《全品高考復習方案》第25講正弦定理、余弦定理1.C[解析]∵AC=1,BC=3,B=30°,由正弦定理得BCsinA=ACsinB,∴sinA=BC·sinBAC=3×121=32,∵2.C[解析]在△ABC中,由正弦定理及sinA∶sinB∶sinC=3∶4∶6,得a∶b∶c=3∶4∶6.令a=3t,b=4t,c=6t(t>0),則由余弦定理得cosC=(3t)2+(4t)2-(6t)22×3t×43.B[解析]因為bcosA=3asinB,所以由正弦定理可得sinBcosA=3sinAsinB,又B∈(0,π),所以sinB>0,則cosA=3sinA,顯然cosA≠0,所以tanA=sinAcosA=134.C[解析]設AB=x,由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠BAC,將BC=8,AC=10,cos∠BAC=35代入,可得82=102+x2-2×10×x×35,即x2-12x+36=0,解得x=6,又BC2+AB2=64+36=100=AC2,所以△ABC為直角三角形,則△ABC的面積S=12×6×8=24.5.B[解析]因為asinB+3bcosA=0,所以由正弦定理得sinAsinB+3sinBcosA=0,因為sinB≠0,所以tanA=-3,因為0<A<π,所以A=2π3.因為D是BC的中點,所以AD=12(AB+AC),兩邊平方可得134=14(c2+b2-bc),即c2+b2-bc=13.因為b=3,所以c2-3c-4=0,解得c=4或c=-1(舍去)6.D[解析]在△ABC中,sinA=45,cosC=1213,a=2,則C為銳角,所以sinC=1-12132=513,因為sinA>sinC>0,且sinA≠1,所以A為銳角或鈍角.當A∈0,π2時,cosA=1-452=35,則sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=45×1213+35×513=6365,又asinA=bsinB,a=2,所以b=asinBsinA=2×636545=6326.當A∈π2,π時,cosA=-1-452=-35,則sinB=sin(A+C)=sinAcos7.C[解析]因為bcosC+ccosB=-2acosA,所以由余弦定理得b×a2+b2-c22ab+c×a2+c2-b22ac=-2a×b2+c2-a22bc,整理得b2+c2-a2=-bc,故cosA=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12,又A∈(0,π),所以A=2π3.又a2=b2+c2-2bccosA,a=3,所以32=b2+c2-2bc×-12,即b2+c2=9-bc.因為AD=12AB+12AC,所以AD2=12AB+12AC2=14AB2+14AC2+12AB·AC=14c2+8.AB[解析]對于A,由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac,則a2+16-48a=32,故a2-43a+12=0,解得a=23,則△ABC只有一個解,故A正確.對于B,當a=33時,由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac,即27+16-b22×33×4=32,可得b=7,因為csinB=2,csinB<b<c,所以△ABC有兩個解,故B正確.對于C,當B=C時,b=c=4.當A=C時,a=c=4,又B=30°,所以由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=42+42-2×4×4×32=16(2-3),可得b=22(3-1)=26-22,故C錯誤.對于D,若C為直角,由c=4,B=30°,得b=csinB=4sin30°=2;9.π3[解析]因為(b-c)sinB=bsin(A-C),所以(b-c)sinB=b(sinAcosC-cosAsinC),由正弦定理得(b-c)b=b(acosC-ccosA),所以b2-bc=abcosC-bccosA=a2+b2-c22-b2+c2-a22=a2-c2,即b2+c2-a2=bc,10.解:(1)由正弦定理可得asinA=csinC,即312=2sin(2)由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=32,即b因為a<b,所以b=3+2,(3)在△ABC中,由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab=3+故cos(A+2C)=cosAcos2C-sinAsin2C=cosA·(1-2sin2C)-sinA·(2sinCcosC)=32×1-2×13-12×2×11.C[解析]由(sinA-sinB)(b+a)=c(sinB+sinC)及正弦定理得(a-b)(b+a)=c(b+c),則a2=b2+c2+bc(*),即b2+c2-a2=-bc,由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=-12,則sinA=1--122=32.將a=3代入(*)得3=b2+c2+bc≥3bc,當且僅當b=c=1時取等號,因此bc≤1,所以△ABC的面積S=12bcsinA=12.BCD[解析]∵a2+b2>c2,∴a2+b2-c2>0,∴cosC=a2+b2-c22ab>0,∴C為銳角,但不能確定A,B是否為銳角,∴△ABC不一定是銳角三角形,故A錯誤.由正弦定理得sinA=asinBb=2×222=1,∵A∈(0,π),∴A=π2,則C=π4,∴△ABC有唯一解,故B正確.∵bsinB=3sinπ3=23,∴a=23sinA,c=23sinC=23sin2π3-A,∴S=12acsinB=12×23sinA·23sin2π3-A·sinπ3=33sinAsin2π3cosA-cos2π3sinA=33sinA32cosA+12sinA=92sinAcosA+332sin2A=94sin2A-334cos2A+334=332sin2A-π6+334,又0<A<∴π2>A>π2-B>0,π2>B>π2-A>0,又y=sinx在0,π2上單調(diào)遞增,∴sinA>sinπ2-B=cosB,sinB>sinπ2-A=cosA,∴sinA+sinB>cos13.26[解析]因為B=π3,且△ABC的面積為3,所以S△ABC=12acsinB=12ac×32=34ac=3,可得ac=4.由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2ac×12=(a+c)2-3ac=36-3×4=14.解:(1)由bcosC=(2a-c)cosB及正弦定理得sinBcosC=(2sinA-sinC)cosB=2sinAcosB-sinCcosB,則2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,因為sinA≠0,所以2cosB=1,所以cosB=12,故B=π3.記△ABC外接圓的半徑為R,則R=1,所以b=2RsinB=2×1×sinπ3=3,又cosAcosC=-18,所以12=cosπ3=cosB=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC=sinAsinC+18,所以sinAsinC=38,則ac=2RsinA·2RsinC=4R2sinAsinC=4×12×38=32,故3=b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2accosπ3=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=((2)由(1)知B=π3,記△ABC的外接圓半徑為R1,則R1=b2sinB=22sinπ3=233.因為△ABC是銳角三角形,