課時(shí)分層作業(yè)四十六空間直角坐標(biāo)系、空間向量及其運(yùn)算一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2018·深圳模擬)已知三棱錐OABC,點(diǎn)M,N分別為AB,OC的中點(diǎn),且=a,=b,=c,用a,b,c表示,則等于 ()A.12(b+ca) B.12(a+b+C.12(ab+c) D.12(【解析】D.=D.=++=12(cab2.已知A(1,0,0),B(0,1,1),O為坐標(biāo)原點(diǎn),+λ與的夾角為120°,則λ的值為 ()A.±66 B.C.66 D.±【解析】選C.+λ=(1,λ,λ),cos120°=λ+λ1+2λ2·2=經(jīng)檢驗(yàn)λ=66不合題意,舍去,所以λ=6【誤區(qū)警示】這里夾角為120°,λ的值為負(fù),λ=66必須舍去3.(2018·長(zhǎng)沙模擬)已知a=(2,1,3),b=(1,4,2),c=(7,5,λ).若a,b,c三向量共面,則實(shí)數(shù)λ等于 ()A.627 B.637 C.607 【解析】選D.由題意設(shè)c=ta+μb=(2tμ,t+4μ,3t2μ),所以7=2t-4.在空間四邊形ABCD中,·+·+·的值為 ()A.0 B.1 C.2 【解析】選A.如圖,令=a,=b,=c,則·+·+·=·()+·()+·()=a·(cb)+b·(ac)+c·(ba)=a·ca·b+b·ab·c+c·bc·a=0.【一題多解】選A.如圖,在三棱錐ABCD中,不妨令其各棱長(zhǎng)都相等,則正四面體的對(duì)棱互相垂直.所以·=0,·=0,·=0.所以·+·+·=0.【變式備選】1.空間四邊形OABC中,邊長(zhǎng)AC=BC,OA=3,OB=1,則向量·的值為 ()A.4 B.-3 C.1 【解析】選A.取AB的中點(diǎn)D,連接CD,OD.則由AC=BC,得CD⊥AB,即有·=0,·=·(+)=·+·=·=()·12(+)=12()=12×(1232)=4.2.已知四邊形ABCD滿足:·>0,·>0,·>0,·>0,則該四邊形為 ()A.平行四邊形 B.梯形C.長(zhǎng)方形 D.空間四邊形【解析】選D.由·>0,·>0,·>0,·>0,知該四邊形一定不是平面圖形.5.已知線段AB,BD在平面α內(nèi),且AB⊥BD,線段CD⊥α,AB=3,BD=4,CD=5,則AC間的距離是 ()A.43 B.5 C.52 【解析】選C.++=,因?yàn)镃D⊥α,則CD⊥AB,CD⊥DB,且已知AB⊥BD,故=(++)2=+++2·+2·+2·=50,所以=52.【變式備選】已知二面角αlβ等于120°,A,B是棱l上兩點(diǎn),AC,BD分別在半平面α,β內(nèi),AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=BD=1,則CD的長(zhǎng)等于 ()A.2 B.3 C.2 D.5【解析】選C.依題意可知,二面角αlβ的大小等于與所成的角,因?yàn)?++,所以=+++2·+2·+2·,因?yàn)锳C⊥AB,BD⊥AB,AB=AC=BD=1,所以=1+1+1+2·=3+2·||cos<,>=3+2cos<,>.因?yàn)?lt;,>=120°,所以<,>=60°,因此=3+2×12=4,所以=2.二、填空題(每小題5分,共15分)6.二面角αlβ為60°,A,B是l上的兩點(diǎn),AC,BD分別在半平面α,β內(nèi),AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=a,BD=2a,則CD的長(zhǎng)為_(kāi)_______【解析】因?yàn)锳C⊥l,BD⊥l,所以<,>=60°,且·=0,·=0,所以=++,所以||==a=2a答案:27.已知ABCDA1B1C1D1為正方體①(++)2=3;②·()=0;③向量與向量的夾角是60°;④正方體ABCDA1B1C1D1|··|.其中正確命題的序號(hào)是________.

【解析】①中(++)2=++=3,故①正確;②中=,因?yàn)锳B1⊥A1C,故②正確;③中A1B與AD1兩異面直線所成角為60°,但與的夾角為120°,故③不正確;④中|··|=0,故④也不正確.答案:①②8.已知e1,e2是空間單位向量,e1·e2=12,若空間向量b滿足b·e1=2,b·e2=52,且對(duì)于任意x,y∈R,|b(xe1+ye2)|≥|b(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R),則x0=________,y0=________,|b|=【解析】問(wèn)題等價(jià)于|b(xe1+ye2)|當(dāng)且僅當(dāng)x=x0,y=y0時(shí)取到最小值1,左邊平方即|b|2+x2+y24x5y+xy,在x=x0,y=y0時(shí)取到最小值1,|b|2+x2+y24x5y+xy=x2+(y4)x+y25y+|b|2=x+y-422+34(y2)27+|答案:1222【變式備選】已知P(3cosα,3sinα,1)和Q(2cosβ,2sinβ,1),則||的取值范圍是 ()A.[1,5] B.(1,5) C.[0,5] D.[0,25]【解析】選A.因?yàn)镻(3cosα,3sinα,1)和Q(2cosβ,2sinβ,1),所以||=(=13=13-因?yàn)閏os(αβ)∈[1,1],所以||的取值范圍是[1,5].三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5). (1)求以,為邊的平行四邊形的面積.(2)若|a|=3,且a分別與,垂直,求向量a的坐標(biāo).【解析】(1)由題意可得:=(2,1,3),=(1,3,2),所以cos<,>==-2+3+614×14=所以sin<,>=32,所以以,為邊的平行四邊形的面積:S=2×12||||sin<,>=14×32=73(2)設(shè)a=(x,y,z),由題意得x2x=1,所以a=(1,1,1)或a=(1,1,1).10.直三棱柱ABCA′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D,E分別為AB,BB′的中點(diǎn).(1)求證:CE⊥A′D.(2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值.【解析】(1)設(shè)=a,=b,=c,根據(jù)題意,|a|=|b|=|c|且a·b=b·c=c·a=0,所以=b+12c,=c+12b12a所以·=12c2+12b2=0,所以⊥,即CE⊥A′D.(2)=a+c,所以=2|a|,||=52|a|.·=(a+c)·QUOTEb+12c(12c+b)=12c=12|a|2所以cos<,>=12|a|2即異面直線CE與AC′所成角的余弦值為10101.(5分)空間四邊形ABCD的各邊均相等,E是BC的中點(diǎn),那么 ()A.·<·B.·=·C.·>·D.·與·的大小不能比較【解析】選C.取BD的中點(diǎn)F,連接EF,則EF12CD,因?yàn)?lt;,>=<,>>90°,且·=0,·<0,所以·>·.2.(5分)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,給出以下結(jié)論:①點(diǎn)A(1,3,4)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,3,4);②點(diǎn)P(1,2,3)關(guān)于xOz平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2,3);③已知點(diǎn)A(3,1,5)與點(diǎn)B(4,3,1),則A,B的中點(diǎn)坐標(biāo)是12,2,3;④兩點(diǎn)A.①② B.①③ C.②③ D.②④【解析】選C.①點(diǎn)A(1,3,4)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,3,4),不正確;②點(diǎn)P(1,2,3)關(guān)于xOz平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2,3),正確;③已知點(diǎn)A(3,1,5)與點(diǎn)B(4,3,1),則A,B的中點(diǎn)坐標(biāo)是12④兩點(diǎn)M(1,1,2),N(1,3,3)間的距離為4+4+1=3,不正確.【變式備選】關(guān)于空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的一點(diǎn)P(1,2,3),有下列說(shuō)法:①點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為13;②OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為12③點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2,3);④點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2,3);⑤點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)平面xOy對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2,3).其中正確的個(gè)數(shù)是 ()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】選A.由空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的一點(diǎn)P(1,2,3),知:在①中,點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為d=1+4+9=14,故①錯(cuò)誤;在②中,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得,OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為12,1在③中,由對(duì)稱的性質(zhì)得與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2,3),故③不正確;在④中,由對(duì)稱的性質(zhì)得與點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2,3),故④錯(cuò)誤;在⑤中,由對(duì)稱的性質(zhì)得與點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)平面xOy對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2,3),故⑤正確.3.(5分)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,2),C(0,2,0),D(1,1,2).若S1,S2,S3分別是三棱錐DABC在xOy,yOz,zOx坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積,則 ()A.S1=S2<S3 B.S1=S2>S3C.S1<S2=S3 D.S1>S2=S3【解析】選C.根據(jù)點(diǎn)在面上的投影,D,B在xOy面上的投影分別為(1,1,0),(2,2,0),所以投影三角形面積S1=12×2×2=2,在yOz面上的投影分別為(0,1,2),(0,2,2),投影梯形面積S2=12(2+1)×2=322,在xOz面上的投影分別為(1,0,2),(2,0,2),投影梯形的面積S3=12(2+1)×2=322,故4.(12分)如圖,在三棱錐ABCD中,平面ABC⊥平面BCD,△BAC與△BCD均為等腰直角三角形,且∠BAC=∠BCD=90°,BC=2.點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)),若線段CD上存在點(diǎn)Q(不含端點(diǎn)),使得異面直線PQ與AC成30°的角,求線段PA長(zhǎng)的取值范圍.【解析】設(shè)BC的中點(diǎn)為O,連接OA,因?yàn)椤螧AC=90°,BC=2?OA=1,故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則O(0,0,0),A(0,0,1),B(1,0,0),C(1,0,0),設(shè)P(s,0,t),Q(1,m,0)(1<s<0,0<t<1,0<m<2),則=(1s,m,t),=(1,0,1),=(s,0,1t),所以·=1s+t,=(1-s)2+m2+t2,=1+1=2,所以(1-s)2+m2+t2·2cos30°=1s+t,即62(1-s)2+m2+t2=1s+t,也即3m2=4t(1s)(1s)2t2,由此可得3m25.(13分)如圖,三棱錐PABC中,·=·=·=0,==4.(1)求證:AB⊥平面PAC.(2)若M為線段PC上的點(diǎn),設(shè)=λ,問(wèn)λ為何值時(shí),能使直線PC⊥平面MAB?【解析】(1)因?yàn)椤?·=·=0,所以PA⊥AB,AB⊥AC,因?yàn)镻A∩AC=A,所以AB⊥平面PAC.(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),