考點(diǎn)9-2基本不等式及其應(yīng)用1．（2021·全國·高考真題）已知，是橢圓：的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】本題通過利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案．【詳解】由題，，則，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）．故選：C．【點(diǎn)睛】2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知都是正數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【分析】利用基本不等式中“1”的妙用，令，即可求解.【詳解】由題意知，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值.故選：C．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列說法正確的為（

）A．B．函數(shù)的最小值為4C．若則最大值為1D．已知時，，當(dāng)且僅當(dāng)即時，取得最小值8【答案】C【分析】利用基本不等式及其對勾函數(shù)的性質(zhì)分別判斷即可.【詳解】對于選項,只有當(dāng)時，才滿足基本不等式的使用條件，則不正確；對于選項,，令，即在上單調(diào)遞增，則最小值為,則不正確；對于選項,，則正確；對于選項,當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即，等號成立，則不正確.故選：.4.（2021·天津·高考真題）若，則的最小值為____________．【答案】【分析】兩次利用基本不等式即可求出.【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時等號成立，所以的最小值為.故答案為：.5.（2023·全國·高三專題練習(xí)）若實數(shù)，滿足，且，則的最大值為______.【答案】##0.125【分析】令，對不等式變形得到，利用基本不等式進(jìn)行求解.【詳解】令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最大值為故答案為：6.（2021·山東·臨沂市蘭山區(qū)教學(xué)研究室高三開學(xué)考試）已知為正實數(shù)且，則的最小值為（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】由題知，再結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】解：因為為正實數(shù)且，所以，所以，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；故選：D7．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】令，用分別乘兩邊再用均值不等式求解即可.【詳解】因為，且為正實數(shù)所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.所以.故選：B.8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，則的最小值等于（）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】因為，可得且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即等號成立，所以的最小值為.故選：B.9.（2023·全國·高三專題練習(xí)）若正數(shù)a，b滿足1，則的最小值為__．【答案】16【分析】由條件可得，，代入所求式子，再由基本不等式即可求得最小值，注意等號成立的條件.【詳解】解：因為正數(shù)a，b滿足1，則有1，則有，1，即有，則有16，當(dāng)且僅當(dāng)即有b＝2a，又1，即有a，b＝3，取得最小值，且為16．故答案為：16．10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若正數(shù)a，b滿足，則的最小值是__．【答案】【分析】設(shè)，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】設(shè)，則，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，取得最小值．故答案為：．11.（2022·浙江·杭州高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求得及的取值范圍，再把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的代數(shù)式，利用函數(shù)的單調(diào)性去求的取值范圍即可解決【詳解】由，可得，則，則，令，則，又在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，則，即故選：C12．（2022·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)模擬預(yù)測）正實數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)題干中等式變形，得到，對變形后使用基本不等式求解最小值.【詳解】變形為，則，即，令，（），則恒成立，則，（）單調(diào)遞增，又，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最小值為2故選：A13．（2022·湖北·天門市教育科學(xué)研究院模擬預(yù)測）已知數(shù)列的首項是，前項和為，且，設(shè)，若存在常數(shù)，使不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先由數(shù)列通項與前項和的關(guān)系得到數(shù)列的遞推關(guān)系，再構(gòu)造等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項公式，從而可求數(shù)列通項公式，代入所求式子，分子、分母同除以構(gòu)造基本不等式即可求出的最大值，從而求出的范圍.【詳解】由，則當(dāng)時，得，兩式相減得，變形可得：，又，，所以，，∴數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列，故，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造等比數(shù)列求的通項公式，即可得通項公式，再由不等式恒成立，結(jié)合基本不等式求的最值，即可求參數(shù)范圍.14．（2022·浙江·海寧中學(xué)模擬預(yù)測）已知正數(shù)滿足，，則的最小值為__________.【答案】##【分析】把給定條件兩邊平方，代入結(jié)論構(gòu)造基本不等式，再分析計算，并求出最小值作答.【詳解】由，得，，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以當(dāng)時，的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式，有時可乘以一個數(shù)或加上一個數(shù)，以及“1”