中國(guó)精算師協(xié)會(huì)會(huì)員水平測(cè)試（準(zhǔn)精算師精算模型）自測(cè)試題庫(kù)及答案(2025年湖南省)一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共30分）1.已知某風(fēng)險(xiǎn)的損失分布服從指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為\(f(x)=\lambdae^{-\lambdax},x>0\)，且\(E(X)=5\)，則\(\lambda\)的值為（）A.0.1B.0.2C.0.5D.1答案：B解析：對(duì)于指數(shù)分布\(X\simExp(\lambda)\)，其期望\(E(X)=\frac{1}{\lambda}\)。已知\(E(X)=5\)，則\(\frac{1}{\lambda}=5\)，解得\(\lambda=0.2\)。2.在復(fù)合泊松分布中，若泊松參數(shù)\(\lambda=3\)，個(gè)別理賠額\(Y\)服從均值為2的指數(shù)分布，則復(fù)合泊松分布的方差為（）A.3B.6C.9D.12答案：B解析：對(duì)于復(fù)合泊松分布\(S=\sum_{i=1}^{N}Y_{i}\)，其中\(zhòng)(N\simPoisson(\lambda)\)，其方差\(Var(S)=\lambdaE(Y^{2})\)。對(duì)于指數(shù)分布\(Y\simExp(\lambda_y)\)，\(E(Y)=\frac{1}{\lambda_y}=2\)，則\(E(Y^{2})=\frac{2}{\lambda_y^{2}}=8\)，已知\(\lambda=3\)，所以\(Var(S)=\lambdaE(Y^{2})=3\times2=6\)。3.考慮一個(gè)理賠次數(shù)分布，其概率函數(shù)為\(P(N=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!}\)，\(k=0,1,2,\cdots\)，若\(P(N=1)=P(N=2)\)，則\(\lambda\)的值為（）A.1B.2C.3D.4答案：B解析：已知\(P(N=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!}\)，由\(P(N=1)=P(N=2)\)可得\(\frac{e^{-\lambda}\lambda^{1}}{1!}=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{2}}{2!}\)，兩邊同時(shí)約去\(e^{-\lambda}\)，得到\(\lambda=\frac{\lambda^{2}}{2}\)，因?yàn)閈(\lambda>0\)，所以解得\(\lambda=2\)。4.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來(lái)自正態(tài)總體\(N(\mu,\sigma^{2})\)的樣本，\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\)，\(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\)，則\(\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\)服從（）A.正態(tài)分布B.\(t\)分布C.\(\chi^{2}\)分布D.\(F\)分布答案：C解析：根據(jù)抽樣分布的知識(shí)，設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來(lái)自正態(tài)總體\(N(\mu,\sigma^{2})\)的樣本，則\(\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n-1)\)，即服從自由度為\(n-1\)的\(\chi^{2}\)分布。5.已知某風(fēng)險(xiǎn)的損失分布\(X\)的矩母函數(shù)為\(M_X(t)=\frac{1}{1-2t}\)，\(t<\frac{1}{2}\)，則\(E(X)\)為（）A.1B.2C.3D.4答案：B解析：對(duì)于矩母函數(shù)\(M_X(t)\)，\(E(X)=M_X^\prime(0)\)。對(duì)\(M_X(t)=\frac{1}{1-2t}=(1-2t)^{-1}\)求導(dǎo)，\(M_X^\prime(t)=2(1-2t)^{-2}\)，將\(t=0\)代入可得\(M_X^\prime(0)=2\)，所以\(E(X)=2\)。6.在風(fēng)險(xiǎn)模型中，設(shè)盈余過(guò)程為\(U(t)=u+ct-\sum_{i=1}^{N(t)}Y_{i}\)，其中\(zhòng)(u\)為初始盈余，\(c\)為保費(fèi)收入率，\(N(t)\)為理賠次數(shù)過(guò)程，\(Y_{i}\)為個(gè)別理賠額。若\(N(t)\)是參數(shù)為\(\lambda\)的泊松過(guò)程，個(gè)別理賠額\(Y_{i}\)獨(dú)立同分布，且\(E(Y_{i})=\mu\)，則單位時(shí)間的期望盈余為（）A.\(c-\lambda\mu\)B.\(c+\lambda\mu\)C.\(u+c-\lambda\mu\)D.\(u+c+\lambda\mu\)答案：A解析：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)保費(fèi)收入為\(c\)，單位時(shí)間內(nèi)理賠次數(shù)的期望為\(E(N(1))=\lambda\)，單位時(shí)間內(nèi)理賠額的期望為\(E(N(1))E(Y_{i})=\lambda\mu\)，所以單位時(shí)間的期望盈余為\(c-\lambda\mu\)。7.若兩個(gè)隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，且\(X\simN(1,4)\)，\(Y\simN(2,9)\)，則\(Z=X+Y\)服從（）A.\(N(3,13)\)B.\(N(3,5)\)C.\(N(1,13)\)D.\(N(1,5)\)答案：A解析：若\(X\simN(\mu_1,\sigma_1^{2})\)，\(Y\simN(\mu_2,\sigma_2^{2})\)，且\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立，則\(Z=X+Y\simN(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^{2}+\sigma_2^{2})\)。已知\(X\simN(1,4)\)，\(Y\simN(2,9)\)，所以\(Z=X+Y\simN(1+2,4+9)=N(3,13)\)。8.設(shè)某風(fēng)險(xiǎn)的損失分布\(X\)服從均勻分布\(U(0,10)\)，則\(E(X^2)\)為（）A.\(\frac{100}{3}\)B.\(\frac{50}{3}\)C.\(\frac{200}{3}\)D.\(\frac{150}{3}\)答案：A解析：對(duì)于均勻分布\(X\simU(a,b)\)，其概率密度函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{b-a}\)，\(a<x<b\)，\(E(X^{2})=\int_{a}^x^{2}f(x)dx\)。對(duì)于\(X\simU(0,10)\)，\(f(x)=\frac{1}{10}\)，\(0<x<10\)，則\(E(X^{2})=\int_{0}^{10}x^{2}\frac{1}{10}dx=\frac{1}{10}\times\frac{x^{3}}{3}\big|_{0}^{10}=\frac{1000}{30}=\frac{100}{3}\)。9.在信用風(fēng)險(xiǎn)模型中，若違約概率\(p=0.1\)，違約損失率\(LGD=0.8\)，則預(yù)期損失率為（）A.0.08B.0.1C.0.18D.0.8答案：A解析：預(yù)期損失率\(EL=p\timesLGD\)，已知\(p=0.1\)，\(LGD=0.8\)，所以\(EL=0.1\times0.8=0.08\)。10.設(shè)\(X\)是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為\(F(x)\)，則\(P(a<X\leqb)\)等于（）A.\(F(b)-F(a)\)B.\(F(a)-F(b)\)C.\(F(b)+F(a)\)D.\(1-(F(b)-F(a))\)答案：A解析：根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)，\(P(a<X\leqb)=F(b)-F(a)\)。11.已知某風(fēng)險(xiǎn)的損失分布\(X\)滿(mǎn)足\(P(X=0)=0.2\)，\(P(X=1)=0.3\)，\(P(X=2)=0.5\)，則\(E(X)\)為（）A.1.1B.1.2C.1.3D.1.4答案：C解析：根據(jù)期望的定義\(E(X)=\sum_{x}xP(X=x)=0\times0.2+1\times0.3+2\times0.5=0.3+1=1.3\)。12.在復(fù)合負(fù)二項(xiàng)分布中，若參數(shù)\(r=2\)，\(\beta=3\)，則理賠次數(shù)的期望為（）A.2B.3C.6D.9答案：C解析：對(duì)于復(fù)合負(fù)二項(xiàng)分布，若參數(shù)為\(r\)和\(\beta\)，理賠次數(shù)\(N\)的期望\(E(N)=r\beta\)。已知\(r=2\)，\(\beta=3\)，所以\(E(N)=2\times3=6\)。13.設(shè)\(X\)是一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量，其生存函數(shù)為\(S(x)=1-F(x)\)，則\(E(X)\)可以表示為（）A.\(\int_{0}^{\infty}S(x)dx\)B.\(\int_{0}^{\infty}F(x)dx\)C.\(\int_{-\infty}^{\infty}S(x)dx\)D.\(\int_{-\infty}^{\infty}F(x)dx\)答案：A解析：對(duì)于非負(fù)隨機(jī)變量\(X\)，\(E(X)=\int_{0}^{\infty}S(x)dx\)，這是由期望的定義和積分變換推導(dǎo)得出的。14.已知某風(fēng)險(xiǎn)的損失分布\(X\)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，若\(\lnX\simN(\mu,\sigma^{2})\)，則\(E(X)\)為（）A.\(e^{\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}}\)B.\(e^{\mu-\frac{\sigma^{2}}{2}}\)C.\(e^{\mu+\sigma^{2}}\)D.\(e^{\mu-\sigma^{2}}\)答案：A解析：若\(Y=\lnX\simN(\mu,\sigma^{2})\)，則\(X=e^{Y}\)，\(E(X)=E(e^{Y})\)。對(duì)于\(Y\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(E(e^{Y})=e^{\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}}\)，所以\(E(X)=e^{\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}}\)。15.在風(fēng)險(xiǎn)聚合模型中，設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是相互獨(dú)立的風(fēng)險(xiǎn)變量，\(S=\sum_{i=1}^{n}X_{i}\)，若\(X_i\)都服從相同的分布，且\(E(X_i)=\mu\)，\(Var(X_i)=\sigma^{2}\)，則\(Var(S)\)為（）A.\(n\mu\)B.\(n\sigma^{2}\)C.\(\mu\)D.\(\sigma^{2}\)答案：B解析：因?yàn)閈(X_1,X_2,\cdots,X_n\)相互獨(dú)立，根據(jù)方差的性質(zhì)\(Var(S)=Var(\sum_{i=1}^{n}X_{i})=\sum_{i=1}^{n}Var(X_{i})\)。已知\(Var(X_i)=\sigma^{2}\)，所以\(Var(S)=n\sigma^{2}\)。二、多項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）1.以下哪些分布屬于離散型分布（）A.泊松分布B.負(fù)二項(xiàng)分布C.正態(tài)分布D.指數(shù)分布答案：AB解析：泊松分布和負(fù)二項(xiàng)分布是離散型分布，其隨機(jī)變量取值為可數(shù)個(gè)。正態(tài)分布和指數(shù)分布是連續(xù)型分布，隨機(jī)變量取值為連續(xù)區(qū)間。2.關(guān)于矩母函數(shù)\(M_X(t)\)，以下說(shuō)法正確的是（）A.\(M_X(0)=1\)B.\(E(X)=M_X^\prime(0)\)C.\(E(X^2)=M_X^{\prime\prime}(0)\)D.矩母函數(shù)唯一確定分布答案：ABCD解析：對(duì)于矩母函數(shù)\(M_X(t)\)，當(dāng)\(t=0\)時(shí)，\(M_X(0)=E(e^{0\timesX})=1\)；\(E(X)=M_X^\prime(0)\)，\(E(X^2)=M_X^{\prime\prime}(0)\)，并且矩母函數(shù)和分布是一一對(duì)應(yīng)的，即矩母函數(shù)唯一確定分布。3.在風(fēng)險(xiǎn)模型中，影響盈余過(guò)程穩(wěn)定性的因素有（）A.初始盈余B.保費(fèi)收入率C.理賠次數(shù)分布D.個(gè)別理賠額分布答案：ABCD解析：初始盈余越高，在一定程度上能承受更多的理賠沖擊，增強(qiáng)穩(wěn)定性；保費(fèi)收入率決定了資金流入的速度，影響盈余的積累；理賠次數(shù)分布和個(gè)別理賠額分布決定了理賠支出的情況，都會(huì)對(duì)盈余過(guò)程的穩(wěn)定性產(chǎn)生影響。4.以下哪些是衡量風(fēng)險(xiǎn)的指標(biāo)（）A.方差B.標(biāo)準(zhǔn)差C.風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）D.條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）答案：ABCD解析：方差和標(biāo)準(zhǔn)差衡量了隨機(jī)變量的離散程度，反映了風(fēng)險(xiǎn)的大小；風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）是在一定置信水平下的最大可能損失；條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）是在損失超過(guò)VaR的條件下的期望損失，它們都是常用的風(fēng)險(xiǎn)衡量指標(biāo)。5.對(duì)于復(fù)合分布\(S=\sum_{i=1}^{N}Y_{i}\)，以下說(shuō)法正確的是（）A.\(E(S)=E(N)E(Y)\)B.\(Var(S)=E(N)Var(Y)+Var(N)[E(Y)]^{2}\)C.當(dāng)\(N\)是泊松分布時(shí)，\(Var(S)=\lambdaE(Y^{2})\)D.復(fù)合分布的性質(zhì)與\(N\)和\(Y\)的分布有關(guān)答案：ABCD解析：根據(jù)復(fù)合分布的期望和方差公式，\(E(S)=E(N)E(Y)\)，\(Var(S)=E(N)Var(Y)+Var(N)[E(Y)]^{2}\)。當(dāng)\(N\)是泊松分布\(N\simPoisson(\lambda)\)時(shí)，\(Var(N)=E(N)=\lambda\)，\(Var(S)=\lambdaE(Y^{2})\)。復(fù)合分布\(S\)的性質(zhì)顯然與理賠次數(shù)\(N\)和個(gè)別理賠額\(Y\)的分布有關(guān)。三、簡(jiǎn)答題（每題10分，共30分）1.簡(jiǎn)述復(fù)合泊松分布的定義和主要性質(zhì)。答：定義：設(shè)\(N\)是參數(shù)為\(\lambda\)的泊松過(guò)程，\(Y_1,Y_2,\cdots\)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且與\(N\)相互獨(dú)立，稱(chēng)\(S=\sum_{i=1}^{N}Y_{i}\)為復(fù)合泊松分布。主要性質(zhì)：-期望：\(E(S)=\lambdaE(Y)\)，其中\(zhòng)(E(Y)\)是個(gè)別理賠額\(Y_i\)的期望。這是因?yàn)閈(E(S)=E[E(S|N)]\)，而\(E(S|N)=NE(Y)\)，\(E(N)=\lambda\)，所以\(E(S)=\lambdaE(Y)\)。-方差：\(Var(S)=\lambdaE(Y^{2})\)。由\(Var(S)=E[Var(S|N)]+Var[E(S|N)]\)，\(Var(S|N)=NVar(Y)\)，\(E(S|N)=NE(Y)\)，\(E(N)=\lambda\)，\(Var(N)=\lambda\)推導(dǎo)得出。-矩母函數(shù)：\(M_S(t)=e^{\lambda[M_Y(t)-1]}\)，其中\(zhòng)(M_Y(t)\)是\(Y_i\)的矩母函數(shù)。通過(guò)\(M_S(t)=E(e^{tS})=E[E(e^{tS}|N)]\)以及泊松分布和\(Y_i\)的獨(dú)立性推導(dǎo)得到。-可加性：若\(S_1\)和\(S_2\)是兩個(gè)相互獨(dú)立的復(fù)合泊松分布，參數(shù)分別為\(\lambda_1\)和\(\lambda_2\)，個(gè)別理賠額分布分別為\(Y_1\)和\(Y_2\)，則\(S=S_1+S_2\)也是復(fù)合泊松分布，參數(shù)為\(\lambda_1+\lambda_2\)。2.解釋風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）和條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）的概念，并說(shuō)明它們的區(qū)別。答：風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）：是指在一定的置信水平下，某一金融資產(chǎn)或投資組合在未來(lái)特定的一段時(shí)間內(nèi)可能遭受的最大損失。例如，在95%的置信水平下，一天的VaR為100萬(wàn)元，表示在未來(lái)一天內(nèi)，該資產(chǎn)或組合有95%的可能性損失不超過(guò)100萬(wàn)元。條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）：也稱(chēng)為期望尾部損失，是指在損失超過(guò)VaR的條件下的期望損失。即給定損失超過(guò)VaR時(shí)，平均的損失是多少。區(qū)別：-VaR只是給出了一個(gè)最大可能損失的界限，但沒(méi)有考慮到超過(guò)這個(gè)界限時(shí)損失的具體情況。而CVaR考慮了尾部風(fēng)險(xiǎn)，提供了在極端情況下?lián)p失的平均水平，更全面地反映了風(fēng)險(xiǎn)。-VaR不滿(mǎn)足次可加性，即投資組合的VaR可能大于各組成部分VaR之和，這與分散投資降低風(fēng)險(xiǎn)的理念相悖。而CVaR滿(mǎn)足次可加性，更符合風(fēng)險(xiǎn)分散的原則。-VaR是一個(gè)分位數(shù)，它只關(guān)注了損失分布的某個(gè)特定點(diǎn)；CVaR是一個(gè)期望，綜合考慮了尾部的所有損失情況。3.說(shuō)明如何根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)分布參數(shù)。答：常見(jiàn)的根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)分布參數(shù)的方法有以下幾種：矩估計(jì)法：-原理：用樣本矩來(lái)估計(jì)總體矩，從而得到分布參數(shù)的估計(jì)值。例如，對(duì)于一個(gè)總體\(X\)，其\(k\)階原點(diǎn)矩為\(\mu_k=E(X^k)\)，樣本\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)的\(k\)階原點(diǎn)矩為\(A_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^k\)。令總體矩等于樣本矩，解方程組得到參數(shù)的估計(jì)值。-步驟：先寫(xiě)出總體的各階矩關(guān)于參數(shù)的表達(dá)式，然后根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算樣本矩，最后聯(lián)立方程求解參數(shù)。例如，對(duì)于正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^{2})\)，\(E(X)=\mu\)，\(E(X^{2})=\mu^{2}+\sigma^{2}\)，用樣本均值\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\)估計(jì)\(\mu\)，用\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}-\overline{X}^{2}\)估計(jì)\(\sigma^{2}\)。最大似然估計(jì)法：-原理：在已知樣本數(shù)據(jù)的情況下，尋找使得樣本出現(xiàn)的概率最大的參數(shù)值作為估計(jì)值。設(shè)總體\(X\)的概率密度函數(shù)（離散型為概率函數(shù)）為\(f(x;\theta)\)，\(\theta\)為待估參數(shù)，樣本\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)的似然函數(shù)為\(L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}f(X_{i};\theta)\)。-步驟：先寫(xiě)出似然函數(shù)，然后對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)得到對(duì)數(shù)似然函數(shù)\(\lnL(\theta)\)，對(duì)\(\lnL(\theta)\)求關(guān)于\(\theta\)的導(dǎo)數(shù)并令其為0，解出\(\theta\)的值即為最大似然估計(jì)值。如果導(dǎo)數(shù)不存在或難以求解，也可以通過(guò)數(shù)值方法尋找使似然函數(shù)最大的\(\theta\)值。四、計(jì)算題（每題12.5分，共25分）1.已知某風(fēng)險(xiǎn)的理賠次數(shù)\(N\)服從參數(shù)為\(\lambda=4\)的泊松分布，個(gè)別理賠額\(Y\)服從均值為3的指數(shù)分布，且\(N\)與\(Y\)相互獨(dú)立。求該風(fēng)險(xiǎn)的總理賠額\(S=\sum_{i=1}^{N}Y_{i}\)的期望和方差。解：首先，根據(jù)復(fù)合分布的期望和方差公式。對(duì)于復(fù)合分布\(S=\sum_{i=1}^{N}Y_{i}\)，期望\(E(S)=E(N)E(Y)\)。已知\(N\)服從參數(shù)為\(\lambda=4\)的泊松分布，則\(E(N)=\lambda=4\)；\(Y\)服從均值為3的指數(shù)分布，所以\(E(Y)=3\)。那么\(E(S)=E(N)E(Y)=4\times3=12\)。對(duì)于方差，根據(jù)公式\(Var(S)=E(N)E(Y^{2})\)。對(duì)于指數(shù)分布\(Y\simExp(\lambda_y)\)，\(E(Y)=\frac{1}{\lambda_y}=3\)，則\(\lambda_y=\frac{1}{3}\)，\(E(Y^{2})=\frac{2}{\lambda_y^{2}}=18\)。又因?yàn)閈(E(N