第1頁/共1頁2023北京重點(diǎn)校高一（上）期末匯編函數(shù)的概念與性質(zhì)一、單選題1．（2023秋·北京平谷·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)定義域?yàn)?，那么“函?shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”是“，都存在，使得成立”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2023秋·北京·高一北京師大附中校考期末）已知.若對(duì)于，均有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·北京昌平·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．4．（2023秋·北京豐臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列關(guān)系式中成立的是（

）A． B．C． D．5．（2023秋·北京東城·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的圖象關(guān)于（

）A．x軸對(duì)稱 B．y軸對(duì)稱 C．原點(diǎn)對(duì)稱 D．直線對(duì)稱6．（2023秋·北京懷柔·高一統(tǒng)考期末）已知是偶函數(shù)，函數(shù)對(duì)任意，且，都有成立，且，則的解集是（

）A． B． C． D．二、填空題7．（2023秋·北京平谷·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)在區(qū)間[0，3]上的值域是___________．8．（2023秋·北京西城·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，都有，給出給出下列四個(gè)結(jié)論：①或；②一定不是偶函數(shù)；③若，且在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增；④若有最大值，則一定有最小值．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是______________．9．（2023秋·北京西城·高一北京八中?？计谀┮阎瘮?shù)（且）.給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在實(shí)數(shù)a，使得有最小值；②對(duì)任意實(shí)數(shù)a（且），都不是R上的減函數(shù)；③存在實(shí)數(shù)a，使得的值域?yàn)镽；④若，則存在，使得.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.10．（2023秋·北京豐臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域是_____________．三、解答題11．（2023秋·北京平谷·高一統(tǒng)考期末）如圖，四邊形是高為2的等腰梯形．(1)求兩條腰OC，AB所在直線方程；(2)記等腰梯形位于直線左側(cè)的圖形的面積為．①當(dāng)時(shí)，求圖形面積的值；②試求函數(shù)的解析式，并畫出函數(shù)的圖象．12．（2023秋·北京通州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的零點(diǎn)是．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并說明理由；(3)設(shè)，若不等式在區(qū)間上有解，求的取值范圍．13．（2023秋·北京豐臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義進(jìn)行證明；(2)設(shè)，若，，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．14．（2023秋·北京西城·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；(2)證明函數(shù)在上是減函數(shù)；(3)寫出函數(shù)在上的單調(diào)性（結(jié)論不要求證明）．15．（2023秋·北京懷柔·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，，若(1)求值；(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并用定義給出證明；(3)用定義證明在區(qū)間上單調(diào)遞增．16．（2023秋·北京懷柔·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)(1)若不等式的解集為，求的最小值；(2)若且，求方程兩實(shí)根之差的絕對(duì)值．17．（2023秋·北京西城·高一北京八中?？计谀┮阎瘮?shù)，（）．(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍；(3)若對(duì)任意，存在，使得，求的取值范圍．18．（2023秋·北京石景山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（為常數(shù)）是奇函數(shù).（1）求的值與函數(shù)的定義域.（2）若當(dāng)時(shí)，恒成立.求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案1．A【分析】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)分別驗(yàn)證充分性與必要性是否成立，即可得答案.【詳解】解：函數(shù)定義域?yàn)镈，若函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則，則，且，所以，都存在，使得滿足，即成立，故充分性成立；若函數(shù)，其定義域?yàn)?，滿足，都存在，使得成立，但是函數(shù)的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱，故必要性不成立；故“函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”是“，都存在，使得成立”的充分不必要條件.故選：A.2．C【分析】將成立轉(zhuǎn)化成恒成立的問題，構(gòu)造函數(shù)，然后分類討論，即可求出的取值范圍.【詳解】解：由題意在中，對(duì)稱軸函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，∵對(duì)于，均有成立即對(duì)于，均有恒成立在中，對(duì)稱軸，函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)減函數(shù)在上單調(diào)減∴解得當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增函數(shù)在上單調(diào)減∴∴解得當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)增函數(shù)在上單調(diào)減∴∴故不符題意，舍去.當(dāng)即時(shí)函數(shù)在上單調(diào)增，函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，∴解得當(dāng)即時(shí)函數(shù)在上單調(diào)增，函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，此時(shí)，∴符合題意當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)增函數(shù)在上單調(diào)增∴此時(shí)∴符合題意綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查恒成立問題，二次函數(shù)不同區(qū)間的單調(diào)性，以及分類討論的思想，具有很強(qiáng)的綜合性.3．B【分析】利用題意先得到，，然后利用奇函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】由可得，，對(duì)于A，令，定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以不是奇函?shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以是奇函?shù)，故B正確；對(duì)于C，由于，定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故不是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于，定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故不是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：B4．D【分析】由條件可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以自變量的絕對(duì)值越大函數(shù)值越大，再根據(jù)，可得，進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故自變量的絕對(duì)值越大，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大，又，所以，故選：.5．C【分析】求出，可知，可得函數(shù)為奇函數(shù)，進(jìn)而得到答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，所以有，所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.故選：C.6．D【分析】由已知條件得到的圖象關(guān)于對(duì)稱，從而可知在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，且，再畫出折線圖表示出函數(shù)的單調(diào)性，即可得到答案.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，即的圖象關(guān)于對(duì)稱.所以的圖象關(guān)于對(duì)稱.因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)任意，且，都有成立，所以在上為增函數(shù).又因?yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱，，所以在為減函數(shù)，且.用折線圖表示函數(shù)的單調(diào)性，如圖所示：由圖知：.故選：D.7．【分析】對(duì)二次函數(shù)配方，結(jié)合單調(diào)性得函數(shù)的值域.【詳解】，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，所以值域?yàn)?故答案為：.8．①③【分析】根據(jù)所給性質(zhì)直接計(jì)算可判斷①，取特殊函數(shù)判斷②，利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷③，取特殊函數(shù)判斷④.【詳解】因?yàn)?，都有，所以，即或，故①正確；不妨取，則，即恒成立，所以是偶函數(shù)，故②錯(cuò)誤；設(shè)，且，則，所以，即，所以，即在上單調(diào)遞增，故③正確；不妨取，則滿足，函數(shù)有最大值1，但是無最小值，故④錯(cuò)誤.故答案為：①③9．①②④【分析】通過舉反例判斷①.，利用分段函數(shù)的單調(diào)性判斷②③，求出關(guān)于y軸的對(duì)稱函數(shù)為，利用與y的圖像在上有交點(diǎn)判斷④.【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以有最小值0，①正確；若是R上的減函數(shù)，則，無解，所以②正確；當(dāng)時(shí)，單減，且當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?，而此時(shí)單增，最大值為，所以函數(shù)值域不為R；當(dāng)時(shí)，單增，單增，若的值域?yàn)镽，則，所以，與矛盾；所以不存在實(shí)數(shù)a，使得的值域?yàn)镽；由①可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值域不為R；當(dāng)時(shí)，單減，最小值為，單增，且，所以函數(shù)值域不為R，綜上③錯(cuò)誤；又關(guān)于軸的對(duì)稱函數(shù)為，若，則，但指數(shù)函數(shù)的增長速度快于函數(shù)的增長速度，所以必存在，使得，即成立，所以④正確.故答案為：①②④10．【詳解】試題分析：函數(shù)有意義得：，解得即函數(shù)定義域?yàn)椋键c(diǎn)：求函數(shù)定義域．11．(1)腰OC所在直線方程為，腰AB所在直線方程為；(2)①，②，圖象見解析.【分析】(1)由已知，解三角形求點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求其方程；(2)①解三角形結(jié)合三角形面積公式求時(shí)的解析式，由此求時(shí)，的值；②分別在條件，，下求，由此可得函數(shù)的解析式，作出函數(shù)的圖象．【詳解】（1）過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，又，，所以四邊形為矩形，且，因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，，所以，，所以，設(shè)直線的方程為，則，所以，所以腰OC所在直線方程為，設(shè)直線的方程為，則，所以，所以腰AB所在直線方程為，（2）①當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)分別為，則，所以，所以，又，所以，所以故當(dāng)時(shí)，，②由①知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)分別為，則，由已知四邊形為矩形，所以，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)分別為，則，所以，所以，又，所以，所以，所以，作函數(shù)的圖象可得12．(1)(2)在上是單調(diào)遞減函數(shù)，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)可求出結(jié)果；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)性的定義可得結(jié)果；（3）轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有解，換元后化為在區(qū)間上有解，令，，化為，根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)求出的最大值可得答案.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)是，所以，即，所以，解得.（2）由（1）知，，在上是單調(diào)遞減函數(shù)，理由如下：設(shè)，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以，所以，所以在上是單調(diào)遞減函數(shù).（3）因?yàn)椴坏仁皆趨^(qū)間上有解，所以在區(qū)間上有解，所以在區(qū)間上有解，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以在區(qū)間上有解，所以在區(qū)間上有解，令，因?yàn)?，所以，所以在區(qū)間上有解，令，，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，.所以.13．(1)單調(diào)遞增，證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義證明即可；（2）由函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)值域，若，，使得可轉(zhuǎn)化為值域的包含關(guān)系，建立不等式求解即可.【詳解】（1）在區(qū)間上的單調(diào)遞增，證明如下：設(shè)且，則，因?yàn)椋?，，，所以，即，所以在區(qū)間上的單調(diào)遞增.（2）由（1）知時(shí)，，即時(shí)，f(x)的值域，因?yàn)楫?dāng)時(shí)為減函數(shù)，所以，若，，使得，則,即，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為14．(1)為奇函數(shù)，證明見解析(2)證明見解析(3)函數(shù)在上的單調(diào)遞減【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷與證明即可；（2）根據(jù)單調(diào)性的定義，取值、作差（變形）、定號(hào)、下結(jié)論等步驟進(jìn)行證明即可；（3）結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性直接判斷即可.【詳解】（1）解：為奇函數(shù)，理由如下：函數(shù)，定義域?yàn)?，所以，則，所以為奇函數(shù).（2）證明：任取，且，則，因?yàn)?，所以所以，即，故函?shù)在上是減函數(shù).（3）解：由（1）知函數(shù)為上的奇函數(shù)，由（2）知函數(shù)在上是單調(diào)遞減所以函數(shù)在上的單調(diào)遞減.15．(1)；(2)奇函數(shù)，理由見解析；(3)證明見解析.【分析】（1）將給定自變量及對(duì)應(yīng)函數(shù)值代入計(jì)算即可.（2）利用奇偶函數(shù)的定義直接判斷作答.（3）利用函數(shù)單調(diào)性定義，按步驟推理作答.【詳解】（1）函數(shù)中，因?yàn)?，則有，解得，所以.（2）由（1）知，函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)定義域?yàn)椋?，所以函?shù)是奇函數(shù).（3），且，，因?yàn)?，則，即有，因此，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.16．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定一元二次不等式解集，求出函數(shù)的解析式，再求出二次函數(shù)最小值作答.（2）根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的解析式，再求出方程的二根即可作答.【詳解】（1）不等式，即的解集為，于是得是方程的二根，即有，且，解得，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的最小值是.（2）因?yàn)榍?，則有，解得，因此，方程，即的二根為，所以程兩實(shí)根之差的絕對(duì)值為.17．(1)或(2)(3)【分析】（1）將代入不等式，解該一元二次不等式即可；（2）轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問題，利用即可解得參數(shù)的范圍；（3）對(duì)任意，存在，使得，轉(zhuǎn)化為的值域包含于的值域.同時(shí)對(duì)值域的求解，需要根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸與閉區(qū)間的相對(duì)位置進(jìn)行討論，最終解不等式組求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由得，即，解得或．所以不等式的解集為或．（2）由得，即不等式的解集是．所以，解得．所以的取值范圍是．（3）當(dāng)時(shí)，．又．①當(dāng)，即時(shí)，對(duì)任意，．所以，此時(shí)不等式組無解，②當(dāng)，即時(shí)，對(duì)任意，．所以2<m≤3,4-m2③當(dāng)，即時(shí)，對(duì)任意，．所以此時(shí)不等式組無解，④當(dāng)，即時(shí)，對(duì)任意，．所以此時(shí)不等式組無解．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛，本題中“對(duì)任意，存在，使得”這一條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域的包含關(guān)系是解決