式

系數(shù)最大的項為第五項，故正確；對于D,展開式中含/的項為CW(-1)5=-448A3,

故(2A?—1)8的展開式中含J3項的系數(shù)為一448,故D正確.

2(2x2+§6的展開式中，常數(shù)項為,系數(shù)最大的項為.

解析：(2A2+￡f的展開式的通項為?(2F)6r-(f=&?26r?xi23k.令I(lǐng)2-

3A=0,得后=4,所以展開式中的常數(shù)項為&X22=60.令7\+i=a-26r伏￡/V,kW0,令

rk+i*?26、2C『?27、，47

即la?26~N&+|?2廠（33

v4-1i^r

展開式中系數(shù)最大的項為Ca?24-W=24a也故(2F+3的展開式中，常數(shù)項為60,系數(shù)最

大的項為240W.

答案：60240f

混淆條件概率與積事件的概率

1.某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.從中選出3人參加學(xué)校組織的社會實

踐活動，在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為()

A.|B.]

JJ

C,2D,3

解析：A設(shè)“男生甲被選中”為事件A,“女生乙被選中”為事件從則P(A)=*4

1

-

52

-

=7-

2*P（A'）=@=G,所以P（8|A）=p（4）-5

2

2.端午節(jié)當天，小明的媽媽煮了7個粽子，其中3個臘肉餡，4個豆沙餡.小明從中

隨機抽取兩個粽子，若已知小明取出的兩個粽子為同一種餡，則這兩個粽了?都為臘肉餡的概

率為()

解析：B由題意，設(shè)事件A為“取出的兩個粽子為同一種餡”，事件B為“取出的兩

個粽子都為臘肉餡”.

……C?+Cj3C51-PCAB)71L…

法一：貝P(A)=-QS—=P(A8)=己=,,所以戶(8|A)=.(A)~=]=?,故選

7

〃1A8)C31L…

法二：則尸(BIA尸〃(A)飛升仁與故選

回扣(二)活用思想方法——破疑難

示例11倒序相加思想

如果一個數(shù)列｛?！ǎ?，與首、末兩項等距離的兩項之和等于首末兩項之和，求和時可以

把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的和，這一求和思想稱為倒序枉加思

想，利用倒序相加思想求數(shù)列的前〃項和公式具體如下：

S〃=ai+a2+〃3+―+?！雹?/p>

S?=an-\-an-\-\-an-2-\-----②

①+②，整理得S尸"‘.

1.德國大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽為數(shù)學(xué)屆的王子.在其年幼時，對1+2+3+…

+100的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)

一定的規(guī)律生成；因此，此方法也稱之為高斯算法.現(xiàn)有函數(shù)人工)=癥，則府缶)+

代念)M壺)+…+(瑞1)=()

A.1010B.1011

C.2022D.2023

4'4’41J4A4

解析：B因為風燈=正工，且,/u)+yu—x)=Fj工+"■?工耳=1“豆+小不%=i,

令s=(忐m)+y(盍)+”?+4髓，又s=/(m)+jg§i)+mg)+…

+彳5總)，兩式相加得25=1X2022,解得S=1011,故選B.

2.設(shè)函數(shù)凡v)=2+ln"4工'0=l‘a(chǎn)"=6)+H)+/G)+-+《5r^(〃wN*，〃22).則

數(shù)列｛斯｝的前〃項和Sn=.

解析：由題設(shè)，./(3一彳片」)=4+111(〃-l)+ln不片=4,所以a〃=

4X?f)+短=2(n—1),n=2kt%￡N*,

即④=2(〃-1)且〃22,當〃=1時,

｛4X—2―=2(n-1),〃=2%+1,

5i=1,當時，S〃=l+2十4H---b2(〃-1)=1十/產(chǎn)一〃，所以S”=〃2—〃+1,

答案:—+1

示例2歸納推理思想

由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推

理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，叫做歸納推理(簡稱歸納).簡言之，歸納推理

是由部分到整體、由個別到一般的推理.

1.設(shè)數(shù)列｛?。那啊椇蜑镾〃，且對任意的自然數(shù)〃都有(工一1)2=m工,通過計算S,

S2,S3,猜想S”=.

解析：因為數(shù)列｛斯｝的前〃項和為5”，且X/〃￡N*都有⑸-1)2=如工，則有⑸-1)2=8,

解得5尸)因為〃22時許=￡一"，則由(S—1)2=0—SDS2及Si=；,解得S2若由

(S3—1)2=(S3—S2)S3及S2=],解得§3=3由S]="§2=,$3=不猜想S產(chǎn)冒了

2.如圖，圖①是棱長為1的小正方體，圖②、圖③是由這樣的小正方體擺放而成的.按

照這樣的方法繼續(xù)擺放，各圖中最底下一層分別叫1層、2層、…、〃層.〃層的小正方體

的個數(shù)記為S小解答下列問題:

（1）按照要求填表:

(2)Sio=_______

（3）S〃=.

解析：認真觀察每個圖形中小正方體的分布規(guī)律，探究第〃個圖形中小正方體的個數(shù)比

第〃一1個圖形中小正方體的個數(shù)多多少.1層：1個；2層：3個，即（1+2）個；3層：6個，

即（1十2十3）個；4層：10個，即（1十2十3十4）個，…，由此猜想，〃層的小正方體的個數(shù)為

上一層的個數(shù)加上本層的次序數(shù)，所以$o=l+2+3+…+10=55,S”=l+2+3+???+〃=

〃(〃+1)

2

XX4〃(〃+1)

答案：(1)10(2)55(3)------2------

示例3等分區(qū)間思想

每次把含有零點的區(qū)旬一等分，然后再根據(jù)函數(shù)零點存在定理進行判斷,去掉其中不含

零點的區(qū)間依次操作下去，最后得到函數(shù)滿足精確度要求的零點近似值，此思想滲透著無窮

逼近的極限思想.

十九世紀卜半葉，集合論的創(chuàng)立奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)

理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征.仿照“康托三分集”我們可以構(gòu)造一個“四分

集”，其操作過程如下：將閉區(qū)I,叫0,1］均分為四段，去掠其中的區(qū)間段6，當記為第一次操

作；再將剩下的三個區(qū)間［。，I］,Q，引，（｝，1］分別均分為四段，并各自去掉第二個區(qū)間

段，記為第二次操作；……如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別

均分為四段，同樣各自去掉第二個區(qū)間段.操作過程不斷地進行下去，以至無窮，剩下的區(qū)

間集合即是“四分集”.第三次操作去掉的