5.2.3簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

亦或氐修.建立允興知正體東

1復(fù)合函數(shù)

對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=/(u)和〃=9。)，若通過(guò)變量〃，y可以表示成》的函數(shù)，則稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y=/Q)

和黃=/(%)的復(fù)合函數(shù)，記作y=f(g(x)).

【例】函數(shù)y=/M-i可看成由y=屋與〃=2x2-1復(fù)合而成的函數(shù)：

函數(shù)y=cos(2x-弓)可看成由y=cos式與〃=2x-g復(fù)合而成的函數(shù).

?JJ

2簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f(〃),u=/(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系是y；=%；?u'x.

即y對(duì)工的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)〃的導(dǎo)數(shù)與n對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積。

【例】若/(x)=ln?(/+2%+3),設(shè)y=仇〃，u=%2+2x+3,

則「。)=(仇〃)'？(％2+2%+3)=；?(2%+2)=

3性質(zhì)

(1)若函數(shù)y=/(%)為可導(dǎo)的偶函數(shù)，則y=f'a)為奇函數(shù)；

(2)若函數(shù)y=f(x)為可導(dǎo)的奇函數(shù)，則y=1(乃為偶函數(shù).

證明(1)方法1若f(x)為可導(dǎo)的偶函數(shù)，貝可(一x)=f(x),

兩邊求導(dǎo)得一廣(一＞)=f'(X),所以y=［。)為奇函數(shù)；

方法2/(%)=所？四用膽=癡？生絲止幽,

Ax-?OAxAx-*OAxAx-?O-^x

y=g(x)是偶函數(shù)，，g[(-%)+A%]-g(-％)=g(x-Ax)-g(x)

lim?g〔(T)+Ax]-g(T)_g(%Ax)g(x)

???g'(r)=Um?

Ax

l7_g(-—g(x)=_?g[x+(-△刈-/外

imlim=-g'(x)，

Ax-*0-AxAx->0-Ax

■-.g'D=-g'(x)，所以y=尸⑺為奇函數(shù).

(2)類似(1)的證明.

%基本方法粒塊化學(xué)0，亂造得低乜力

【題型1】復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

【典題1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

(l)y=(2x3-x+i)4：(2)y=sin2(2x+^)：(3)y=V1+x2.

解析(1)/=4(2x3-%+i)3(6x2-1-

(2)y'=2sin(2x+^)cos(2x+()?2=2sin(4x+冬);

11丫

(3)/=±(14-X2)-2?2X=..

Jl+x2

【鞏固練習(xí)】

I.函數(shù)f(x)=C0S(%2+%)導(dǎo)數(shù)是4)

A.—sin(x2+x)B.—(2x+l)5in(x2+x)

C.-2xsin(x24-x)D.(2x+l)sni(x2+x)

答案B

解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為/'(%)=-s汾？(/+=一(2%++%),故選：B.

2.函數(shù)y=4(2-％+3/)2的導(dǎo)數(shù)是()

A.8(2-x+3x2)B.2(-1+6xj2

C.8(2-X+3X2)(6X-1)D.4(2-x+3X2)(6X-1)

答案C

解析函數(shù)y=4(2-x+3/)2,

所以y'=8(2—x+3x2)?(-1+6x)=8(2—x+3x2)(6x—1).

故選：C.

3.設(shè)f(%)=5(2%-1),若/'(X)在幾處的導(dǎo)數(shù)f'(xo)=1,則工。的值為()

A.—B.-C.1D.-

224

答案B

解析由f(%)=ln(2x-1),得廣(%)=不y.

由f'(xo)=丁J=L解得：x=故選：B.

NX。一！?/0

【題型2】運(yùn)用

【典題1】若函數(shù)/(x)=gsin?2x+sin?x,則廣(%)是()

A.僅有最小值的奇函數(shù)B.僅有最大值的偶函數(shù)

C.既有最大值又有最小值的偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)

解析,?,函數(shù)/(%)=]sin2x+sin%,

2

/'(%)=cos2x+cosx=2cos2x+cosx-1=2(cos%+―3

02/10

當(dāng)cos?x=時(shí)，f'(X)取得最小值一：；當(dāng)cosx=l時(shí)，/(%)取得最大值2.

48

且「(_、)二廣口).即尸(乃是既有最大值，又有最小值的偶函數(shù).

故選：C.

【典題2]已知函數(shù)/(%)與g(x)的定義域均為RJ'a),g’a)分別為/(x),ga)的導(dǎo)函數(shù)，f(x)+g'(x)=5,

/(2-x)-^(2+x)=5,若g(x)為奇函數(shù)，則下列等式一定成立的是()

A./C-2)=5B.g[x+4)=g(x)

Cy(8-x)=^(x)D.r(x+8)=r(x)

崔桁山〃(")+g'(x)=5Z(/(2-%)+g'(2-x)=5

解圻叫f(2-x)-^(2+x)=5伸B"(2-%)-“(2+x)=5'

???g(2-%)=-g<2+%),?,?關(guān)于(2,0)中心對(duì)稱,則g'(4+%)=-或一%)，

g(x)為奇函數(shù)，二g(-x)=一g[x)，左右求導(dǎo)得：一g'(-%)=—g'(x),

...g\x+8)=-g'(-(％+4))=-g'(x+4)=一[一g'(r)]=g'(r)=g'(x)，

???，(%)是周期為8的周期函數(shù)，

，，(8-%)=g'(x-8)="(x),C正確,

???/(x)+gfM=5,：,/(-2)+或-2)=5,又g'(-2)=以2)=0,

.??/(-2)=5,4正確,

令h(x)=g'a)，貝吸(％+8)=九0),???*(欠+8)=h'(%),

又九(x)=5-fQ),九(x+8)=5-5(%+8),八一((刀+8)=-1(%),

即廣(X+8)=/(%),D正確,

???g<x+4)=一g'(x),???g'(x+4)+g<x)=0,

設(shè)F(x)=g(x+4)+g(x),則尸(%)=g，(x+4)4-g'(x)=0,???F(x)=C(CeR),

又g(x)為奇函數(shù)，，F(xiàn)(-2)=g(2)+g(-2)=0,???F(x)=0,

即g(x+4)=一g(x),B錯(cuò)誤，

故選4CD.

點(diǎn)撥函數(shù)的周期性、對(duì)稱性的常見(jiàn)結(jié)論

①若+d)=-/(%),則y=f(%)的周期是7=2a；

②若f(x+a)=-y—,則y=/(x)的周期是T=2a.

③若f(x+a)=f(b-x),則y=/(%)有對(duì)稱軸％=掌.

④若函數(shù)y=f(x)定義域?yàn)镽,且滿足條件f(a+x)+f(b-x)=c(a,b,。為常數(shù))，則函數(shù)y=/(%)

所以f(x—l)+f(3x—1)是奇函數(shù)，8選項(xiàng)正確，

對(duì)于函數(shù)/'(4/-2),-)2-2)=f(4x2-2),

所以函數(shù)/'(4/一2)是偶函數(shù)，C選項(xiàng)正確，

對(duì)于D選項(xiàng)，先證明奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，

若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則/■(—%)=-fW，

兩邊求導(dǎo)得[/(一%)]'=[-/(x)]\即一/(一盼=-f(x),

即廣(_%)二尸(刈，所以奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，

然后證明/(-5%-1)為奇函數(shù)，

由于/(5%-1)=-/(-5x-1),所以/(一5%-1)為奇函數(shù)，

所以尸(-5x-l)是偶函數(shù)，。選項(xiàng)正確，

故選BCD.

5.(多選)已知函數(shù)/(x)及其導(dǎo)函數(shù)尸(%)的定義域均為R,若/(2-%),r(|一2%)均為奇函數(shù)，則()

A./(2)=0B./⑴=((0)C./(3)=f(2)D.r(2022)=-f(-l)

答案ACD

解析因?yàn)槿?(2-幻,/''6一2》)為奇函數(shù)，

所以八2-Q=-/(2+幻/6-2x)=-f(|+2x),

令x=0得/⑵=一/⑵,r(|)=-f(|),即f⑵=0/(|)=0,4選項(xiàng)正確;

所以一((2一%)=—/(2+%),即((2—％)=((2+%),

所以函數(shù)/(%)關(guān)于％=2對(duì)稱，6,0)對(duì)稱，

所以「(|->)=-rg+x)=-尸(|-%)，即1(>%)=-r(|-x),

所以廣(％+1)=一〃。),

所以尸Qr+2)=-尸(x+l)=/(%),即函數(shù)/(無(wú))為周期函數(shù),周期為2.

所以廣(2022)=((0)=-7'(-l)，r(l)=一/(0)，故。選項(xiàng)正確,8選項(xiàng)錯(cuò)誤,

對(duì)于C選項(xiàng),由f'(|一2%)=一((|+2%)可得一1/(|-2無(wú))+G=-/(|+2%)+C2f其中QC2為

常數(shù)，

所以/(|)_2G=/。-2c2,所以G=C2,

故令x=前導(dǎo)/"(2)-2G=f⑶-2G.=f(3),故C選項(xiàng)正確.

1.已知f(x)=cos2x+e2x,則/(%)=()

A.-2sin2x+2e2xB.sin2x+e2x

C.2sin2x4-2e2xD.-sin2x4-e2x

答案4

解析,?*/(x)=cos?2x+e2x,f'(x)=-2sin?2x+2e2x.故選：A.

2.定義在R上的函數(shù)/(%)滿足7(%)-2/(無(wú))=0(其中尸(x)為/"(%)的導(dǎo)函數(shù))，則這樣的函數(shù)個(gè)數(shù)為()

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)

答案D

解析滿足「(%)-

(e2xy=2e2Xf2/(%)=0,???/?(%)=

(ke2xy=2ke2x,k為非零常數(shù),也滿足)(%)-2/0)=0,

???滿足1(%)-2/(%)=0的函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)，故選：D.

3.下列直線中，與曲線丫二底2尸】在點(diǎn)(l,e)處的切線平行的直線是()

A.y=2ex-1B.y=3ex+1C.y=2ex—eD.y=3ex—2e

答案B

解析y'=(x)ze2x-1+x(e2x~1y=(2x+l)e2x-1,則y|—二3e,

平行的直線的斜率為k=3e,排除A,C,

y=3ex-2e過(guò)切點(diǎn)(l,e),斜率為3e,

即y=3ex-2e為曲線y=xe2x-i在點(diǎn)°)處的切線，。錯(cuò)誤；

y=3ex+1的斜率為3e,且不與y=3ex-2e重合，B正確

故選艮

4.已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù),(x)的定義域都為R,且f(l—2均為偶函數(shù)，f(x+2)為奇函數(shù)，貝4()

A./(l)=0B.(⑵=0

C.尸(2022)+/(2021)=0D.f(2022)+/(2021)=0

答案D

解析由為偶函數(shù)知,/(l-2x)=/(l+2x),即

即函數(shù)/(%)關(guān)于％=1對(duì)稱，則/Xx)=f(2-x),

由/'(x+2)是奇函數(shù)知，/(x+2)=-/-(-%+2),即函數(shù)/(%)關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱

06/10

則/(%)=-/(4一%),且/(2)=0,

所以/'(2-。=一/(4一外,即/<(%)=/(》+4),即函數(shù)f(x)的周期是4,

則/'(2022)=/(2+505x4)=/(2)=0,

又f(1-2x)=/(I+2x)?[f(l-2x)]f=[/(l+2x)]S

所以一2/(1-2x)=2/(1+2x),則一((I-2x)=/#(I.2x),

即一廣(l-“)=((l+x),

所以/(X)=-f(2-x),即函數(shù)尸(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，且廣⑴=0,

由/(%)=f(x+4)?廣(*)=r(x+4),即導(dǎo)函數(shù)尸(0的周期是%

則/'(2021)=/(1+505X4)=/XI)=0,所以廣(2021)+/(2022)=0,

故選D.

5.已知函數(shù)/(x)=sin(2x+則f'等于.

答案一2

解析由/(x)=sin?僅x+；),得/■<%)=2cos?(2%+§,

所以,C)=2COS?(2xJ=2cos?zr=-2.

6.已知函數(shù)/(X)=(2x+1)-2x4-cos?x,則廣(0)=.

答案2

解析因?yàn)?'(%)=f'(0)ln?(2H+l)-2%+cos?%,所以廣O)=f'(0)x高一2-sin?x,

令x=0,r(0)=r(0)x2-2,解得4(0)=2.

7.某鐵球在0℃時(shí)，半徑為1dm.當(dāng)溫度在很小的范圍內(nèi)變化時(shí)，由于熱脹冷縮，鐵球的半徑會(huì)發(fā)生變化，

且當(dāng)溫度為t°C時(shí)鐵球的半徑為(l+at)dm,其中a為常數(shù)，則在t=0時(shí)，鐵球體積對(duì)溫度的瞬時(shí)變化率為

(參考公式:%=輛3).

答案4TTQ

解析'球=[兀&=gyr(l4-at)3,則P球=x3(1+at)2xa=4TTQ(1+at)2,

則%11=4yra(l+ax0)2=4na,

即在￡=。時(shí)，鐵球體積對(duì)溫度的瞬時(shí)變化率為47m.

8.若曲線丫=xe。-*+匕%在％=2處的切線方程為y=(e-1)X一4,則a=_,b-.

答案b=e,a=2

解析因?yàn)閥=xe。-"+bx,所以y=(1-x)e“-“+。，

又函數(shù)3=2處的切線方程為y=(e-l)x+4,

所以ylx=2=(1—2)ea-2+力=e-1，且2(e-1)4-4=2ex~2+2b

解得b=e,a=2.

9.設(shè)函數(shù)f(x)=cos?(V3x+@),其中常數(shù)p滿足一九<(p<0,若函數(shù)g(x)=/(%)+/'(%)(其中((無(wú))是函

數(shù),f(x)的導(dǎo)數(shù))是偶函數(shù)，則8等于.

答案/

解析由題意得g(x)=f(x)+/'(%)=cos(V3x+(/))-V3sin(x/3x+(/))

=2cos?(V3x+0+g),

??,函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，：?(p+^=kn,kEZ,

又一71<8<0,.,.租=一提

10.英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了一個(gè)恒等式e?，=XZo?Q/'，則由+2。2+3a3+?+nan=___.

答案2a

解析由題意可知，=X20?q/=劭+即/+劭產(chǎn)+的/+。4/?+。?！?，

23n-1

兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得2e2x=%+2a2x+3a3x+4a4x?4-HG71x>

2

令％=1得，Qi+2a2+3。3-？+nan=2e.

【b組一提高題】

1.已知函數(shù)f(x)=sm?f,廣⑶為/(X)的導(dǎo)函數(shù)，piij/(-2023)+f(-2023)+/(2023)-

乙"T-+LU?S：?人史

/(2023)=.

答案1

解析/(%)=光學(xué)物二=粵上+；,其定義域?yàn)榉擦頶(x)=［乎及，

72+COSX4+2COSX2八，4+2COSX

..。(_幻=、sin(r)+2(r)=x+2x=_()

小31)4+2COS(-X)4+2COSX以，

即函數(shù)g(x)是R上的奇函數(shù)

fM=g(x)+土

因此/(-%)+fM=g(-％)+1+gW+1=1,7'(一2023)+f(2023)=1

由g(r)=_g(x)兩邊求導(dǎo)得：-g'(r)=-grW,即g，(r)=g'(x)

而f'(x)="(％)，

08/10

于是得f'(x)-/''(一%)=g'(x)-，(—乃=0,/X-2023)-r(2023)=0

所以/■(-2023)+((一2023)+/(2023)-r(2023)=1.

2.(多選)已知函數(shù)f(x),ga)的定義域?yàn)镽,g'Q)為g(x)的導(dǎo)函數(shù)，且/(%)+"(%)-5=0,f(x)-

g,(4-x)-5=0,若g(x)為偶函數(shù)，則()

A./(4)=5B.g(2)=0C./(-I)=f(-3)D./(I)+/(3)=10

答案AD

解析g(x)是偶函數(shù)，則g(-x)=g(x)，兩邊求導(dǎo)得一g'(-x)=g'(x)，

所以g'Q)是奇函數(shù)，

由/(x)+g\x)-5=0,/(x)-gf(4-%)-5=0,得/(?-5=-/(%)=g(4-x),

即“(一乃=9，(-%+4),所以9口)是周期函數(shù)，且周期為4,g，(0)=9，(4)=0,

在/(無(wú))+g'(x)-5=0,/(x)--(4一%)-5=0中

令％=4得/'(4)+g<4)-5=0,/(4)=5,A正確，

沒(méi)法求得g(2)的值，8錯(cuò)，

令x=-1得，/(-I)-g'(5)-5=0,^z(5)=g，⑴=

則/(一1)+。'(-1)-5=0,無(wú)法求得八-1),

同理令》=一3得，/-3)+“(-3)-5=0,/(-3)=式1)=_g'(T),

因此/(-3)-^(-1)-5=0,相加得/(-1)+/(-3)=10,

只有在1)=0時(shí),有/(-1)=/(一3),但/(一1)不一定為0,因此C錯(cuò),

在/(幻+趴x)-5=0中令%=1得，/(I)+g(l)-5=0,

在/'CO-"(4一%)-5=0中令x=3得，/(3)-g(l)-5=0，

兩式相加得/'(1)+/(3)-10=0,即/?(1)+/(3)=10,D正確，

故選/D.

【C組…拓展題】

1.(多選)設(shè)定義在R卜的函數(shù)f(x)與g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為尸(幻和火力若fa+2)—g(l—幻=2,/(切=

g'(%+l),且g(x+l)為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法中一定正確的是()

A.g(l)=0B.函數(shù)“(x)的圖象關(guān)于％=2對(duì)稱

C.￡瞥?g?=oD.震號(hào)?/(k)g(k)=0

答案AD

解析因?yàn)間(x+l)為奇函數(shù)，所以g(x+l)=—g(—x+l),?。?0可得g(l)=0,A對(duì)，

囚為/