依但代熬司敦徹答案

第一部分選擇題（共28分）

單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出O四個選項中只有一個是

符合題目要求請將其代碼填在題后內(nèi)括號內(nèi)。錯選或天選均無分。

I.設(shè)行列式=m,=n,則行列式等于（）

.A.m+nB.-（m+n）

.C.n-mD.m-n

2.設(shè)矩陣人=,則A-1等于（）

.A.B.

.C.D.

3.設(shè)矩陣人=,A*是AG伴隨矩陣，則A*中位于（1,2）G元素是（）

.A.-6B.6

.C.2D.-2

4.設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式AB=AC,則必有（）

,A..=0B.BC時A=0

.C.A0時B=CD.|A|0時B=C

5.已知3X4矩陣AO行向量組線性無關(guān)，則秩（AT）等于（）

.A.lB.2

.C.3D.4

6.設(shè)兩個向量組＜】1,“2,…，Qs和81,62,…，Bs均線性相關(guān)，則()

A.有不全為0G數(shù)入I,12,…，入s使01a1+X2a2+…+入sas=0和人【B1+入2B2+…入$

Bs=0

B.有不全為0G數(shù)入1,12,…，入s使入1(ai+Pl)+X2(a2+P2)+?,?+入s(as+3s)

=0

C.有不全為0數(shù)41,入2,…,As使入I(a1-BI)+入2(a2-B2)+…+入s(as-3s)

=0

D.有不全為0G數(shù)入1,）.2,…，入s和不全為OO數(shù)Ul,口2,…，us使人1a1+入2a2+…+

Xsas=0和u181+u2B2+…+usBs=0

7.設(shè)矩陣A（D秩為r,則人中（）

A.所有r-1階子式都不為0B.所有r-1價子式全為0

C.至少有一個??階子式不等于0D.所有r階于式都不為0

8.設(shè)Ax=b是一非齊次線性方程組，n1,n2是其任意2個解，則下列結(jié)論錯誤G是（）

A.ni+n2是Ax=o一個解n1+7是Ax=b（D一個解

22

仁山?。2是人*=0。＞一個解D.2nrn2^Ax=bG一個解

9.設(shè)n階方陣A不可逆，則必有（）

A.秩（A）vnB.秩（A）=n-I

C.A=0D.方程組Ax=0只有零解

10.設(shè)A是一個n（23）階方陣，下列陳述中正確G是（）

A.如存在數(shù)人和向量a使Aa二八a,則a是AG屬于特征值入O特征向量

B.如存在數(shù)人和非零向量a,使（入E-A）a=0,則入是AO特征侑

C.A02個不同O特征值可以有同一個特征向量

D.如入1,X2,入3是AO3個互不相同內(nèi)特征值，a1,a2,a3依次是ACD屬于入1,入2,

入3G特征向量，則al,a2,a3有可能線性相關(guān)

11.設(shè)入0是矩陣ACD特征方程G3重根，AO屬于X0O線性無關(guān)O特征向量內(nèi)個數(shù)為k,則必

有（）

.A.kW3B.k<3

.C.k=3D.k>3

12.設(shè)A是正交矩陣，則下列結(jié)論錯誤O是()

AJA/必為1B.|A|必為1

C.A-'=ATD.AG行(列)向量組是正交單位向量組

13.設(shè)A是實對稱矩陣,C是實可逆矩陣,B=CTAC.則()

A.A與B相似

.B.A與B不等價

.C.A與B有相同G特征值

.D.A與B合同

14.下列矩陣中是正定矩陣G為(

I1、

D.120

J02;

第二部分非選擇題(共72分)

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)不寫解答過程、將正確答案寫在每小

題內(nèi)空格內(nèi)。錯填或不填均無分。

1I1

15.356=.

92536

16.設(shè)A=,B=.則A+2B=

17.設(shè)A=(aij)3X3,|A|=2,Aij表示|A|中元素aijG代數(shù)余子式(i.j=1,2.3),則

(allA21+al2A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2:

18.設(shè)向量(2,-3,5)與向量(-4,6,a)線性相關(guān)，則a=

19.設(shè)A是3X4矩陣，其秩為3,若nl,n2為非齊次線性方程組Ax=bCD2個不同G解，則它

O通解為

20.設(shè)A是mXn矩陣,AO秩為r(<n),則齊次線性方程組Ax=00一個基礎(chǔ)解系中含有解。個數(shù)

為

21.設(shè)向量a、BO長度依次為2和3,則向量a+B與a-6②內(nèi)積(a+B,a-B)=.

22.設(shè)3階矩陣AG行列式|A|=8,己知A有2個特征值-1和4,則另一特征值為

23.設(shè)矩陣A=，已知a=是它CD一個特征向量，則a所對應O特征值為

24.設(shè)實二次型C(xl,x2,x3,x4,x5通秩為4,正慣性指數(shù)為3.則其規(guī)范形為

三、計算題(本大題共7小題.每小題6分，共42分)

25.設(shè)A=,B=.求(1)ABT；(2)|4A|.

31-12

26.試計算行列式::]

2I)1—1

1-53-3

27.設(shè)矩陣A=,求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.

28.給定向量組a］二,a2=,a3=,a4=.

試判斷a4是否為al,a2,a3G線性組合；若是，則求已組合系數(shù)。

-2-102、

-2426-6

29.設(shè)矩陣A=

2-1023

<33334,

求：(1)秩(A)；

(2)AG列向量組④一個最大線性無關(guān)組

30.設(shè)矩陣A二G全部特征值為1,1和-8.求正交矩陣T和對角矩陣D,使T-1AT=D.

31.試用配方法化下列二次型為標準形

并寫出所向排滿秩線‘性變換。

四、證明題

32.設(shè)方陣A滿足A3=0,試證明E-A可逆，且(E-A)-1=E+A+A2.

33.設(shè)n()是非齊次線性方程組Ax二bCD一個特解，81,82是其導出組Ax=()(D一個基砒解系.

試證明

(1)q1=n0+€1,。2=：0+&2均是A乂=1)0解；

(2)no,n1,n2線性無關(guān)。

答案：

一、單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）

I.D2.B3.B4.D5.C

6.D7.C8.A9.A10.B

11.A12.B13.DI4.C

二、填空題(本大題共10空，每空2分，共20分)

15.6

16.

17.4

18.-1()

19.n1+C(n2-n1)n2+c(n2-n1)),c為任意常數(shù)

2O.n-r

21.-5

22.-2

23.1

24.

三、計算題（本大題共7小題,每小題6分,共42分）

’120Y2-2、

25.解(1)ABT=34034

1-12-10>

6、

=1810

<310>

(2)|4A|=43|A|=64|A|,而

12o

340

-121

所以14Al=64?(-2)=-128

3-1251-11

-5I3-4-11I3-1

26.解

201-10010

1-53-3-5-530

511

-11-1

-50

51

2

=-620=30+10=40.

-5

-5-5（）

27.解AB=A+2B即(A-2E)B=A,而

f223、-3、

(A-2E)-1=1-10-3

-12\)4,

，1-4-3Y423、

所以B=(A-2E)-,A=1-5-3110

<-164A-123,

‘3-8-6、

=2-9-6.

<-2129,

'-2130、‘0-53-2、

1-30-11-30-1

28.解一

02240112

<34-I9>、。13-112?

1035、1035、

01120112

00880011

k00-14-14y10000；

U002、

0101

0011

<0000,

所以Q4=2a1+a2+a3,組合系數(shù)為(2,1,1).

解二考慮a4=xla1+x2a2+x3a3,

-2x|+x2+3x3=0

x?—3x2=-1

即

2X2+2X3=4

3X|+4X2-X3=9.

方程組有唯一解（2,I,1）T,組合系數(shù)為（2,1,1）.

29.解對矩陣A施行初等行變換

p-2-102)

0006-2

->

0328-2

10963-2；

<1-2-102'[1-2-102、

0328-30328-3

J

0006-20003-1

k000-217,lo0000>

⑴秩（B）=3,所以秩(A)=秩(B)=3.

（2）由于A與BG列向量組有相同O線性關(guān)系，而B是階梯形,BO第1.2、4列是B②列向量

組內(nèi)一個最大線性無關(guān)組，故A②第1.2、4列是AG列向量組一個最大線性無關(guān)組。

（AO笫1、2、5列或1、3、4歹U,或1、3、5列也是〉

30.解AG屬于特征值入=102個線性無關(guān)G特征向量為

C1=（2,-1,0）T,€2=（2,0,1）T.

經(jīng)正交標準化，得ni=,n2=.

x=-8②一個特征向量為

C3=,經(jīng)單位化得n3=

’2石/52V15/151/3、

所求正交矩陣為T=-45/5475/152/3

、0V5/3-2/3,

’100、

對角矩陣D=010.

、00-8

’2石/