【第7講：用空間向量研究夾角問(wèn)題】【知識(shí)梳理】一、預(yù)備知識(shí)：空間向量的核心基礎(chǔ)（一）空間向量的坐標(biāo)表示1.空間直角坐標(biāo)系建立：通常以幾何體的公共頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)中心或線面交點(diǎn)為原點(diǎn)，以垂直的棱、對(duì)稱(chēng)軸或垂線為x、y、z軸，建立右手直角坐標(biāo)系（右手四指從x軸繞向y軸，拇指指向z軸）。3.特殊向量：?jiǎn)挝幌蛄浚?的向量）、方向向量（平行于直線的非零向量）、法向量（垂直于平面的非零向量）。其中，平面法向量可通過(guò)平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的叉積求解。（二）空間向量的關(guān)鍵運(yùn)算二、空間三種夾角的向量求法（一）異面直線所成的角3.易錯(cuò)點(diǎn)：需取數(shù)量積的絕對(duì)值，確保結(jié)果為銳角或直角。（二）直線與平面所成的角（三）平面與平面所成的角（二面角）2.向量求法：設(shè)兩個(gè)平面的法向量分別為、，則：3.難點(diǎn)突破：法向量的方向不唯一，需通過(guò)觀察幾何體或取特殊點(diǎn)驗(yàn)證二面角的銳角/鈍角屬性。三、通用解題步驟與核心技巧（一）標(biāo)準(zhǔn)化解題流程1.建系：根據(jù)幾何體特征建立合適的空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)注關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)。3.用公式：根據(jù)夾角類(lèi)型代入對(duì)應(yīng)向量公式計(jì)算余弦值或正弦值。4.定結(jié)果：結(jié)合夾角范圍及幾何體實(shí)際形態(tài)，確定夾角的具體值（或三角函數(shù)值）。（二）高頻易錯(cuò)點(diǎn)警示1.建系錯(cuò)誤：軸的垂直性不滿足（如未以垂線為軸），導(dǎo)致坐標(biāo)計(jì)算出錯(cuò)。2.法向量求解失誤：方程組消元錯(cuò)誤，或未取非零解。4.二面角符號(hào)判斷偏差：僅憑法向量夾角定符號(hào)，未結(jié)合圖形驗(yàn)證，導(dǎo)致鈍角與銳角顛倒。（三）優(yōu)化技巧1.特殊點(diǎn)優(yōu)先：盡量以原點(diǎn)、中點(diǎn)、垂足為坐標(biāo)原點(diǎn)，簡(jiǎn)化向量坐標(biāo)計(jì)算。3.幾何直觀輔助：復(fù)雜幾何體可通過(guò)畫(huà)草圖，輔助判斷二面角開(kāi)合方向、直線與平面的位置關(guān)系題型題型分類(lèi)知識(shí)講解與常考題型【考點(diǎn)一：求異面直線的夾角】A． B． C． D．【答案】C【詳解】故選：C.【答案】【分析】根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)向量夾角的余弦公式求出最大值即可.故答案為：.A． B． C． D．【答案】A【分析】以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，用異面直線所成角的向量法求解公式計(jì)算.【詳解】以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，故選：A.

【答案】

故點(diǎn)在線段PQ上，且不與P，Q重合．故答案為：.【答案】即異面直線與所成角的余弦值為，故答案為：【解題策略】步驟1：建立合適的空間直角坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系是向量法解題的基礎(chǔ)，核心原則是簡(jiǎn)化坐標(biāo)計(jì)算，通常按以下思路操作：1.選原點(diǎn)：優(yōu)先選擇幾何體的公共頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)中心、線面交點(diǎn)或垂足作為坐標(biāo)原點(diǎn)（如正方體的頂點(diǎn)、長(zhǎng)方體的對(duì)稱(chēng)中心、棱錐的頂點(diǎn)等）。2.定軸方向：以垂直的棱、對(duì)稱(chēng)軸、垂線或平行線為x、y、z軸，確保滿足右手直角坐標(biāo)系（右手四指從x軸繞向y軸，拇指指向z軸）。步驟2：求兩條異面直線的方向向量方向向量是描述直線走向的非零向量，求解方法為：1.確定直線上兩點(diǎn)：在每條異面直線上各取兩個(gè)不同的點(diǎn)（可直接選用步驟1中標(biāo)注的關(guān)鍵端點(diǎn)）。*注：方向向量不唯一，同一直線的方向向量可相差非零常數(shù)倍，不影響最終夾角計(jì)算結(jié)果。*步驟3：代入異面直線夾角公式計(jì)算余弦值其中：*關(guān)鍵提醒：因異面直線所成角是“銳角或直角”，需取向量夾角余弦值的絕對(duì)值，避免出現(xiàn)鈍角結(jié)果。*步驟4：確定異面直線的夾角核心易錯(cuò)點(diǎn)提醒1.建系錯(cuò)誤：軸的垂直性不滿足（如誤將不垂直的棱作為x、y軸），導(dǎo)致坐標(biāo)和方向向量計(jì)算全錯(cuò)；2.漏取絕對(duì)值：忘記公式中的絕對(duì)值符號(hào)，得到鈍角結(jié)果，與異面直線夾角范圍矛盾；【考點(diǎn)二：求直線與平面的夾角】【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).P(0,0,a2則sinθ=|

【答案】(1)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）如圖①，連接BO并延長(zhǎng)交AC于D．

設(shè)直線AB與平面EAC所成的角為θ，【答案】(1)證明見(jiàn)詳解【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的判定定理證明；（2）利用空間向量的夾角公式求解.【詳解】（1）連接，，【答案】(1)見(jiàn)詳細(xì)解析(2)因此可以建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，以A為原點(diǎn)，分別以AB，AD，AF所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CE與平面BFM所成角為，根據(jù)直線與平面所成角的向量公式，【答案】(1)證明見(jiàn)解析故為外接球直徑，則球心O為PB的中點(diǎn)，【解題策略】步驟1：建立空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系的建立直接影響計(jì)算效率，需遵循“垂直、對(duì)稱(chēng)、簡(jiǎn)化”原則：1.選原點(diǎn)：優(yōu)先選擇幾何體的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)中心、線面垂足或棱的中點(diǎn)（如正方體的頂點(diǎn)、長(zhǎng)方體的底面中心、棱錐的頂點(diǎn)等）。2.定坐標(biāo)軸：以互相垂直的棱、對(duì)稱(chēng)軸或垂線為x、y、z軸，嚴(yán)格滿足右手直角坐標(biāo)系（右手四指從x軸繞向y軸，拇指指向z軸）。步驟2：求兩個(gè)關(guān)鍵向量直線與平面的夾角計(jì)算需用到直線的方向向量和平面的法向量，二者的求解是核心環(huán)節(jié)。2.1求直線的方向向量方向向量描述直線的走向，求解方法為：*注：同一直線的方向向量不唯一，可相差非零常數(shù)倍，不影響最終結(jié)果。*2.2求平面的法向量法向量是垂直于平面的非零向量（記為），求解步驟為：3.賦值確定法向量：方程組有無(wú)數(shù)解，可對(duì)其中一個(gè)未知數(shù)（如或或）賦非零特殊值（如1、1），代入求出另外兩個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)具體的法向量。步驟3：代入直線與平面夾角公式計(jì)算正弦值因此，夾角公式為：其中：步驟4：確定直線與平面的夾角核心易錯(cuò)點(diǎn)提醒2.法向量求解錯(cuò)誤：平面內(nèi)向量取共線向量，導(dǎo)致方程組無(wú)解；或賦值時(shí)計(jì)算失誤，得到錯(cuò)誤法向量；4.建系不垂直：坐標(biāo)軸不滿足兩兩垂直，導(dǎo)致后續(xù)所有向量坐標(biāo)和運(yùn)算全錯(cuò)?！究键c(diǎn)三：求二面角平面與平面的夾角】【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【答案】(1)證明見(jiàn)解析∴A'則DE=3∴tanθ=A′D=(1)求圓錐的體積；(2)（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【解題策略】步驟1：建立空間直角坐標(biāo)系遵循“垂直、對(duì)稱(chēng)、簡(jiǎn)化計(jì)算”原則，確保坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系（右手四指從x軸繞向y軸，拇指指向z軸），具體操作：1.選原點(diǎn)：優(yōu)先選擇幾何體的頂點(diǎn)、棱的中點(diǎn)、線面垂足或?qū)ΨQ(chēng)中心（如正方體的頂點(diǎn)、棱錐的底面中心等）。2.定坐標(biāo)軸：以互相垂直的棱、對(duì)稱(chēng)軸或垂線為x、y、z軸（例如，底面為直角三角形時(shí)，可將直角頂點(diǎn)作為原點(diǎn)，兩條直角邊為x、y軸）。步驟2：求兩個(gè)平面的法向量法向量是垂直于平面的非零向量，設(shè)兩個(gè)平面分別為和，對(duì)應(yīng)的法向量為（平面的法向量）和（平面的法向量），求解方法完全相同，具體步驟為：步驟3：計(jì)算兩個(gè)法向量的夾角余弦值法向量夾角的余弦值公式為：其中：步驟4：判斷二面角的實(shí)際大?。ê诵年P(guān)鍵）方法1：幾何直觀判斷法觀察幾何體中兩個(gè)平面的“開(kāi)合方向”：方法2：輔助向量驗(yàn)證法步驟5：確定二面角的最終結(jié)果根據(jù)步驟3的余弦值和步驟4的判斷，確定二面角的大?。汉诵囊族e(cuò)點(diǎn)提醒1.法向量方向判斷錯(cuò)誤：未驗(yàn)證法向量指向，直接將法向量夾角當(dāng)作二面角，導(dǎo)致結(jié)果為補(bǔ)角；2.計(jì)算失誤：數(shù)量積或模長(zhǎng)計(jì)算錯(cuò)誤（尤其是符號(hào)錯(cuò)誤），影響余弦值結(jié)果；3.建系不規(guī)范：坐標(biāo)軸不滿足兩兩垂直，導(dǎo)致所有向量坐標(biāo)錯(cuò)誤；【考點(diǎn)四：探索性問(wèn)題】

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；【分析】（1）設(shè)線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，利用線面垂直的判定、性質(zhì)，面面垂直的判定推理得證.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)（2）以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則cosθ=所以x?1,y,z?1=λ?1,1,0，所以H1?λ,λ,1所以點(diǎn)的坐標(biāo)為14,34

(2)6【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)得到，，兩兩垂直，從而結(jié)合題意即可建立空間直角坐標(biāo)系，再求出的長(zhǎng)度，進(jìn)而即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；所以，，兩兩垂直．

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由線面平行的判定定理證明，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求解，(1)求異面直線與所成角；【答案】(1)【詳解】（1）如圖，在圖1中，連接，交于點(diǎn)，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：設(shè)異面直線與所成角為，【解題策略】1.建立空間直角坐標(biāo)系遵循“簡(jiǎn)化計(jì)算”原則選取原點(diǎn)和坐標(biāo)軸： 原點(diǎn)選擇：優(yōu)先選幾何體的頂點(diǎn)、中點(diǎn)、線面垂直的垂足，或?qū)ΨQ(chēng)中心（如正方體的頂點(diǎn)、棱錐的底面中心）。 軸的確定：以?xún)蓛纱怪钡睦?、線面垂直的直線或?qū)ΨQ(chēng)軸為x、y、z軸（例如，以柱體的側(cè)棱為z軸，底面內(nèi)互相垂直的兩條邊為x、y軸），確保坐標(biāo)軸兩兩垂直且盡可能多的頂點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上。2.參數(shù)化待探索對(duì)象根據(jù)探索目標(biāo)（如“是否存在某點(diǎn)”“某線段長(zhǎng)度為多少”）設(shè)參數(shù)，將未知量轉(zhuǎn)化為代數(shù)符號(hào)： 探索線段長(zhǎng)度：若線段CD的長(zhǎng)度為t，根據(jù)其與已知線面的位置關(guān)系（如平行、垂直），用t表示C、D的坐標(biāo)。3.寫(xiě)出已知點(diǎn)的坐標(biāo)根據(jù)幾何體的棱長(zhǎng)、角度等已知條件，計(jì)算并列出所有關(guān)鍵頂點(diǎn)（如棱的端點(diǎn)、面的頂點(diǎn)）的坐標(biāo)，為后續(xù)向量計(jì)算做準(zhǔn)備。二、向量量化：計(jì)算核心向量與匹配夾角公式這一步是連接“坐標(biāo)”與“夾角”的橋梁，通過(guò)方向向量、法向量量化線、面，再用向量公式表達(dá)夾角的三角函數(shù)值。1.計(jì)算關(guān)鍵向量根據(jù)夾角類(lèi)型，需準(zhǔn)備兩類(lèi)核心向量：2.按夾角類(lèi)型套用向量公式三、方程求解：建立方程并解參數(shù)這一步是“代數(shù)運(yùn)算”的核心，通過(guò)題目給出的夾角條件，建立含參數(shù)的方程并求解。1.代入條件列方程將題目中“夾角為α”“夾角的正弦值為k”等已知條件代入上述對(duì)應(yīng)公式，得到只含所設(shè)參數(shù)（如λ、a、b、c、t）的代數(shù)方程。2.求解參數(shù)通過(guò)代數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)方程，求解參數(shù)的所有可能值： 若為一次方程，直接求解； 若為二次方程，求出所有實(shí)數(shù)根； 若含多個(gè)參數(shù)（如方向向量的a、b、c），通過(guò)比例關(guān)系消參后求解。課后針對(duì)訓(xùn)練課后針對(duì)訓(xùn)練一、單選題A． B． C． D．二、多選題三、填空題四、解答題(1)求點(diǎn)到直線的距離；(2)求異面直線與所成角的余弦值．(2)求直線與平面所成角的正弦值；(2)當(dāng)點(diǎn)Q為棱的中點(diǎn)時(shí)，求參考答案題號(hào)1234答案BABCDABD1．B【詳解】依題意，，，兩兩互相垂直，以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.故選：B2．A故選：A3．BCD故選：BCD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間線段和最小值問(wèn)題，常常利用對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)化兩點(diǎn)間的距離線段求解，在立體圖形中如果垂直關(guān)系較多（如正方體，長(zhǎng)方體等）可以建立空間直角坐標(biāo)系，用向量研究垂直與平行．4．ABD對(duì)于C選項(xiàng)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間幾何體體積的方法如下：若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用線線角的向量求法求解.（2）求出直線與的方向向量，利用空間向量法計(jì)算可得.7．(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)不存在，理由見(jiàn)解析；（2）利用空間向量，求出平面法向量以及直線的方向向量，根據(jù)線面角與空間向量之間的關(guān)系即可求得結(jié)果；利用向量法能求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出的長(zhǎng)度．【詳解】（1）在圖1連接交于點(diǎn)，直線與平面所成角的正弦值為，8．(1)證明見(jiàn)詳解(2)存在，點(diǎn)為靠近的三等分點(diǎn)【分析】（1）臺(tái)補(bǔ)錐，根據(jù)棱臺(tái)的幾何性質(zhì)，結(jié)合勾股定理的逆定理、線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）延長(zhǎng)三條側(cè)棱交于一點(diǎn)，9．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析（3）過(guò)點(diǎn)作圓柱的母線，以為原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空