中國(guó)精算師協(xié)會(huì)會(huì)員水平測(cè)試（準(zhǔn)精算師精算模型）模擬題庫(kù)及答案(2025年寧夏)單項(xiàng)選擇題1.已知某風(fēng)險(xiǎn)的損失分布為指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為\(f(x)=\lambdae^{-\lambdax},x>0\)，且\(E(X)=5\)，則\(\lambda\)的值為（）A.0.1B.0.2C.0.5D.1答案：B解析：對(duì)于指數(shù)分布\(X\simExp(\lambda)\)，其期望\(E(X)=\frac{1}{\lambda}\)。已知\(E(X)=5\)，則\(\frac{1}{\lambda}=5\)，解得\(\lambda=0.2\)。2.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(n=10\)，\(p=0.3\)的二項(xiàng)分布\(B(n,p)\)，則\(P(X=3)\)的值為（）A.\(C_{10}^3\times0.3^3\times0.7^7\)B.\(C_{10}^3\times0.3^7\times0.7^3\)C.\(0.3^3\times0.7^7\)D.\(0.3^7\times0.7^3\)答案：A解析：若\(X\simB(n,p)\)，其概率質(zhì)量函數(shù)為\(P(X=k)=C_{n}^k\timesp^k\times(1-p)^{n-k}\)，這里\(n=10\)，\(p=0.3\)，\(k=3\)，所以\(P(X=3)=C_{10}^3\times0.3^3\times0.7^7\)。3.對(duì)于一個(gè)理賠次數(shù)模型，若理賠次數(shù)\(N\)服從泊松分布\(Poisson(\lambda)\)，且\(E(N)=3\)，則\(Var(N)\)的值為（）A.1B.3C.9D.\(\sqrt{3}\)答案：B解析：對(duì)于泊松分布\(N\simPoisson(\lambda)\)，有\(zhòng)(E(N)=\lambda\)且\(Var(N)=\lambda\)。已知\(E(N)=3\)，即\(\lambda=3\)，所以\(Var(N)=3\)。4.已知某保險(xiǎn)產(chǎn)品的賠付額\(X\)服從正態(tài)分布\(N(1000,100^2)\)，則\(P(900<X<1100)\)約為（）A.0.6826B.0.9544C.0.9974D.0.5答案：A解析：若\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，則\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\simN(0,1)\)。這里\(\mu=1000\)，\(\sigma=100\)。\(P(900<X<1100)=P(\frac{900-1000}{100}<\frac{X-1000}{100}<\frac{1100-1000}{100})=P(-1<Z<1)\)，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì)，\(P(-1<Z<1)\approx0.6826\)。5.在復(fù)合泊松分布中，設(shè)理賠次數(shù)\(N\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，理賠額\(Y_i\)相互獨(dú)立且同分布，若\(E(Y_1)=2\)，\(\lambda=5\)，則復(fù)合泊松分布的期望為（）A.2B.5C.10D.25答案：C解析：復(fù)合泊松分布\(S=\sum_{i=1}^{N}Y_i\)的期望\(E(S)=\lambdaE(Y_1)\)。已知\(E(Y_1)=2\)，\(\lambda=5\)，則\(E(S)=5\times2=10\)。多項(xiàng)選擇題1.以下哪些分布屬于離散型分布（）A.二項(xiàng)分布B.泊松分布C.指數(shù)分布D.正態(tài)分布答案：AB解析：二項(xiàng)分布\(B(n,p)\)和泊松分布\(Poisson(\lambda)\)的隨機(jī)變量取值是離散的，屬于離散型分布；指數(shù)分布和正態(tài)分布的隨機(jī)變量取值是連續(xù)的，屬于連續(xù)型分布。2.對(duì)于一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)模型，以下關(guān)于期望和方差的說(shuō)法正確的有（）A.若理賠次數(shù)\(N\)和理賠額\(Y\)相互獨(dú)立，復(fù)合風(fēng)險(xiǎn)模型\(S=\sum_{i=1}^{N}Y_i\)的期望\(E(S)=E(N)E(Y)\)B.若理賠次數(shù)\(N\)和理賠額\(Y\)相互獨(dú)立，復(fù)合風(fēng)險(xiǎn)模型\(S=\sum_{i=1}^{N}Y_i\)的方差\(Var(S)=E(N)Var(Y)+Var(N)[E(Y)]^2\)C.對(duì)于單一風(fēng)險(xiǎn)的損失\(X\)，\(Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\)D.若\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，則\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)且\(Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)\)答案：ABCD解析：-選項(xiàng)A：根據(jù)復(fù)合隨機(jī)變量期望的計(jì)算公式，當(dāng)\(N\)和\(Y\)相互獨(dú)立時(shí)，\(E(S)=E(N)E(Y)\)。-選項(xiàng)B：這是復(fù)合隨機(jī)變量方差的計(jì)算公式，當(dāng)\(N\)和\(Y\)相互獨(dú)立時(shí)，\(Var(S)=E(N)Var(Y)+Var(N)[E(Y)]^2\)。-選項(xiàng)C：這是方差的基本計(jì)算公式\(Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\)。-選項(xiàng)D：若\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，期望具有可加性\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)，方差也具有可加性\(Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)\)。3.以下關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)的說(shuō)法正確的有（）A.方差可以衡量風(fēng)險(xiǎn)的分散程度B.標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根，與原數(shù)據(jù)具有相同的量綱C.風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）是指在一定的置信水平下，某一金融資產(chǎn)或投資組合在未來(lái)特定的一段時(shí)間內(nèi)的最大可能損失D.條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）是在給定損失超過(guò)VaR的條件下，損失的期望值答案：ABCD解析：-選項(xiàng)A：方差越大，說(shuō)明數(shù)據(jù)的離散程度越大，即風(fēng)險(xiǎn)的分散程度越大，所以方差可以衡量風(fēng)險(xiǎn)的分散程度。-選項(xiàng)B：標(biāo)準(zhǔn)差\(\sigma=\sqrt{Var(X)}\)，它與原數(shù)據(jù)具有相同的量綱，方便實(shí)際應(yīng)用。-選項(xiàng)C：這是風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）的定義，它是一種常用的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)。-選項(xiàng)D：條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）是在損失超過(guò)VaR的條件下，損失的期望值，它彌補(bǔ)了VaR在尾部風(fēng)險(xiǎn)度量上的不足。4.在構(gòu)建精算模型時(shí)，常用的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法有（）A.卡方檢驗(yàn)B.柯?tīng)柲缏宸?斯米爾諾夫檢驗(yàn)C.安德森-達(dá)林檢驗(yàn)D.夏普比率檢驗(yàn)答案：ABC解析：-選項(xiàng)A：卡方檢驗(yàn)是一種常用的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法，用于比較實(shí)際觀測(cè)值和理論分布的擬合程度。-選項(xiàng)B：柯?tīng)柲缏宸?斯米爾諾夫檢驗(yàn)通過(guò)比較經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)和理論分布函數(shù)來(lái)檢驗(yàn)擬合優(yōu)度。-選項(xiàng)C：安德森-達(dá)林檢驗(yàn)也是一種用于檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否符合特定分布的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法。-選項(xiàng)D：夏普比率是衡量投資組合績(jī)效的指標(biāo)，不是擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法。5.關(guān)于生存模型，以下說(shuō)法正確的有（）A.生存函數(shù)\(S(x)\)表示個(gè)體在年齡\(x\)時(shí)仍然生存的概率B.死亡力\(\mu(x)\)描述了在年齡\(x\)時(shí)個(gè)體的死亡強(qiáng)度C.對(duì)于均勻分布假設(shè)，在年齡區(qū)間\([x,x+1]\)內(nèi)，死亡力\(\mu(x+t)\)是常數(shù)D.剩余壽命\(T(x)\)表示年齡為\(x\)的個(gè)體的未來(lái)生存時(shí)間答案：ABD解析：-選項(xiàng)A：生存函數(shù)\(S(x)\)的定義就是個(gè)體在年齡\(x\)時(shí)仍然生存的概率。-選項(xiàng)B：死亡力\(\mu(x)\)反映了在年齡\(x\)時(shí)個(gè)體的死亡強(qiáng)度。-選項(xiàng)C：在均勻分布假設(shè)下，在年齡區(qū)間\([x,x+1]\)內(nèi)，死亡概率是均勻分布的，但死亡力\(\mu(x+t)\)不是常數(shù)。-選項(xiàng)D：剩余壽命\(T(x)\)就是指年齡為\(x\)的個(gè)體的未來(lái)生存時(shí)間。判斷題1.在風(fēng)險(xiǎn)模型中，若理賠次數(shù)\(N\)和理賠額\(Y\)相互獨(dú)立，則復(fù)合風(fēng)險(xiǎn)模型\(S=\sum_{i=1}^{N}Y_i\)的方差只與理賠次數(shù)\(N\)的方差有關(guān)。（）答案：錯(cuò)誤解析：復(fù)合風(fēng)險(xiǎn)模型\(S=\sum_{i=1}^{N}Y_i\)的方差\(Var(S)=E(N)Var(Y)+Var(N)[E(Y)]^2\)，不僅與理賠次數(shù)\(N\)的方差有關(guān)，還與理賠次數(shù)\(N\)的期望、理賠額\(Y\)的期望和方差有關(guān)。2.指數(shù)分布的無(wú)記憶性意味著，對(duì)于指數(shù)分布\(X\simExp(\lambda)\)，\(P(X>s+t|X>s)=P(X>t)\)對(duì)任意\(s,t>0\)成立。（）答案：正確解析：這是指數(shù)分布無(wú)記憶性的定義，即已知個(gè)體已經(jīng)生存了\(s\)時(shí)間，那么它再生存\(t\)時(shí)間的概率與它從開(kāi)始就生存\(t\)時(shí)間的概率相同。3.卡方檢驗(yàn)可以用于檢驗(yàn)一個(gè)樣本是否來(lái)自某一特定的分布。（）答案：正確解析：卡方檢驗(yàn)是一種常用的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法，可用于檢驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)是否符合某一特定的理論分布。4.在生存模型中，生存函數(shù)\(S(x)\)是單調(diào)遞增函數(shù)。（）答案：錯(cuò)誤解析：生存函數(shù)\(S(x)\)表示個(gè)體在年齡\(x\)時(shí)仍然生存的概率，隨著年齡\(x\)的增加，生存的概率會(huì)逐漸減小，所以\(S(x)\)是單調(diào)遞減函數(shù)。5.復(fù)合泊松分布的理賠次數(shù)一定服從泊松分布。（）答案：正確解析：復(fù)合泊松分布的定義就是理賠次數(shù)\(N\)服從泊松分布，理賠額\(Y_i\)相互獨(dú)立且同分布，復(fù)合隨機(jī)變量\(S=\sum_{i=1}^{N}Y_i\)構(gòu)成復(fù)合泊松分布。簡(jiǎn)答題1.簡(jiǎn)述復(fù)合泊松分布的特點(diǎn)。答：復(fù)合泊松分布具有以下特點(diǎn)：-理賠次數(shù)\(N\)服從泊松分布：即理賠次數(shù)\(N\)滿足泊松分布的概率特征，其概率質(zhì)量函數(shù)為\(P(N=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!},k=0,1,2,\cdots\)，其中\(zhòng)(\lambda>0\)是泊松分布的參數(shù)。-理賠額獨(dú)立同分布：各次理賠的理賠額\(Y_i\)相互獨(dú)立，并且具有相同的分布。-可加性：若\(S_1\)和\(S_2\)是兩個(gè)相互獨(dú)立的復(fù)合泊松分布，那么\(S_1+S_2\)也是復(fù)合泊松分布。-期望和方差：復(fù)合泊松分布\(S=\sum_{i=1}^{N}Y_i\)的期望\(E(S)=\lambdaE(Y_1)\)，方差\(Var(S)=\lambdaE(Y_1^2)\)，其中\(zhòng)(E(Y_1)\)是單次理賠額的期望，\(E(Y_1^2)\)是單次理賠額平方的期望。-卷積性質(zhì)：可以通過(guò)對(duì)理賠額分布的卷積來(lái)計(jì)算復(fù)合泊松分布的概率分布。2.解釋風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）和條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）的概念，并說(shuō)明它們的區(qū)別。答：-風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）：是指在一定的置信水平\(c\)（通常取值為95%、99%等）下，某一金融資產(chǎn)或投資組合在未來(lái)特定的一段時(shí)間\(\Deltat\)內(nèi)的最大可能損失。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為：\(P(L\leqVaR_c)=c\)，其中\(zhòng)(L\)表示損失隨機(jī)變量。例如，在95%的置信水平下，VaR表示在未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)，有95%的可能性損失不會(huì)超過(guò)該值。-條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）：也稱為平均超出損失、預(yù)期尾部損失等，它是在給定損失超過(guò)VaR的條件下，損失的期望值。即\(CVaR_c=E(L|L>VaR_c)\)。-區(qū)別：-VaR只給出了在一定置信水平下的最大可能損失，但沒(méi)有考慮超過(guò)該損失的情況。而CVaR考慮了損失超過(guò)VaR的尾部風(fēng)險(xiǎn)，提供了更全面的風(fēng)險(xiǎn)信息。-VaR不滿足次可加性（即\(VaR(X+Y)\)不一定小于等于\(VaR(X)+VaR(Y)\)），而CVaR滿足次可加性，是一種更合理的一致性風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)。3.簡(jiǎn)述生存模型中死亡力\(\mu(x)\)與生存函數(shù)\(S(x)\)的關(guān)系。答：死亡力\(\mu(x)\)與生存函數(shù)\(S(x)\)有以下關(guān)系：-死亡力\(\mu(x)\)可以通過(guò)生存函數(shù)\(S(x)\)表示為\(\mu(x)=-\frac{S^\prime(x)}{S(x)}\)，其中\(zhòng)(S^\prime(x)\)是生存函數(shù)\(S(x)\)關(guān)于\(x\)的導(dǎo)數(shù)。這表明死亡力\(\mu(x)\)反映了生存函數(shù)\(S(x)\)的變化率與生存函數(shù)值的比值，它描述了在年齡\(x\)時(shí)個(gè)體的死亡強(qiáng)度。-反過(guò)來(lái)，生存函數(shù)\(S(x)\)可以通過(guò)死亡力\(\mu(x)\)表示為\(S(x)=e^{-\int_{0}^{x}\mu(t)dt}\)。這意味著生存函數(shù)\(S(x)\)是由從0到\(x\)年齡區(qū)間上死亡力的積分決定的，體現(xiàn)了個(gè)體從出生到年齡\(x\)存活下來(lái)的概率與死亡力在該區(qū)間上累積效應(yīng)的關(guān)系。計(jì)算題1.設(shè)某保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的理賠次數(shù)\(N\)服從參數(shù)為\(\lambda=3\)的泊松分布，理賠額\(Y\)服從均值為2的指數(shù)分布，且\(N\)與\(Y\)相互獨(dú)立。求復(fù)合泊松分布\(S=\sum_{i=1}^{N}Y_i\)的期望和方差。解：-首先求單次理賠額\(Y\)的期望和方差。對(duì)于指數(shù)分布\(Y\simExp(\lambda_Y)\)，已知\(E(Y)=2\)，根據(jù)指數(shù)分布的性質(zhì)\(E(Y)=\frac{1}{\lambda_Y}=2\)，則\(\lambda_Y=0.5\)，\(Var(Y)=\frac{1}{\lambda_Y^2}=4\)。-然后求復(fù)合泊松分布\(S=\sum_{i=1}^{N}Y_i\)的期望和方差。已知理賠次數(shù)\(N\)服從參數(shù)為\(\lambda=3\)的泊松分布，根據(jù)復(fù)合泊松分布的期望公式\(E(S)=\lambdaE(Y)\)，可得\(E(S)=3\times2=6\)。根據(jù)復(fù)合泊松分布的方差公式\(Var(S)=\lambdaE(Y^2)\)，又因?yàn)閈(E(Y^2)=Var(Y)+[E(Y)]^2=4+4=8\)，所以\(Var(S)=3\times8=24\)。2.已知某風(fēng)險(xiǎn)的損失分布\(X\)服從正態(tài)分布\(N(500,100^2)\)，在95%的置信水平下，求該風(fēng)險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）。解：若\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，這里\(\mu=500\)，\(\sigma=100\)。在95%的置信水平下，設(shè)\(VaR\)對(duì)應(yīng)的分位數(shù)為\(z_{0.95}\)，通過(guò)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可知\(z_{0.95}\approx1.645\)。根據(jù)\(X\)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\)的關(guān)系，有\(zhòng)(P(X\leqVaR)=0.95\)，即\(P(\frac{X-500}{100}\leq\frac{VaR-500}{100})=0.95\)。令\(z=\frac{VaR-500}{100}\)，則\(z=z_{0.95}\approx1.645\)。解得\(VaR=500+1.645\times100=664.5\)。綜合分析題1.某保險(xiǎn)公司針對(duì)某類風(fēng)險(xiǎn)設(shè)計(jì)了一款保險(xiǎn)產(chǎn)品。已知該類風(fēng)險(xiǎn)的理賠次數(shù)\(N\)服從參數(shù)為\(\lambda=4\)的泊松分布，單次理賠額\(Y\)服從均值為3的伽馬分布\(\Gamma(\alpha,\beta)\)，其中\(zhòng)(\alpha=2\)，\(\beta=\frac{2}{3}\)。（1）求單次理賠額\(Y\)的期望和方差。（2）求復(fù)合風(fēng)險(xiǎn)模型\(S=\sum_{i=1}^{N}Y_i\)的期望和方差。（3）若保險(xiǎn)公司為了保證有95%的概率能夠支付所有理賠，需要確定一個(gè)合適的保費(fèi)\(P\)。假設(shè)復(fù)合風(fēng)險(xiǎn)模型\(S\)近似服從正態(tài)分布，試計(jì)算該保費(fèi)\(P\)。解：（1）對(duì)于伽馬分布\(Y\sim\Gamma(\alpha,\beta)\)，其期望\(E(Y)=\frac{\alpha}{\beta}\)，方差\(Var(Y)=\frac{\alpha}{\beta^2}\)。已知\(\alpha=2\)，\(\beta=\frac{2}{3}\)，則\(E(Y