9.2.3總體集中趨勢(shì)的估計(jì)【課標(biāo)要求】1.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)).2.理解集中趨勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義．【導(dǎo)學(xué)】學(xué)習(xí)目標(biāo)一眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)師問(wèn)：初中我們已學(xué)過(guò)，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是刻畫(huà)“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫(huà)了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，那么什么是眾數(shù)、中位數(shù)呢？生答：例1在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加男子跳高的17名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?nèi)缦卤硭荆撼煽?jī)(單位：m)1.501.601.651.701.751.801.851.90人數(shù)23234111分別求這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)．總結(jié)：眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)；計(jì)算中位數(shù)時(shí)，可先將這組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，再根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)的總數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)而定；平均數(shù)一般是根據(jù)公式來(lái)計(jì)算．跟蹤訓(xùn)練1某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，則該小組成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是()A．85分、85分、85分B．87分、85分、86分C．87分、85分、85分D．87分、85分、90分學(xué)習(xí)目標(biāo)二總體集中趨勢(shì)的估計(jì)例2甲、乙、丙三家電子廠(chǎng)商在廣告中都聲稱(chēng)，他們的某型電子產(chǎn)品在正常情況下的待機(jī)時(shí)間都是12h，質(zhì)量檢測(cè)部門(mén)對(duì)這三家銷(xiāo)售產(chǎn)品的待機(jī)時(shí)間進(jìn)行了抽樣調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果(單位：h)如下：甲：8，9，9，9，9，11，13，16，17，19；乙：10，10，12，12，12，13，14，16，18，19；丙：8，8，8，10，11，13，17，19，20，20.(1)分別求出以上三組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)；(2)這三個(gè)廠(chǎng)商的推銷(xiāo)廣告分別利用了上述哪一種數(shù)據(jù)來(lái)表示待機(jī)時(shí)間？(3)如果你是顧客，宜選擇哪個(gè)廠(chǎng)商的產(chǎn)品？為什么？總結(jié)：(1)樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來(lái)表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計(jì)算，不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息，平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的影響也越大．(2)當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，其眾數(shù)往往更能反映問(wèn)題，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個(gè)別數(shù)據(jù)較大時(shí)，可用中位數(shù)描述其集中趨勢(shì)．跟蹤訓(xùn)練2某小區(qū)廣場(chǎng)上有甲、乙兩群市民正在進(jìn)行晨練，兩群市民的年齡(單位：歲)如下：甲群13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；乙群54，3，4，4，5，5，6，6，6，57.(1)甲群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量能較好地反映甲群市民的年齡特征？(2)乙群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量能較好地反映乙群市民的年齡特征？學(xué)習(xí)目標(biāo)三利用頻率分布直方圖估計(jì)總體的集中趨勢(shì)師問(wèn)：如何利用頻率分布直方圖來(lái)估計(jì)樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)呢？生答：例3某城市正在進(jìn)行創(chuàng)建文明城市的活動(dòng)，為了解居民對(duì)活動(dòng)的滿(mǎn)意程度，相關(guān)部門(mén)組織部分居民對(duì)本次活動(dòng)進(jìn)行打分(分?jǐn)?shù)為正整數(shù)，滿(mǎn)分100分)．現(xiàn)從所有有效數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為100的樣本，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)均在[40，100]，將樣本數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖．(1)求a的值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該城市居民打分的眾數(shù)、中位數(shù)(保留一位小數(shù))及平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)．總結(jié)：(1)眾數(shù)即為出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，所以它的頻率最大，在最高的小矩形中．中位數(shù)即為從小到大中間的數(shù)(或中間兩數(shù)的平均數(shù))．平均數(shù)約為每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形面積的乘積之和．(2)用頻率分布直方圖求得的眾數(shù)、中位數(shù)不一定是樣本中的具體數(shù)．跟蹤訓(xùn)練3(多選)某社區(qū)通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得了100戶(hù)居民的月均用水量數(shù)據(jù)，并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，由該圖可以估計(jì)()A．平均數(shù)>中位數(shù)B．中位數(shù)>平均數(shù)C．中位數(shù)>眾數(shù)D．眾數(shù)>平均數(shù)【導(dǎo)練】1．下列四組數(shù)據(jù)中，中位數(shù)等于眾數(shù)的是()A．1，2，4，4，1，1，3B．1，2，4，3，4，4，2C．1，2，3，3，4，4，4D．1，2，3，4，2，2，32．對(duì)某個(gè)班級(jí)學(xué)生的平均身高進(jìn)行估算，這個(gè)班級(jí)有30位男生，20位女生，從男生中抽取5人，測(cè)得他們的平均身高為175cm，從女生中抽取3人，測(cè)得她們的平均身高為165cm，則這個(gè)班級(jí)的平均身高估計(jì)為()A．168.75cmB．169cmC．171cmD．171.25cm3．研究人員測(cè)量了某種藥物服用8小時(shí)后在人體血液中所占的百分比，并將所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖所示，據(jù)此可以估計(jì)，這種藥物服用8小時(shí)后在人體血液中所占百分比的中位數(shù)為()A．6B．5.5C．5.2D．6.54．若x1，x2，…，xn的平均數(shù)是10，則2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的平均數(shù)是________．【導(dǎo)思】為了解甲、乙兩種農(nóng)藥在某種綠植表面的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將100株同種綠植隨機(jī)分成A，B兩組，每組50株，其中A組綠植噴甲農(nóng)藥，B組綠植噴乙農(nóng)藥，每株綠植所噴的農(nóng)藥體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在綠植表面的百分比，根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如圖直方圖：記C為事件：“乙農(nóng)藥殘留在表面的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0.70.(1)求乙農(nóng)藥殘留百分比直方圖中a，b的值；(2)估計(jì)甲農(nóng)藥殘留百分比的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；(3)估計(jì)乙農(nóng)藥殘留百分比的中位數(shù)．(保留2位小數(shù))9．2.3總體集中趨勢(shì)的估計(jì)導(dǎo)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)一生答：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)稱(chēng)為眾數(shù)；中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，位于中間位置的數(shù)，如果中間位置有兩個(gè)，則為這兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)．例1解析：因?yàn)槌煽?jī)?yōu)?.75m的人數(shù)為4，最多，所以17名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)的眾數(shù)為1.75m；根據(jù)中位數(shù)的定義可知把17名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)從小到大排列，第9個(gè)運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?yōu)橹形粩?shù)，所以17名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)的中位數(shù)為1.70m；17名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)的平均數(shù)為：2×1.50+3×1.60+2×1.65+3×1.70+4×1.75+1.80+1.85+1.9017≈1.69m所以這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)為1.75m，中位數(shù)為1.70m，平均數(shù)約為1.69m．跟蹤訓(xùn)練1解析：由題意知，該學(xué)習(xí)小組共有10人，因此眾數(shù)和中位數(shù)都是85，平均數(shù)為100+95+2×90+4×答案：C學(xué)習(xí)目標(biāo)二例2解析：(1)根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式可知，甲廠(chǎng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8+9+9+9+9+11+13+16+17+1910乙廠(chǎng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是10+10+12+12+12+13+14+16+18+1910丙廠(chǎng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8+8+8+10+11+13+17+19+20+2010甲廠(chǎng)、乙廠(chǎng)、丙廠(chǎng)的眾數(shù)分別是9，12，8.甲廠(chǎng)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為9+112＝10，乙廠(chǎng)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為12+132＝12.5，丙廠(chǎng)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為(2)甲廠(chǎng)用平均數(shù)作為該電子產(chǎn)品的待機(jī)時(shí)間，乙廠(chǎng)用眾數(shù)作為該電子產(chǎn)品的待機(jī)時(shí)間，丙廠(chǎng)用中位數(shù)作為該電子產(chǎn)品的待機(jī)時(shí)間．(3)我會(huì)選乙廠(chǎng)的產(chǎn)品因?yàn)橐覐S(chǎng)產(chǎn)品的平均數(shù)最大，眾數(shù)最大，中位數(shù)最大，所以待機(jī)時(shí)間更長(zhǎng)些，穩(wěn)定性也較好．跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)甲群市民年齡的平均數(shù)為13+13+14+15+15+15+15+16+17+1710中位數(shù)為15歲，眾數(shù)為15歲，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)相等，因此它們都能較好地反映甲群市民的年齡特征．(2)乙群市民年齡的平均數(shù)為54+3+4+4+5+5+6+6+6+5710中位數(shù)為5.5歲，眾數(shù)為6歲．由于乙群市民大多數(shù)是兒童，所以中位數(shù)和眾數(shù)能較好地反映乙群市民的年齡特征，而平均數(shù)的可靠性較差．學(xué)習(xí)目標(biāo)三生答：在頻率分布直方圖中，樣本的平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形面積的乘積之和近似代替；中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)相等；而眾數(shù)為最高小矩形所在的區(qū)間中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．例3解析：(1)由頻率分布直方圖可知(0.004＋0.006＋a＋0.03＋0.024＋0.016)×10＝1，解得a＝0.02.(2)由頻率分布直方圖可知眾數(shù)為70+802由(0.004＋0.006＋0.02)×10＝0.3<0.5，(0.004＋0.006＋0.02＋0.03)×10＝0.6>0.5，所以中位數(shù)位于[70，80)之間，設(shè)中位數(shù)為x，則(0.004＋0.006＋0.02)×10＋(x－70)×0.03＝0.5，解得x＝2303≈平均數(shù)為0.04×45＋0.06×55＋0.2×65＋0.3×75＋0.24×85＋0.16×95＝76.2.跟蹤訓(xùn)練3解析：由題中直方圖在右邊“拖尾”知平均數(shù)大于中位數(shù)，故A正確；由題圖估計(jì)中位數(shù)接近7.2，眾數(shù)為5.7，所以中位數(shù)大于眾數(shù)，故C正確，故選AC.答案：AC導(dǎo)練1．解析：A選項(xiàng)，將數(shù)據(jù)由小到大排列為1，1，1，2，3，4，4，中位數(shù)與眾數(shù)分別為2和1；B選項(xiàng)，將數(shù)據(jù)由小到大排列為1，2，2，3，4，4，4，中位數(shù)與眾數(shù)分別為3和4；C選項(xiàng)，中位數(shù)與眾數(shù)分別為3和4；D選項(xiàng)，將數(shù)據(jù)由小到大排列為1，2，2，2，3，3，4，中位數(shù)與眾數(shù)分別為2和2.故選D.答案：D2．解析：設(shè)總體身高的平均值為x，男生在全部學(xué)生中所占的比例為3030+20＝35，女生在全部學(xué)生中所占的比例為2030+20＝25，所以x＝35×175＋25答案：C3．解析：依題意，0.15＋0.2＋2a＋0.2＋0.1＋0.05＝1，解得a＝0.15，則前三塊小矩形的面積分別為0.15，0.2，0.3，所以中位數(shù)位于組[5，7)內(nèi)，則所求中位數(shù)為5＋0.150.3×2＝6.故選A答案：A4．解析：答案：21導(dǎo)思解析：(1)C為事件：“乙農(nóng)藥殘留在表面的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0.70.則由頻率分布