湖南省2026屆高三上學(xué)期階段性檢測（二）數(shù)學(xué)試題考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】因?yàn)椋?故選：B.2.已知圓，則“點(diǎn)在圓外”是“點(diǎn)在圓外”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】點(diǎn)到圓心距離.點(diǎn)到圓心距離.先判斷充分性.因點(diǎn)在圓外，故，即，故，即點(diǎn)在圓外.故“點(diǎn)在圓外”是“點(diǎn)在圓外”的充分條件.再判斷必要性.因點(diǎn)在圓外，故，但不能判斷與的大小關(guān)系.故“點(diǎn)在圓外”不是“點(diǎn)在圓外”的必要條件.綜上，“點(diǎn)在圓外”是“點(diǎn)在圓外”的充分不必要條件.故選：.3.設(shè)復(fù)數(shù)，其中，若是虛數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】由復(fù)數(shù)可得，所以，，所以，因?yàn)槭翘摂?shù)，所以，故選：D4.設(shè)是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列命題正確的是（）A若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則與相交【答案】C【詳解】對于，已知,根據(jù)面面平行的性質(zhì)，直線可能與平面平行，也可能在平面內(nèi)，所以不能得出,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于，已知，此時(shí)直線與可能平行、相交或異面，不一定垂直，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于，已知，則直線所在的方向向量即分別為平面的法向量，兩法向量垂直，則兩面垂直，故選項(xiàng)C正確；對于，已知，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行，所以,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：.5.在中，，則的長為（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以為等腰三角形，可得，且，又因?yàn)榍?，所以，由余弦定理得，所?故選：A.6.已知圓錐和圓柱的底面半徑均為，高均為，若圓錐與圓柱的表面積之比為，則（）A. B. C. D.【答案】C【詳解】設(shè)圓錐的表面積為，圓柱的表面積為，由圓錐和圓柱的底面半徑均為，高均為，則圓錐的母線，圓柱的母線為，則，.由，得，化簡得，即，所以或（舍去），所以，即故選：C.7.債券是金融市場中一種常見的投資產(chǎn)品，“債券現(xiàn)值”是其最重要的屬性、一種常用的債券現(xiàn)值計(jì)算公式為，其中PV為債券現(xiàn)值，表示債券的期限（單位：年），為第年的利息，為年后的債券面值，為貼現(xiàn)率.若，，則（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】因?yàn)?，其中，，所以時(shí)，，，所以，解得，同理時(shí)，，所以，故選：D8.已知，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】設(shè)，則，所以，由輔助角公式得，其中，當(dāng)時(shí)取得等號，解得，即的最大值為，不妨取為銳角，此時(shí)有，，符合題意.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，圓，直線，則（）A.與不可能垂直B.若，則與圓相切C.若，則與圓相交D.若圓與圓無交點(diǎn)，則【答案】AC【詳解】對于A，若與垂直，則，解得，又，所以與不可能垂直，故A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，圓，半徑為，，圓心到直線的距離，即直線與圓相離，故B錯(cuò)誤；對于C，若，圓，半徑為，，圓心到直線的距離，即直線與圓相交，故C正確；對于D，圓，圓心，半徑，另一圓，圓心，半徑，圓心距為，若兩圓無交點(diǎn)，則或，由可得，由可得，且，即，即，解得，又，所以，即兩圓無交點(diǎn)時(shí)或，故D錯(cuò)誤；故選：AC10.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則（）A. B.C.是偶函數(shù) D.是奇函數(shù)【答案】ABD【詳解】對于A，令，可得，即因?yàn)?，所以，所以A正確；對于B，令，可得，即，因?yàn)?，所以，所以B正確；對于C，令，則且，所以，令，則，由，可得，則，令，可得，解得，令，可得，所以，因?yàn)椴缓銥椋圆皇桥己瘮?shù)，即不是偶函數(shù)，所以C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)，則，令，可得，所以，即，所以為奇函數(shù)，即是奇函數(shù)，所以D正確.故選：ABD.11.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線，則下列結(jié)論正確的是（）A.與軸無交點(diǎn) B.關(guān)于直線對稱C.若點(diǎn)在上，則 D.若曲線與有公共點(diǎn)，則【答案】BCD【詳解】選項(xiàng)A：令，則曲線的方程變?yōu)榧?，結(jié)合，化簡可得.令，，則.根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理可知，在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，因此與軸有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：若曲線關(guān)于直線對稱，則將曲線方程中的x與y互換后方程不變，將x與y互換，原方程，變?yōu)樾栩?yàn)證右邊與是否相等：利用三角恒等式,對右邊變形：，.因此恒成立，故曲線關(guān)于直線對稱，故B正確；選項(xiàng)C：設(shè)，則，令，則曲線Γ的方程可化為因?yàn)闉?，，所以?解不等式，可得①.再解不等式，即，同理可得或②.綜合①②，可得或，則，故C正確；選項(xiàng)D：若曲線與有公共點(diǎn)，則，將代入曲線的方程中，得到.因?yàn)椋睿ó?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號）.則即解得所以即則，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量，若，則實(shí)數(shù)______________.【答案】7【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄?，所以，又因?yàn)?，所以，則實(shí)數(shù).故答案為：7.13.記數(shù)列的前項(xiàng)之積為，已知，且，則______________.【答案】##【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，，而滿足上式，因此，所以.故答案為：14.已知函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)從小到大依次成等差數(shù)列，則實(shí)數(shù)______________.【答案】3【詳解】先證：一元三次方程韋達(dá)定理.設(shè)方程有三個(gè)根，則有，證明：因?yàn)榉匠逃腥齻€(gè)根，所以方程即為，變形為，比較兩個(gè)方程可得.由題意函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)從小到大依次成等差數(shù)列，也即的三個(gè)根從小到大依次成等差數(shù)列，設(shè)三個(gè)根分別為，由韋達(dá)定理可得：，即，將代入，可得，即，所以，故答案為：3四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)的最小正周期為.（1）求圖象的對稱軸方程；（2）在中，的周長為4AB，且，求.【答案】（1）（2）【小問1詳解】由題意可得，故.故，令，可得圖象的對稱軸方程為.【小問2詳解】由得，又，所以.因?yàn)?，所以，設(shè)，則.由余弦定理可得即，化簡得，解得，即，故.16.在數(shù)列中，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【小問1詳解】因?yàn)?，所?又，所以，所以是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以【小問2詳解】由（1）可知，所以，所以，①，②，得，即，故.17.已知圓，過圓內(nèi)的點(diǎn)的弦長的最大值為4，最小值為.（1）求圓的方程.（2）點(diǎn)是軸上異于點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)，且對于圓上任意一點(diǎn)為定值.（i）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（ii）點(diǎn)，求的最小值.【答案】（1）（2）（i）；（ii）【小問1詳解】圓的最長弦為直徑，所以，得.最短弦為與直徑垂直的弦，可得，又，所以，故圓的方程為.【小問2詳解】（i）設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以將代入上式，得，因?yàn)樵撌降闹禐槌?shù)，所以，解得（舍去），所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.（ii）由（i）可知，所以.所以，易知，，當(dāng)點(diǎn)在線段DA上時(shí)等號成立，故的最小值為，即原式的最小值為.18.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若，實(shí)數(shù)a，b滿足，試比較和大小.【答案】（1）（2）（3）【小問1詳解】，則，故所求切線方程為.【小問2詳解】記，則，因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)零點(diǎn).若，則單調(diào)遞增，不符合題意.若，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以又當(dāng)或時(shí)，都有，故只需，即，解得，即的取值范圍是.【小問3詳解】由，得，整理得.由，得，解得.所以設(shè)函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，又，所以，即19.如圖，將四個(gè)三角形拼接成形如漏斗的空間圖形ABCDE，其中.連接，過點(diǎn)作平面，滿足.（1）證明：.（2）若，且.（i）求AC到平面的距離與BD到平面的距離的平方和；（ii）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（i）；（ii）【小問1詳解】取AC的中點(diǎn)，連接BM，DM.因?yàn)闉锳C的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平?又因?yàn)槠矫?，所?【小問2詳解】（i）連接EM，因?yàn)?，所以，由?）知平面，則四點(diǎn)共面.結(jié)合題意知，可得，在四邊形EBMD中，，根