宜興某中學(xué)2025年秋學(xué)期初二年級數(shù)學(xué)學(xué)科練習(xí)(2025年9月)一、選擇題1.下列長度的三根小木棒，把它們首尾順次相接能擺成一個(gè)三角形的是（）A.1，1，3 B.5，6，7 C.3，4，8 D.4，6，10【答案】B【解析】【分析】此題考查了三角形的三邊關(guān)系定理，在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形．根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A、，不能組成三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、，能組成三角形，故此選項(xiàng)正確；C、，不能組成三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，不能組成三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．2.根據(jù)下列條件，能畫出唯一的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定定理和三角形三邊關(guān)系，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有，兩直角三角形全等還有．根據(jù)全等三角形的判定定理和三角形的三邊關(guān)系逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A、，不符合三角形的三邊關(guān)系，不能畫出三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，不能畫出唯一的三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、，只有一角一邊，不能畫出唯一的三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、，符合全等三角形的判定定理，能畫出唯一的三角形，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．3.如圖，≌，若，，則的長為（）A.3 B.3.5 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到邊長相等．根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得，，，再根據(jù)邊長的關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵≌，∴，，∵，，∴，，∴，即的長為4．故選：C

．4.如圖，的角平分線與中線相交于點(diǎn)，有下列兩個(gè)結(jié)論：①是的角平分線；②是的中線，其中，（）A.只有①正確 B.只有②正確C.①和②都正確 D.①和②都不正確【答案】C【解析】【分析】由AD是的角平分線，可以得到AD平分∠BAE，是的中線，得到點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，得到結(jié)論．【詳解】解：∵AD是的角平分線，∴AD平分∠BAE，∴是的角平分線，說法正確；∵是的中線，∴點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴DE是AC邊上的中線，∴是的中線，說法正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義、中線的定義，關(guān)鍵在于理解角平分線的定義和中線的定義．5.如圖，要測量河兩岸相對的兩點(diǎn)A，B的距離，先在的垂線上取兩點(diǎn)C，D，使，再定出的垂線，使A，C，E在一條直線上，可以證明，得到，因此測得的長就是的長，判定的理由是（）A.邊角邊公理 B.角邊角公理 C.邊邊邊公理 D.斜邊直角邊公理【答案】B【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定方法；需注意根據(jù)垂直定義得到的條件，以及隱含的對頂角相等，觀察圖形，找到隱含條件是十分重要的．由已知可以得到，又，，由此根據(jù)角邊角即可判定．【詳解】解：，，，，，在和中，，，故選：B．6.對于以下兩個(gè)命題，判斷正確的是（）①在中，如果，那么；②在中，如果，且，那么是銳角三角形A.①是真命題，②是假命題 B.①是假命題，②是真命題C.①是真命題，②是真命題 D.①是假命題，②是假命題【答案】C【解析】【分析】此題考查了三角形的分類和邊角的大小關(guān)系，熟練掌握三角形的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形中大邊對大角進(jìn)行解答即可．【詳解】命題①正確，因?yàn)檫呴L順序決定對應(yīng)角的大小順序．命題②正確，因?yàn)樽畲蠼菫殇J角且其他角必然更小，三角形為銳角三角形．故選：C7.點(diǎn)P在的平分線上，點(diǎn)P到邊的距離等于5，D是邊上的任意一點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得點(diǎn)到的距離為5，再根據(jù)垂線段最短解答．【詳解】解：∵點(diǎn)在的平分線上，點(diǎn)到邊的距離等于5，∴點(diǎn)到的距離為5，∵點(diǎn)是邊上的任意一點(diǎn)，∴．故選：B．8.如圖，在中，，D是線段上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)A作，且，連接交于點(diǎn)F，若，，則的長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，則，證明，可得，，可證明，可得，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，則，∴，∵，即，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴．故選：A．9.如圖，D，E，F(xiàn)分別是邊，，上的中點(diǎn)，若陰影部分的面積為3，則的面積是（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】本題考查了與三角形中線有關(guān)的面積的計(jì)算，由題意可得，，結(jié)合陰影部分的面積為得出，計(jì)算即可得解，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵D，E，F(xiàn)分別是邊，，上的中點(diǎn)，∴，，，，∴，，∵陰影部分的面積為3，∴，∴，∴，故選：C．10.如圖，的外角的平分線，交于點(diǎn)于點(diǎn)于點(diǎn)，下列結(jié)論中：①周長為；②；③連接，則垂直平分線段；④的面積為與的面積和；⑤．其中正確的是（）A.②③④⑤ B.①②④⑤ C.①③④⑤ D.①②③④⑤【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定等內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是掌握以上性質(zhì)，并且巧妙構(gòu)造輔助線．利用角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定等內(nèi)容逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①如圖所示，過點(diǎn)作，交于于點(diǎn)，平分，，，又∵，∴，同理，，，綜上，，∴，平分，∵，，，，∴，∴，∴周長為:，故①正確，符合題意；②由和得，，∴，故②正確，符合題意；③如圖所示，連接，由和得，垂直平分線段，而非垂直平分線段，故③錯(cuò)誤，不符合題意；④由和得，的面積為與的面積和，故④正確，符合題意；⑤如圖，在上靠近點(diǎn)側(cè)，截取，交于點(diǎn)，，∴，，，又，∴，∴，在四邊形中，，∴，又∴，∵和，，∴，∴，即，故⑤正確，符合題意；綜上，①②④⑤正確，符合題意，故選：B．二、填空題11.已知三角形的兩邊長分別是3和5，則第三邊長a的取值范圍是___．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形的第三邊大于兩邊之差，小于兩邊之和，即可解決問題．【詳解】解：∵三角形的兩邊長分別是3和5，∴第三邊長a的取值范圍是5-3＜a＜5+3，即2＜a＜8．故答案為2＜a＜8．【點(diǎn)睛】本題考查三角形三邊關(guān)系的運(yùn)用，熟記三角形的第三邊大于兩邊之差，小于兩邊之和是解題的關(guān)鍵．12.空調(diào)安裝在墻上時(shí)，一般都會采用如圖所示的方法固定，這種固定的方法應(yīng)用的幾何原理是______．【答案】三角形穩(wěn)定性【解析】【分析】本題考查了三角形的穩(wěn)定性，釘在墻上的方法是構(gòu)造三角形支架，根據(jù)三角形的性質(zhì)即可得解，熟練掌握三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：這種固定的方法應(yīng)用的幾何原理是三角形的穩(wěn)定性，故答案為：三角形的穩(wěn)定性．13.如圖，在中，點(diǎn)D，E分別為邊上的點(diǎn)，且，，則∠______．【答案】##108度【解析】【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、鄰補(bǔ)角等知識點(diǎn)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．先根據(jù)證明得出，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴．故答案為：．14.如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC＝6，DE＝3，則△BCE的面積等于_____．【答案】9【解析】【分析】作EF⊥BC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到EF＝DE＝3，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：過E作EF⊥BC于F，∵CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，∴EF＝DE＝3，∵BC＝6，∴△BCE的面積為×BC×EF＝9，故答案為9．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．15.如圖，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)D，E，，，則點(diǎn)B到點(diǎn)E的距離是______．【答案】6【解析】【分析】本題考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線．連接．根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，求出即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，∵垂直平分，∴，∵，，∴，∴，故答案為：6．16.如圖，長方形中(對邊相等，四個(gè)角都是直角)，E是的中點(diǎn)，將沿折疊后得到，延長交于點(diǎn)F，若，則的長為______．【答案】7【解析】【分析】本題考查了長方形的性質(zhì)、圖形的折疊變換、全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用等重要知識，熟悉相關(guān)性質(zhì)并能靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)翻折的性質(zhì)，長方形的性質(zhì)和是的中點(diǎn)，可得：，，，，可證，得；再根據(jù)，，可得，，可求出．【詳解】解：連接，則在長方形中，，∵翻折，是的中點(diǎn)，∴，，，，在與中，∴；∴，∵，，∴，，∴∴，故答案為：7．17.如圖，在中，，過點(diǎn)C作，且，連接，，則的長為____．【答案】4【解析】【分析】過點(diǎn)D作交的延長線于點(diǎn)M，證明，根據(jù)三角形的面積公式，開平方解答即可．本題考查了互余的性質(zhì)，平角定義，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形面積公式，平方根，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點(diǎn)D作交的延長線于點(diǎn)M，∵，，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴（舍去），故答案為：4．18.在中，是角平分線，，則的長為______．【答案】6【解析】【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．過點(diǎn)D作，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)點(diǎn)A到的距離為h，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，則利用三角形面積公式得到，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)點(diǎn)A到的距離為h，∵是角平分線，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：6．二、簡答題19.如圖，在邊長為1的小正方形方格紙中，有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的，利用無刻度直尺作圖．（1）畫，使它與關(guān)于直線l對稱；（2）在直線l上作點(diǎn)P，使的值最小，此時(shí)；（3）在直線l上找一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到、兩邊的距離相等．【答案】（1）見解析（2）見解析；（3）見解析【解析】【分析】本題考查了畫軸對稱圖形、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的三線合一、角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握軸對稱圖形的畫法是解題關(guān)鍵．（1）先分別畫出點(diǎn)A，B，C關(guān)于直線對稱點(diǎn)，再順次連接即可得；（2）連接，與直線l的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，再證明為直角三角形，即可得的度數(shù)；（3）連接，與直線l的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q．【小問1詳解】解：如圖，即所求；【小問2詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所求．根據(jù)題意得：，，，∴，∴為直角三角形，且；故答案為：【小問3詳解】解：如圖，點(diǎn)Q即為所求．20.尺規(guī)作圖，如圖，中，．（1）試求作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到B．C兩點(diǎn)的距離相等，并且到兩邊的距離相等（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若，則的度數(shù)為______．【答案】（1）作圖見解析；（2）10．【解析】【分析】（1）作BC的垂直平分線和∠ABC的平分線，它們的交點(diǎn)為P點(diǎn)；（2）設(shè)∠PBC=x，利用角平分線的定義得到∠ABC=2∠PBC=2x，利用線段垂直平分線的性質(zhì)得到PB=PC，則∠PCB=∠PBC=x，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出x的值．【詳解】解：（1）如圖，點(diǎn)P為所作；（2）設(shè)∠PBC=x，∵PB平分∠ABC，∴∠ABC=2∠PBC=2x，∵PB=PC，∴∠PCB=∠PBC=x，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴2x+x+50°+100°=180°，解得x=10°．即∠PBC的度數(shù)為10°．故答案為10．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)．21.如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段上，若，，求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】本題主要考查了全等三角形的判定定理，直接利用證明即可．【詳解】證明：∵，∴，∴，又∵，∴．22.如圖，點(diǎn)E在上，與交于點(diǎn)F，．（1）求證∶；（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到．（1）利用證明即可，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理以及對頂角相等即可解決問題．【小問1詳解】證明：∵，∴，即．在和中，，∴，∴．【小問2詳解】解：∵，∴，∵，，∴．23.如圖，在四邊形中，，E為的中點(diǎn)，連接并延長交的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）連接，當(dāng)時(shí)，，，求的長．【答案】（1）見解析（2）5【解析】【分析】此題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)證明和全等．（1）根據(jù)證明和全等即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)解答即可．【小問1詳解】證明：∵，∴．∵E為的中點(diǎn)，∴．在和中，，∴．【小問2詳解】解：∵，∴，∴．∵，∴垂直平分，∴．答：的長為5．24.如圖，四邊形中，，，于D．（1）求證：平分；（2）若，求的長．【答案】（1）見解析（2）4【解析】【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識點(diǎn)，正確作出輔助線、構(gòu)造全等三角形成為解題的關(guān)鍵．（1）如圖：作于E，易得；再證明可得，最后根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可證明結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)以及已知條件可得，再證明可得，最后根據(jù)線段的和差即可解答．【小問1詳解】證明：如圖：作于E，∵，，∴，在和中，∵，∴，∴，∵，，∴平分．【小問2詳解】解：∵，∴，∵，∴，在和中，∵，∴，∴，∴．25.如圖，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，點(diǎn)D是AB的中心，點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A以a厘米/秒運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒．（1）求CP的長；（2）若以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形和以B、D、P為頂點(diǎn)的三角形全等，且∠B和∠C是對應(yīng)角，求a的值．【答案】（1）CP=8-3t；（2）a的值是3或者．【解析】【分析】（1）用BC的長度減去BP的長度即可；

（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等，列方程即可得到結(jié)論．【小問1詳解】∵BP=3t，BC=8，∴CP=8-3t；【小問2詳解】當(dāng)BD=CP時(shí)∵AB=10，D是AB的中點(diǎn)，∴5=8-3t，解得t=1，∵△BDP≌△CPQ，∴BP=CQ，即3×1=a，解得a=3；當(dāng)BP=CP時(shí)3t=8-3t，解得t=，∵△BDP≌△CQP，∴BD=CQ，即5=×a，解得a=，綜上所述，a的值是3或者．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會分類討論的思想思考問題．26.【問題提出】學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究．初步思考】我們不妨將問題用符號語言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對∠B進(jìn)行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究．【深入探究】第一種情況：當(dāng)∠B是直角時(shí)，△ABC≌△DEF．（1）如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據(jù)，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時(shí)，△ABC≌△DEF．（2）如