專題4.1函數(shù)（舉一反三講義） 【北師大版2024】TOC\o"13"\h\u【題型1常量與變量】 2【題型2列表法表示函數(shù)關(guān)系】 3【題型3解析法表示函數(shù)關(guān)系】 4【題型4求解析式中自變量的取值范圍】 4【題型5求函數(shù)值或自變量的值】 5【題型6求實(shí)際問題中的自變量取值范圍】 5【題型7圖象法表示函數(shù)關(guān)系】 6【題型8根據(jù)情境確定函數(shù)的圖象】 8【題型9根據(jù)函數(shù)的圖象獲取信息】 9知識點(diǎn)1常量和變量1.在某一變化過程中，數(shù)值保持不變的量叫做常量，可以取不同數(shù)值的量叫做變量．2.變量和常量往往是相對的，對不同的研究過程，其中的變量和常量是不同的，變量和常量是可以相互轉(zhuǎn)換的．知識點(diǎn)2函數(shù)的定義1.函數(shù)的定義：一般地，在一個(gè)變化過程中的兩個(gè)變量x和y，如果對于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么我們稱y是x的函數(shù)，x是自變量．2.對函數(shù)的理解應(yīng)抓住以下四點(diǎn)（1）有兩個(gè)變量；（2）一個(gè)變量變化，另一個(gè)變量也隨之變化；（3）對于自變量x的每一個(gè)值，函數(shù)y僅有一個(gè)值與之對應(yīng)；（4）函數(shù)不是數(shù)，它是指在一個(gè)變化過程中兩個(gè)變量之間的關(guān)系．知識點(diǎn)3函數(shù)的三種表示法函數(shù)的表示方法有三種，分別是表達(dá)式法、列表法、圖象法．有的函數(shù)用以上三種方法都能表示，有的函數(shù)只能用其中的一種或兩種方法表示．表示方法優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)表達(dá)式法準(zhǔn)確地反映出兩個(gè)變量之間的數(shù)量關(guān)系有的函數(shù)不能用表達(dá)式法表示列表法能直接找出自變量與對應(yīng)的函數(shù)值寫出的對應(yīng)值有限，不能直接看出兩個(gè)變量之間的對應(yīng)規(guī)律圖象法直觀、形象地表示出變量之間的關(guān)系，便于直觀地研究函數(shù)的性質(zhì)所畫出的圖象是近似的、局部的；由圖象確定的函數(shù)值往往不夠準(zhǔn)確知識點(diǎn)4確定自變量的取值范圍使得函數(shù)有意義的自變量的取值的全體叫做自變量的取值范圍．類型特征取值范圍整式型等式右邊是整式全體實(shí)數(shù)分式型等式右邊分母含有自變量使分母不為0的實(shí)數(shù)知識點(diǎn)5函數(shù)值對于一個(gè)函數(shù)，當(dāng)自變量x=a時(shí)，可以求出與它對應(yīng)的y的值，我們就說這個(gè)值是當(dāng)x【題型1常量與變量】【例1】（2425八年級下·江西贛州·階段練習(xí)）某智能音箱正在加載語音數(shù)據(jù)庫，加載速率為每秒5MB，已加載了15MB．設(shè)繼續(xù)加載的時(shí)長為t秒，總加載量為aMB．下列判斷正確的是（

）A．t和a是常量，5和15是變量 B．5和t是常量，15和a是變量C．15和a是常量，5和t是變量 D．5和15是常量，t和a是變量【變式11】（2425六年級下·山東淄博·期末）如圖是某加油站所用的加油機(jī)加油過程中某一時(shí)刻顯示的數(shù)據(jù)，則其中的常量是（

）A．金額 B．?dāng)?shù)量 C．單價(jià) D．金額和單價(jià)【變式12】（2425七年級上·山東濰坊·期末）小亮去超市買生鮮，電子秤的數(shù)據(jù)顯示屏顯示重量、單價(jià)、金額三個(gè)量，則這三個(gè)量中的變量是．【變式13】（2425七年級下·廣東清遠(yuǎn)·期末）某居民小區(qū)電費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為0.6元/千瓦時(shí)，收取的電費(fèi)y（元）和所用電量x（千瓦時(shí)）之間的關(guān)系式為y=0.6x，則下列說法正確的是（）A．x是自變量，0.6是函數(shù) B．0.6是自變量，x是函數(shù)C．x是自變量，y是函數(shù) D．y是自變量，x是函數(shù)【題型2列表法表示函數(shù)關(guān)系】【例2】（2425七年級下·廣東深圳·期末）小圳從A地出發(fā)，勻速向B地步行．小圳與B地的距離y（米）與步行時(shí)間x（分鐘）的關(guān)系如下表：x（分鐘）0123y（米）960880800720由表格中y與x關(guān)系可知，當(dāng)步行分鐘后，小圳走完全程的一半．【變式21】（2425七年級下·河南鄭州·期末）心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對概念的接受能力y與提出概念所用的時(shí)間x（單位：分鐘）之間有如下關(guān)系：時(shí)間x/分鐘257101213141720接受能力y47.853.556.35959.859.959.858.355根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，你認(rèn)為提出概念所用的時(shí)間為分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)．【變式22】（2425七年級下·廣東深圳·期末）某實(shí)驗(yàn)室記錄某液體在冷卻過程中溫度隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)如下表：冷卻時(shí)間（分鐘）012345…液體溫度°1008065555048…下列說法錯誤的是（

）A．冷卻時(shí)間是自變量，液體溫度是函數(shù) B．0～2分鐘，溫度平均每分鐘下降15°C．3～5分鐘，溫度下降速度逐漸減慢 D．第6分鐘時(shí)，溫度可能為47°【變式23】（2425七年級下·全國·假期作業(yè)）下表是學(xué)校氣象興趣小組記錄某天一晝夜溫度變化的數(shù)據(jù)．時(shí)間/時(shí)024681012141618202224溫度/℃?2?3?40479108.573.51?2(1)上表反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？哪個(gè)是自變量？哪個(gè)是函數(shù)？(2)早晨8時(shí)和中午12時(shí)的氣溫各是多少？(3)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，說說一晝夜中什么時(shí)候氣溫最低？什么時(shí)候氣溫最高？溫差是多少？(4)你能粗略說一說一晝夜內(nèi)氣溫隨時(shí)間變化的大概情況嗎？【題型3解析法表示函數(shù)關(guān)系】【例3】（2425八年級下·北京·期中）某學(xué)校舉辦“春風(fēng)拂面，書香浸潤校園——愛讀書，讀好書”的校園文化活動，倡議同學(xué)們每天堅(jiān)持閱讀．李明同學(xué)挑選了一本喜愛的書籍來閱讀，該書籍共270頁，李明同學(xué)每天閱讀此書籍30頁．如果設(shè)李明同學(xué)閱讀了此書籍x天后，該書籍剩余y頁，則函數(shù)y關(guān)于x的關(guān)系式是（不要求寫出自變量的取值范圍）．【變式31】（2425七年級下·廣東清遠(yuǎn)·期末）已知一個(gè)長方形的周長為68cm，相鄰兩邊分別為xcm，ycm，則y與x之間的關(guān)系式為【變式32】（2425七年級下·甘肅酒泉·期末）小穎準(zhǔn)備乘出租車到距家超過3km里程數(shù)/km收費(fèi)/元3km以內(nèi)（含38.003km以外每增加1.80則小穎應(yīng)付車費(fèi)y（元）與行駛里程數(shù)xkmx>3之間的關(guān)系式為【變式33】七年級16班學(xué)生準(zhǔn)備以班為單位購買一種興趣書，書店推出一種優(yōu)惠方案：若購買數(shù)量超過30本，則超出部分按單價(jià)的八折出售，16班同學(xué)購買單價(jià)為15元的興趣書x(x>30)本，則應(yīng)付款y與購買數(shù)量x的關(guān)系式為．【題型4求解析式中自變量的取值范圍】【例4】（2025八年級下·全國·專題練習(xí)）在函數(shù)y=5?x|x|?6中，自變量x的取值范圍是【變式41】（2425九年級下·安徽淮南·開學(xué)考試）函數(shù)y=4?2x中，自變量x的取值范圍是【變式42】（2425八年級下·河南新鄉(xiāng)·期末）函數(shù)y=2x?2中自變量x的整數(shù)值可以是【變式43】2025九年級下·湖北·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)y=x?3+x+2?m的自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，則【題型5求函數(shù)值或自變量的值】【例5】（2425八年級下·江西上饒·階段練習(xí)）根據(jù)圖中的程序，當(dāng)輸入x=1時(shí)，輸出結(jié)果y=．【變式51】（2425八年級下·河北秦皇島·期中）變量x與y之間的函數(shù)關(guān)系是y=12x2?1【變式52】（2425八年級下·福建泉州·期中）在關(guān)系式y(tǒng)=?13x+2中，當(dāng)函數(shù)y=2A．?12 B．?4 C．0 D．12【變式53】（2025·湖北·模擬預(yù)測）聲音在空氣中傳播的速度yms與氣溫x（°C）之間的關(guān)系式為y=35x+321．當(dāng)x=30°【題型6求實(shí)際問題中的自變量取值范圍】【例6】拖拉機(jī)開始工作時(shí)，油箱中有油60L，每小時(shí)耗油5L．(1)寫出油箱中的余油量Q（L）與工作時(shí)間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)寫出自變量t的取值范圍；(3)拖拉機(jī)工作4小時(shí)后，油箱余油是多少?【變式61】（2025·陜西咸陽·二模）相框邊的寬窄影響可放入相片的大?。鐖D，相框長30厘米，寬20厘米．相框邊（陰影部分）的寬為x厘米，相框內(nèi)的空白部分周長是y厘米，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為．【變式62】A，B兩地相距500km，甲車從A地出發(fā)，以65km/h的速度勻速行駛到B地，設(shè)甲車與B的路程為ykm，行駛的時(shí)間為xh，求y【變式63】已知等腰三角形的周長為18，設(shè)腰長為x，底邊長為y．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)求自變量x的取值范圍．【題型7圖象法表示函數(shù)關(guān)系】【例7】（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，空容器可以從底部小孔勻速注水，直到注滿．在注水過程中，不考慮水量變化對壓力的影響，容器內(nèi)水面高度?隨時(shí)間t變化的大致圖象是（

）A． B．C． D．【變式71】（2425八年級下·北京東城·期末）以下四種情景分別描述了兩個(gè)變量之間的關(guān)系：①將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量與放水時(shí)間的關(guān)系．②在受力范圍內(nèi)，彈簧的長度與彈簧受到的拉力的關(guān)系．③汽車以某一固定的速度勻速行駛，行駛的路程與時(shí)間的關(guān)系．④周末，小亮從家到體育館，打了一段時(shí)間的籃球后，按原速度原路返回，小亮離家的距離與時(shí)間的關(guān)系．下面四個(gè)圖象分別刻畫了以上變量之間的關(guān)系，圖象對應(yīng)的情景的正確排序是()A．①②③④ B．①④③② C．①②④③ D．②④③①【變式72】如圖，一個(gè)30min沙漏計(jì)時(shí)器，相關(guān)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，沙漏中的沙下落的速度可以近似看成勻速，從計(jì)時(shí)器開始計(jì)時(shí)到計(jì)時(shí)30min為止，上面玻璃球內(nèi)的含沙量Q（單位：cm3）與時(shí)間t（單位：minA． B．C． D．【變式73】（2025·吉林長春·二模）如圖是某蓄水池橫截面的示意圖，現(xiàn)將滿池的水勻速全部放出.能刻畫蓄水池中水的高度?（米）與放水時(shí)間t（時(shí)）的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A． B．C． D．【題型8根據(jù)情境確定函數(shù)的圖象】【例8】（2025·河南鄭州·二模）小明某次從家出發(fā)去公園游玩的行程如圖所示，他離家的路程為s（m），所經(jīng)過的時(shí)間為t（min），下列選項(xiàng)中的圖象，能近似刻畫s與t之間的關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【變式81】清代詩人高鼎在《村居》中寫道：“兒童散學(xué)歸來早，忙趁東風(fēng)放紙鳶．”在兒童從學(xué)校放學(xué)回到家，再到田野這段時(shí)間內(nèi)，下列圖象中能大致刻畫兒童離家距離與時(shí)間關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【變式82】（2425八年級下·吉林長春·期末）端午假期，小林約琪琪開車出去游玩．小林從家出發(fā)后，加速行駛了一段時(shí)間后勻速行駛，到達(dá)琪琪家減速停車，琪琪上車后，小林又加速行駛了一段時(shí)間，再轉(zhuǎn)為勻速行駛．下列圖象能近似刻畫出在這段時(shí)間內(nèi)小林開車速度變化情況的是（）A． B．C． D．【變式83】（2425八年級下·四川涼山·期末）“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領(lǐng)先的兔子看著緩慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了一覺．當(dāng)它醒來時(shí)，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點(diǎn)了，于是急忙追趕，但為時(shí)已晚，烏龜還是先到達(dá)了終點(diǎn)．用s1，s2分別表示烏龜和兔子所行的路程，t表示時(shí)間，則下列圖象中與故事情節(jié)相吻合的是（A．B．C．D．【題型9根據(jù)函數(shù)的圖象獲取信息】【例9】（2425七年級下·山東濟(jì)寧·期末）“某市之約，跑者之說”．2025年4月6日某市馬拉松激情開跑，這也是某市首次舉辦全馬的賽事．為合理分配體能，運(yùn)動員通常會記錄每行進(jìn)1km所用的時(shí)間，即“配速”（單位：minkm）．某同學(xué)報(bào)名參加5km①前2km的平均速度大于最后2km的平均速度；②第2km和第3A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【變式91】（2425七年級下·河南周口·期末）（在彈簧彈性范圍內(nèi)）為了估計(jì)彈簧的長度與所掛物體的質(zhì)量之間的關(guān)系，同學(xué)們測量出彈簧懸掛不同質(zhì)量的砝碼時(shí)所對應(yīng)的長度，并用橫坐標(biāo)表示砝碼的質(zhì)量，縱坐標(biāo)表示彈簧的長度，在平面直角坐標(biāo)系中描出了若干散點(diǎn)，如圖所示．小明發(fā)現(xiàn)，這些散點(diǎn)大致落在一條呈上升趨勢的直線附近，他畫了一條經(jīng)過了最多散點(diǎn)的直線，來表示彈簧的長度與所掛物體的質(zhì)量之間的關(guān)系，根據(jù)小明所作的趨勢圖，下列說法錯誤的是（

）A．所掛物體的質(zhì)量越大，彈簧的長度越長B．物體的質(zhì)量每增加1kg，彈簧的長度增加約C．所掛物體的質(zhì)量5kg時(shí)，彈簧的長度約D．不掛物體時(shí)，彈簧長度約1【變式92】（2425七年級下·山西運(yùn)城·期末）綜合與實(shí)踐小明騎自行車上學(xué)，當(dāng)他騎了一段時(shí)間，想起要買某本書，于是又折回到剛經(jīng)過的書店．買到書后繼續(xù)去學(xué)校，以下是他本次所用的時(shí)間與離家距離的關(guān)系示意圖，根據(jù)圖中提供的信息回答下列問題：(1)小明家到學(xué)校的距離是__________米，小明在書店停留了__________分鐘．(2)本次上學(xué)途中，一共用了__________分