分式乘除：連接數(shù)與式的橋梁——八年級數(shù)學(xué)精講教案各位同仁，今天我們共同探討八年級數(shù)學(xué)中一個承上啟下的重要內(nèi)容——分式的乘除法。分式運算，尤其是乘除法，是小學(xué)分?jǐn)?shù)運算的自然延伸，也是后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜代數(shù)式運算的基礎(chǔ)。這份教案旨在幫助同學(xué)們不僅“會算”，更要“懂算”，真正理解運算的本質(zhì)。一、教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能：*理解并掌握分式乘法法則和除法法則，能準(zhǔn)確表述法則內(nèi)容。*能夠熟練運用分式乘除法法則進(jìn)行分式的乘除運算，并能將結(jié)果化為最簡分式或整式。*能運用分式乘除法解決一些簡單的實際問題或數(shù)學(xué)問題。2.過程與方法：*通過類比分?jǐn)?shù)的乘除法法則，引導(dǎo)學(xué)生自主探究分式的乘除法法則，培養(yǎng)學(xué)生的類比遷移能力和歸納概括能力。*在運算過程中，體會“先約分再相乘”的簡化思想，培養(yǎng)學(xué)生的運算技巧和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。*通過解決實際問題，提高學(xué)生運用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力。3.情感態(tài)度與價值觀：*感受數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系（如分?jǐn)?shù)與分式），激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。*在探究和運算過程中，培養(yǎng)學(xué)生克服困難、勇于探索的精神，以及合作交流的意識。*體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。二、教學(xué)重難點*教學(xué)重點：分式乘法法則和除法法則的理解及熟練應(yīng)用。*教學(xué)難點：*分式乘除運算中，分子、分母為多項式時的因式分解與約分。*運算過程中的符號處理。*將運算結(jié)果化為最簡分式。三、教學(xué)方法*啟發(fā)式教學(xué)法：通過問題引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生思考。*類比教學(xué)法：緊密聯(lián)系分?jǐn)?shù)乘除法，幫助學(xué)生構(gòu)建新知識。*講練結(jié)合法：通過例題講解和針對性練習(xí)，鞏固所學(xué)知識。*小組討論法：針對難點問題，組織學(xué)生討論，集思廣益。四、教學(xué)準(zhǔn)備*多媒體課件（PPT）：用于展示問題、法則、例題、練習(xí)等。*板書：用于重點內(nèi)容的推導(dǎo)、強調(diào)和總結(jié)。五、教學(xué)過程（一）復(fù)習(xí)舊知，引入新課(約5分鐘)師：同學(xué)們，我們在小學(xué)階段學(xué)習(xí)過分?jǐn)?shù)的乘除法，還記得分?jǐn)?shù)乘法和除法的法則分別是什么嗎？誰能來說一說？（等待學(xué)生回答）生：分?jǐn)?shù)相乘，分子乘分子，分母乘分母；分?jǐn)?shù)相除，除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。師：非常好！比如計算(2/3)×(4/5)等于多少？(3/4)÷(5/6)又等于多少？（學(xué)生口答，教師板書簡要過程）師：大家注意到?jīng)]有，在計算分?jǐn)?shù)乘除時，我們通常會先做一件什么重要的事情來簡化運算？生：約分！師：沒錯，約分是簡化分?jǐn)?shù)運算的關(guān)鍵。那么，我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)了分式，分式和分?jǐn)?shù)非常相似，都是形如A/B的形式，只是分式的分子分母是整式。大家大膽猜想一下，分式的乘法和除法，又該如何進(jìn)行呢？今天，我們就來一起揭開這個謎底——分式的乘除法。（板書課題：分式的乘除法）【設(shè)計意圖】通過復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)乘除法法則和運算習(xí)慣（約分），為分式乘除法法則的學(xué)習(xí)搭建認(rèn)知橋梁，激發(fā)學(xué)生的類比聯(lián)想能力和探究欲望。（二）新知探究，合作學(xué)習(xí)(約15分鐘)1.分式乘法法則探究師：我們先來研究分式的乘法。請看大屏幕上的問題：（課件展示）猜一猜，下面的式子該如何計算？(1)(a/b)×(c/d)=?(其中a,b,c,d是整式，b,d≠0)(2)類比分?jǐn)?shù)乘法，你能說出這樣計算的理由嗎？師：請大家前后四人為一小組，結(jié)合分?jǐn)?shù)乘法的經(jīng)驗，討論一下這個問題。給大家三分鐘時間。（學(xué)生分組討論，教師巡視指導(dǎo)，關(guān)注學(xué)生的思考過程）師：時間到。哪個小組愿意分享你們的討論結(jié)果？（引導(dǎo)學(xué)生代表發(fā)言，教師根據(jù)學(xué)生發(fā)言情況進(jìn)行引導(dǎo)和修正）生：我們認(rèn)為應(yīng)該是(a×c)/(b×d)，就像分?jǐn)?shù)乘法一樣，分子相乘做分子，分母相乘做分母。師：其他小組同意這個觀點嗎？（多數(shù)學(xué)生同意）大家的直覺非常敏銳！事實上，分式的乘法法則正是如此：兩個分式相乘，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。（教師板書法則，并強調(diào)符號語言的表達(dá)：(a/b)·(c/d)=(ac)/(bd)，其中b,d≠0）師：那為什么可以這樣規(guī)定呢？我們可以從分式的意義來理解。a/b表示a除以b，c/d表示c除以d，那么(a/b)×(c/d)就相當(dāng)于(a÷b)×(c÷d)=(a×c)÷(b×d)=(ac)/(bd)。這樣是不是就和我們的規(guī)定一致了？生：是！師：非常好。那么，在進(jìn)行分式乘法運算時，我們同樣要注意什么呢？生：約分！師：對！為了使運算簡便，減少計算量，我們應(yīng)該在相乘之前，先觀察分子和分母是否有公因式，如果有，就先約分，再將約分后的分子、分母分別相乘。這一點和分?jǐn)?shù)乘法是完全相同的。（課件展示例題1：計算(2x/y2)·(y/4x3)）師：我們來看這個例題。按照法則，應(yīng)該是分子相乘2x·y，分母相乘y2·4x3。但直接相乘會得到(2xy)/(4x3y2)，然后再約分。有沒有更簡便的方法？生：可以先約分！師：怎么約？生：2x和4x3可以約掉一個2x，剩下1和2x2；y和y2可以約掉一個y，剩下1和y。師：非常好?。ń處煱鍟痉?，邊寫邊講解約分過程）(2x/y2)·(y/4x3)=(2x·y)/(y2·4x3)=(2xy)/(4x3y2)=(2xy)/(4x3y2)=1/(2x2y)（強調(diào)約分時分子分母同時除以它們的公因式）師：所以，分式乘法的運算步驟可以總結(jié)為：一乘（分子分母分別相乘），二約（約分），三查（檢查結(jié)果是否為最簡分式）。或者更優(yōu)化的步驟是：先約后乘，這樣更簡潔。2.分式除法法則探究師：我們順利解決了分式乘法的問題。那么分式的除法又該如何進(jìn)行呢？大家依然可以類比分?jǐn)?shù)的除法來思考。（課件展示）想一想，如何計算(a/b)÷(c/d)？(其中a,b,c,d是整式，b,c,d≠0)師：給大家兩分鐘時間，獨立思考，然后告訴我你的結(jié)論和理由。（學(xué)生思考，教師點名提問）生：我認(rèn)為應(yīng)該是(a/b)×(d/c)=(ad)/(bc)，因為分?jǐn)?shù)除法是除以一個分?jǐn)?shù)等于乘以它的倒數(shù)。師：太棒了！完全正確！分式的除法法則與分?jǐn)?shù)除法法則也是一致的：兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘。（教師板書法則，并強調(diào)符號語言：(a/b)÷(c/d)=(a/b)·(d/c)=(ad)/(bc)，其中b,c,d≠0）師：這里要特別注意，是“除式”的分子分母顛倒位置，然后變?yōu)槌朔ㄟ\算。這個“顛倒”和“變乘”是關(guān)鍵步驟。（課件展示例題2：計算(x2-4y2)/(x+y)÷(x+2y)）師：我們來看這個例題。首先，除式是(x+2y)，它可以看作是(x+2y)/1。根據(jù)除法法則，我們要把除式的分子分母顛倒，變成1/(x+2y)，然后與被除式相乘。所以原式就變?yōu)?x2-4y2)/(x+y)×1/(x+2y)。師：接下來怎么做？分子x2-4y2大家眼熟嗎？這是什么形式？生：平方差公式！可以分解為(x+2y)(x-2y)。師：非常好！所以，當(dāng)分子或分母是多項式時，我們往往需要先進(jìn)行因式分解，然后再尋找公因式進(jìn)行約分。（教師板書分解和約分過程）原式=[(x+2y)(x-2y)]/(x+y)×1/(x+2y)=(x-2y)/(x+y)（約去(x+2y)）師：所以，分式除法的運算步驟可以看作是“一倒二乘三約四查”。先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，這是核心?！驹O(shè)計意圖】通過類比、小組討論、教師引導(dǎo)等方式，讓學(xué)生主動參與到法則的探究和建構(gòu)過程中，加深對法則的理解。例題的選擇由淺入深，強調(diào)運算技巧（先約分、因式分解）和規(guī)范書寫。（三）鞏固練習(xí)，深化理解(約15分鐘)師：好了，我們學(xué)習(xí)了分式乘除法的法則和基本運算方法。下面，我們通過一些練習(xí)來檢驗和鞏固一下。（課件展示練習(xí)題，分層次）基礎(chǔ)鞏固：1.計算：(1)(3a/2b)·(4b2/3a2)(2)(x2/y)÷(x3/(-y2))2.下列運算是否正確？若不正確，請改正。(a/b)÷(c/d)=(a/b)·(c/d)=ac/bd。能力提升：3.計算：(1)(m2-n2)/(m2+2mn+n2)·(m+n)/(m-n)(2)(a2-4)/(a2+4a+4)÷(a-2)/(a+2)師：請大家獨立完成基礎(chǔ)鞏固部分，然后小組之間互相檢查一下答案。對于能力提升部分，可以小組討論完成。我們請幾位同學(xué)到黑板上來演算一下第1題的(2)小題和第3題的(1)小題。（學(xué)生練習(xí)，教師巡視，關(guān)注學(xué)生在符號處理、因式分解、約分等方面是否存在問題，并進(jìn)行個別輔導(dǎo)。對黑板上學(xué)生的演算進(jìn)行點評，糾正錯誤，強調(diào)規(guī)范。）師：我們來看這位同學(xué)做的第1題第(2)小題，(x2/y)÷(x3/(-y2))。他第一步把除法變成了乘法，除式顛倒，得到(x2/y)×(-y2/x3)，這步是對的。然后分子分母分別相乘，得到(-x2y2)/(x3y)，約分后是-y/x。結(jié)果正確，過程也比較規(guī)范。這里要注意除式本身帶有負(fù)號，顛倒后負(fù)號的位置不變，或者說，符號處理要始終保持在分式整體的前面或者按照“負(fù)負(fù)得正”等規(guī)則處理。師：第3題第(1)小題，分子是m2-n2，分解為(m+n)(m-n)；分母是m2+2mn+n2，這是完全平方公式，分解為(m+n)2。然后相乘，分子分母都有(m+n)(m-n)和(m+n)，約分后得到1/(m+n)。思路很清晰?！驹O(shè)計意圖】通過不同層次的練習(xí)，讓學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識，提升運算技能，暴露并解決易錯點，特別是符號問題和多項式因式分解。（四）課堂小結(jié)，知識梳理(約3分鐘)師：同學(xué)們，這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了分式的乘除法。誰能來總結(jié)一下，這節(jié)課你有哪些收獲？或者說，分式乘除法運算的關(guān)鍵步驟是什么？（引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)，教師補充）生1：我學(xué)會了分式乘法法則：分子乘分子，分母乘分母，能約分的先約分。生2：分式除法法則是：除以一個分式等于乘以它的倒數(shù)，然后按乘法法則算。生3：運算時，分子分母如果是多項式，要先因式分解才能約分。生4：結(jié)果一定要化成最簡分式或整式。生5：符號很重要，要小心處理。師：同學(xué)們總結(jié)得都非常好?。ń處熃Y(jié)合板書進(jìn)行梳理）1.法則是核心：乘法看分子分母積，除法變乘再顛倒。2.約分是關(guān)鍵：先約后乘更簡便，因式分解是前提。3.結(jié)果要最簡：分式運算的最終目標(biāo)。4.符號要牢記：同號得正，異號得負(fù)。師：分式乘除法和分?jǐn)?shù)乘除法真是“親兄弟”，很多地方都是相通的。我們在學(xué)習(xí)新知識時，要善于和舊知識聯(lián)系起來，這樣就能學(xué)得更輕松，理解得更透徹。（五）布置作業(yè)，拓展延伸(約2分鐘)師：今天的作業(yè)，請大家完成教材對應(yīng)練習(xí)題中的第X題、第Y題和第Z題。另外，老師給大家留一道思考題：（課件展示思考題）計算：[(x2-1)/(x2-4x+4)]×[(x-2)/(x2+x)]÷[(x+1)/(x-2)]思考：分式的乘除混合運算，運算順序是怎樣的？師：大家在完成作業(yè)時，一定要注意書寫規(guī)范，步驟清晰，養(yǎng)成良好的運算習(xí)慣。【設(shè)計意圖】鞏固性作業(yè)與拓展性思考題相結(jié)合，既檢驗課堂學(xué)習(xí)效果，又為下一節(jié)課（分式乘除混合運算）埋下伏筆。六、板書設(shè)計分式的乘除法1.復(fù)習(xí)引入：分?jǐn)?shù)乘法：(2/3)×(4/5)=8/15(分子乘分子，分母乘分母，先約分)分?jǐn)?shù)除法：(3/4)÷(5/6)=(3/4)×(6/5)=18/20=9/10(除以一個數(shù)等于乘它的倒數(shù))2.分式乘法法則：文字：兩個分式相乘，分子積作分子，分母積作分母。符號：(a/b)·(c/d)=(ac)/(bd)(b,d≠0)關(guān)鍵：先約分，再相乘(約分化簡)例1：(2x/y2)·(y/4x3)=(2x·y)/(y2·4x3)=(2xy)/(4x3y2)=1/(2x2y)(示范約分過程)3.分式除法法則：文字：兩個分式相除，把除式分子分母顛倒后再與被除式相乘。符號：(a/b)÷(c/d)=(a/b)·(d/c)=(ad)/(bc)(b,c,d≠0)關(guān)鍵：除式顛倒，變除為乘例2：(x2-4y2)/(x+y)÷(x+2y)=(x2-4y2)/(x+y)×1/(x+2y)=[(x+2y)(x-2y)]/(x+y)×1/(x+2y)(因式分解)=