18.2黃金分割

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.下列關(guān)于X的方程/+工_1=0的說法中正確的是（）

A.該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

B.該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且它們互為相反數(shù)

C.該方程有一根為匕無

2

D.該方程有一根恰為黃金比例

2.己知：點(diǎn)C是線段A8的黃金分割點(diǎn)，且AC>C8,那么下列結(jié)論一定正確的是（）

AC石-1BC_6+3

A.-----=B.

CB2AB2

AC3-亞二石-1

C.---=D.AC

AB2AB2

3.已知點(diǎn)C是A8的黃金分割點(diǎn)CAC>BC）,若A8=8厘米，則（）

A.卜石一4）厘米B.（12-4石）厘米C.（2石一2）厘米D.（6-2石）厘米

4.己知點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AP>P8）,A8=10,那么AP的長是（）

A.5N/5-5B.5-V5C.5君一1D.

2

5.如果那么一一等于

b3a+b

A.3:2B.2:5C.5:3D.3:5

6.大自然是美的設(shè)計(jì)師，即使一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割如圖，為A8的黃金分割點(diǎn)

（AP>PB）,如果AB的長度為8cm,那么心的長度是（）

A.475-4B.4x/5-12C.4-475D.12-12^

7.大自然雙斧神工，一片小小的樹葉，也藐含著“黃金分割”的美.如圖，P為線段44的黃金分割點(diǎn)

（AP>PB）.如果AB的長度為10cm,那么AP的長度是（）

A

P

B

A.（5>/5-5）cmB.（15-5\/5）cmC.6.18c/nD.（55/5+5）cm

8.2023年第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)的會(huì)徽“潮涌”將自然奇觀與人文精神進(jìn)行巧妙融合，其中浪潮設(shè)計(jì)借

助了黃金分割比以給人協(xié)調(diào)的美感.如圖，若點(diǎn)C可看作是線段A4的黃金分割點(diǎn)（AC<CB）,

AB=l（）cm,則8c的長為（）cm.

A.5x/5-5B.15-V5C.15+后D.5書+5

9.在20世紀(jì)70年代，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推

廣，取得了很大成果.如圖，利用黃金分割法，所作￡小將矩形窗框人BC。分為上下兩部分，其中￡

為邊A8的黃金分割點(diǎn)，即8爐已知A8為2米，則線段3E的長為（）.

A.近二1米B.米C.或上1米D.叵匕米

2''22

npAp

10.加圖，點(diǎn)，是48的黃金分割點(diǎn)，即。點(diǎn)滿足蕓=<，若耕=2,則AP的長為（）

APAB

III

APB

A.石-1B.石+1C.6+2D,0.618

11.肚臍眼是人上下身的分界點(diǎn)，已知某人的肚臍眼恰好是他的身高的黃金分割點(diǎn)，且他的上身比下

身長，若該人的身高約為1.8米，則他的上身長度約為（）（精確到0.1米）

A.0.9米B.1.0米C.1.1米D.1.2米

12.下列圖形中，屬于相似圖形的是（）

A.|一|PB-OOc-zxA?oO

二、填空題

13.已知，C是線段的黃金分割點(diǎn)，AOBC,若A8=10,貝i」AC=.

14.如圖，點(diǎn)C是線段人4的黃金分割點(diǎn)(即會(huì)=空)，若以AC為邊的正方形ACDE的面積為

ACAB

100,則長為A8，寬為C8的矩形C8/P的面積為.

ACB

GF

15.點(diǎn)C是線段4B的黃金分割點(diǎn)(AC>8C),若BC=2,則AC=

16.已知點(diǎn)尸是線段A8的黃金分割點(diǎn)(4P>8P),如果AB=2,那么腫的長是.

17.“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.秦兵馬俑被譽(yù)為“世界第八大

奇跡”，兵馬俑的眼睛到下巴的距離與頭頂?shù)较掳偷木嚯x之比約為叵［，若如圖所示的兵馬俑頭頂

2

到下巴的距離為().3m,則該兵馬俑的眼睛到下巴的距離為m.

三、解答題

AC

18.如圖，點(diǎn)C是線段A3的黃金分割點(diǎn)，計(jì)算線段A3的黃金比笠的值.

ACB

21.黃金分割具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值，這一比值能夠引起人們

的美感，被認(rèn)為是建筑和藝術(shù)中最理想的比例.人體上半身長和下半身長的黃金比為0.618:1,這時(shí)

人的身長比例看上去更美觀.樂樂的媽媽上半身長68厘米，下半身長104厘米，她想通過穿高跟鞋，

使身長的比例更美觀，「是她購買了一雙6厘米高的高跟鞋.依據(jù)黃金比，這雙高跟鞋的高度合適嗎？

請說明理由.

22.黃金分割是一種被廣泛應(yīng)用于藝術(shù)和生活中的比例關(guān)系，具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性,

蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值，黃金分割比近二1也被稱作是最美比例關(guān)系.某藝術(shù)品公司生產(chǎn)了一款長方

2

形的畫框，測量發(fā)現(xiàn)該矩形畫框的長為（10石+10）厘米，其寬與長的比值等于黃金分割比.

⑴求該矩形畫框的寬；

⑵生產(chǎn)畫框所用的材料單價(jià)為0.02元/co?,則生產(chǎn)一個(gè)該畫框所需要的材料成本為多少錢？（結(jié)果

保留根號）

5s

23.VABC中，。是BC上一點(diǎn)，若丁四二一，則稱A。為VABC的黃金分割線.

3ABC、ABD

⑴求證：若4。為VABC的黃金分割線，則。是的黃金分割點(diǎn);

(2)若S.c=2。，求的面積.(結(jié)果保留根號)

24.在數(shù)學(xué)上稱長與寬之比為黃金分割比的矩形為黃金矩形，如在矩形A3CO中，當(dāng)AB=匕理BC時(shí),

2

稱矩形ABC。為黃金矩形446.請你證明黃金矩形是由一個(gè)正方形和一個(gè)更小的黃金矩形構(gòu)成.

DC

B

參考答案:

題號12345678910

答案DDBABAAABA

題號1112

答案C1)

I.D

【分析】利用一元二次方程根的判別式可判斷A,利用根與系數(shù)的關(guān)系可判斷B,利用方程解的含義

可判斷C,D,從而可得答案.

【詳解】解：A、A=12-4X1X(-1)=1+4=5>0,

，方程—+丫_1=。有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此詵項(xiàng)不符合題意：

B、方程兩根的和為-1,它們不互為相反數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；

C、把x=l±2叵代入/+4一1=。，方程左右兩邊不相等，故此選項(xiàng)不符合題意；

2

D、把.l=空代入f+工7=(),滿足方程，故此選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解的含義，一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，掌握

“一元二次方程的根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系”是解本題的關(guān)鍵.

2.D

【分析】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵.由黃金分割點(diǎn)的定義得

—=—即可得出結(jié)論.

ABAC2

【詳解】解：???點(diǎn)。為線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC>C8,

.ACBC75-1

??,

ABAC2

故選項(xiàng)D符合題意，

故選：D.

3.B

【分析】根據(jù)黃金分割的定義可得8。=上氈48,進(jìn)行計(jì)算即可解答.

2

【詳解】解：由題意知：上正A8=±二叵x8=12—4萬（厘米），

22

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義：把一條線段分成兩部分，使其中較長的線

段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割是解題的關(guān)鍵.

4.A

【分析】本題考查黃金分割點(diǎn)的概念.根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，知管是較長線段；則4尸二正［48,

2

代入數(shù)據(jù)即可得出八產(chǎn)的長.

【洋解】解：由于夕為線段48=10的黃金分割點(diǎn)，HAP是較長線段，

貝I」AP=^^A8=5Vi—5.

2

故選：A.

5.B

【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)（兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積）和合比定理【如果a：b=c：d,那么（a+b）：

b=（c+d）：d（b、d,0）］解答并作出選擇.

【詳解】3=］的兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)是b、2,兩外項(xiàng)是a、3,

b3

,b3

,,廠5'

，根據(jù)合比定理，得

a+b2+35a+b5

——二=-=不即ni1——=不

a22al

同理，得

=2：5.

a+b

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

6.A

【分析】本題考查了黃金分割，正確記憶黃金分割的概念是解題關(guān)鍵.利用黃金分割的定義列式計(jì)算

出”即可.

【詳解】解：尸為A8的黃金分割點(diǎn)(AP>P8),

===4石一4(cm),

故選：A.

7.A

【分析】本題考查了黃金分割，根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答.熟練掌握黃金分割的定義

是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：2為48的黃金分割點(diǎn)(40〉依)，A8=10cm,

\AP=^-^AB=^-^?\()(5、5-5)cm,

故選：A.

8.A

【分析】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行計(jì)

算，即可解答.

【詳解】解：點(diǎn)C可看作是線段八〃的黃金分割點(diǎn)(ACu6)，^=IOcm,

:.BC=^^-AB=^^-x\0=(545-5)cm,

22

故選：A

9.B

【分析】本題考查了解一元二次方程，黃金分割.設(shè)BE=x,則AE=(2—x),根據(jù)=求

出x的值，即可求解.

【詳解】解析：???肘?2=/^.49，

設(shè)BE=x,則AE=(2—x),

*/AB=2,

Ar=2(2-x),

即d+2x-4=0,

解得：%=一1+石，Xj=-1—\/5(舍去)，

「?線段比的長為（百-1）米.

故選：B.

10.A

【分析】本題考查了黃金分割，解題的關(guān)鍵是熟記黃金比的值進(jìn)行計(jì)算.根據(jù)黃金比的值為

理=避二！求解即可.

AB2

RPAD

【詳解】解：?.?點(diǎn)。是48的黃金分割點(diǎn)，即，點(diǎn)滿足黑=蕓，

APAB

???AP為較長線段，

由絲A印=2得=囪一1x2=6—1,

AB22

故選：A.

11.C

【分析】根據(jù)黃金分割比，可得上半身和全身的比值，求解即可.

【詳解】解：???某人的肚臍眼恰好是他的身高的黃金分割點(diǎn)，且他的上身比下身長，該人的身高約為

1.8米，

,他的上身長度約為近二ixl.8ao.618x1.8=1.1（米），

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了黃金分割比，解題的關(guān)鍵是掌握黃金分割比的性質(zhì).

12.D

【分析】根據(jù)相似圖形的定義，對選項(xiàng)進(jìn)行一一分析，排除錯(cuò)誤答案.

【詳解】A、形狀不相同，大小不同，不符合相似形的定義，故不符合題意；

B、形狀不相同，大小不同，不符合相似形的定義，故不符合題意；

C、形狀不相同，不符合相似形的定義，故不符合題意；

D、形狀相同，但大小不同，符合相似形的定義，故符合題意.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似形的定義，結(jié)合圖形，即圖形的形狀相同，但大小不一定相同的變換是相

似變換.

13.575-5/-5+5>/5

【分析】本題主要考查了黃金分割知識點(diǎn)，根據(jù)黃金分割的定義即可求出.

【詳解】解：???C是線段A8的黃金分割點(diǎn)，AC>BC,AB=10,

:.AC=^^xl0=5石-5,

2

故答案為：575-5.

14.100

【分析】本題考查了黃金分割的定義：一個(gè)點(diǎn)把一條線段分成較長線段和較短線段，并且較長線段是

較短線段和整個(gè)線段的比例中項(xiàng)，那么就說這個(gè)點(diǎn)把這條線段黃金分割，這個(gè)點(diǎn)叫這條線段的黃金分

割點(diǎn).根據(jù)題意，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

【詳解】詳解：VC是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC>8C,

???AC2^ABBC,

又???以AC為邊的正方形ACQE的面積為100,矩形CBAG的長為AB,寬為CB,

2

/.\00=AC=ABBCf

故答案為：100.

15.V5+1/1+V5

【分析】此題考查黃金分割,根據(jù)黃金分割的概念把一條線及分成兩部分,使其中較長的線段為全線

段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割.

【詳解】解：由題意得：ABBC=AC2,

VAB=AC+BC,8c=2,

A(AC+2)-2=AC2,

解得：47=囪+1，負(fù)值已舍去.

故答案為6+1.

16.3—yfs/—J5+3

【分析】本題考出來黃金分割，解一元二次方程組.由題意知，HP=At3-AP=2-AP,由點(diǎn)尸是線

ApRpApO-AP

段A3的黃金分割點(diǎn)，可得第=第，即工"二下一，整理得從尸-2A尸+4=0,計(jì)算求出滿足要

求的解即可.

【詳解】解：由題意知，BP=AB-AP=2-AP,

???點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn),

.APBPAP2-AP

??——=—,即Hn一=------^^.^AP2-2AP+4=O,

ABAP2AP

解得：”=一1+6或”=一1—6(舍去)，

BP=2-AP=2-[-i+y/5)=3->/5

故答案為：3—亞.

17.①

20

【分析】本題考查了黃金分割，根據(jù)比例關(guān)系列式計(jì)算即可.

【詳解】解：設(shè)該兵馬俑的眼睛到下巴的距離為刖，

貝「二昱1,

0.32

故答案為：捶二.

20

18.黃金比為正11.

2

【分析】本題考查的是黃金分割的含義，本題設(shè)線段筋=1,較長的線段AC的長為X,結(jié)合圖形可

得AC>BC,結(jié)合黃金分割點(diǎn)的含義建立方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)線段A5=l,較長的線段AC的長為1,結(jié)合圖形可得AC>BC,

。是線段八〃的黃金分割點(diǎn).

.\AC2=ABBC,即f=1.07),

解得：X士五,X上色(舍去負(fù)值)，

1222

ACXy/5-l

-----=—=---------，

AB12

答：黃金比為墾1.

2

19.(1)(575-5)cm；

⑵畫圖見解析；

(3)證明見解析

【分析】3)根據(jù)黃金分割的定義解答即可；

(2)以A圓心，以A8的長為半徑作弧，再以點(diǎn)4為圓心，AO的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C,連

接BC,則AABC即為所求；

(3)根據(jù)黃金分割的概念和黃金三角形的概念：黃金三角形是一個(gè)等腰三角形，其底與腰的長度比

為黃金比值，證明即可.

【詳解】(1)解：?.?點(diǎn)。是線段A8的黃金分割點(diǎn)，若

:.AD=且二AB=(56-5)cm,

2

故答案為：(5x/5-5)cm；

(2)以A圓心，以48的長為半徑作弧，再以點(diǎn)3為圓心，AZ)的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C,

B

D

連接BC,則A4BC即為所求;

(3)證明：由(1)得，點(diǎn)。是線段AA的黃金分割點(diǎn),

???底邊=AB,

2

???BC=RAB

2

三角形ABC是黃金三角形.

【點(diǎn)睛】此題考查/黃金分割的定義，根據(jù)條件作三角形，黃金三角形的作法，熟知黃金三角形的定

義是解題的關(guān)鍵.

20.

2

⑵矩形。CEF為黃金矩形，理由見解析

⑶點(diǎn)D到線段的距離為M+6

4

【分析】本題考查了黃金分割，理解題目所給“黃金矩形”的定義是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)絲=詼二1,43=1,即可求解；

BC2

(2)先求出/加=石。=4。-4〃=叵］，再求出空的值，即可得出結(jié)論；

2EF

(3)連接AE,DE,過。作力G_LAE于點(diǎn)G,根據(jù)A8=M=1,4。=與］，得出從￡=廬于=血，

再根據(jù)SAQ=gxAOxEF='x4ExDG,即可求解?

【詳解】(1)解：???任=避二1,AB=\,

BC2

AB_1_75+1

，6c=匹=匹=丁，

22

故答案為：立里；

(2)解：矩形。CE/為黃金矩形，理由是:

由(1)==

2

，F(xiàn)D-EC-AD-AF-^^-i-^^,

22

.DF>75-l,x/5-1

??=-------+1=--------?

EF22

故矩形。CE/為黃金矩形；

(3)解：連接AE,DE,過。作QGJ.AE于點(diǎn)G

、〃

、Z/

X、

、、/

W/

/

G\f

圖②

?：AB=EF=1,AD=^^-,

2

工AE=y/i2+[2=>/2，

在△?1￡1￡）中，SAEO=gxADxEFugxAExDG,

即ADxEF=AExDG,

則正里xl=&xOG，

2

解得QG=^+夜,

4

:.點(diǎn)。到線段AE的距離為幽也.

4

21.這雙高跟鞋合適，理由見解析.

【分析】本題考查了黃金分割，以及比例的性質(zhì)，根據(jù)黃金分割的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：這雙高跟鞋合適，理由如下：

104+6=110（cm）,

68:110a0.618=0.618:1,

答：這雙高跟鞋合適，穿起來后上半身長與下半身長正好成黃金比.

22.（1）20厘米：

⑵卜石+4）元.

【分析】（1）根據(jù)寬與長的比值等于黃金分割比列出算式即可求解?；

（2）求出矩形畫框的面枳，進(jìn)而即可解決問題；

本題考查了黃金分割，二次根式的運(yùn)算，熟知黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：???矩形畫框的寬與長的比值等于黃金分割比，且長為（1。石+1。）厘米，

???矩形畫框的寬為嚀^乂（10萬+10）=20厘米；

（2）解：矩形畫框的面積為20x（10?+10）=200W+200（平方厘米），

???矩形畫框的材料成本為0.。24200石+200）=卜石+4）元，

答：生產(chǎn)一個(gè)該畫框所需要的材料成本為（4逐+4）元.

23.（1）見解析

(2)30-10石

【分析】（I）先由等高的兩個(gè)三角形面積之比等于底之比，可得》"=黑比S.C二l）防CD’又因?yàn)?/p>

JARr

SSRDCD

d=d，等量代換得出=根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義即可證明。是3c的黃金分割點(diǎn);

、ABC、ABDBCDU

(2)由⑴知"^=空，那么80=或且4C,DC=BC-BD=BC-更aBC=±5~BC,乂

BCBD223

等高的兩個(gè)三角形面積之比等于底之比少=*==臣，將S.=20代入，即可求出的

SAnrBC2

面積.

..S.二BDJAC/)CD

【詳解】（I）證明:

SABC8cSABD~BD

J.AM_“4(7)

又???

SABCSABD

.BD