《全品高考復(fù)習(xí)方案》第26講余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例1.A[解析]如圖,由題意知AB=40×12=20(海里),∠ABC=85°-40°=45°,∠BAC=40°+65°=105°,∠ACB=180°-(105°+45°)=30°,由正弦定理得BCsin105°=20sin30°,則BC=40sin105°=40×sin(60°+45°)=40×32×22+12×22.A[解析]在Rt△ADE中,AE=DEtan30°=33DE,則DE=3AE.在Rt△ACE中,AE=CEtan45°=CE,則CD=DE-CE=3AE-AE=(3-1)AE=a,解得AE=a3-1=3+12a,所以AB=AE+BE=3.D[解析]在△BCD中,∠BCD=15°,∠CDB=30°,所以∠CBD=180°-15°-30°=135°,又CD=48,由正弦定理得CDsin∠CBD=CBsin∠CDB,即4822=CB12,可得CB=242.在Rt△ABC中,AB=BCtan60°=246,即樹(shù)高AB4.C[解析]在Rt△ABM中,BM=AMsin∠ABM=300sinπ4=3002(m).在Rt△BCN中,BN=CNsin∠CBN=300sinπ6=600(m).在△BMN中,MN2=BM2+BN2-2BM·BNcos∠MBN=(3002)2+6002-2×3002×600×225.C[解析]連接AC,可得∠ABC=45°,∠ACD=75°-15°=60°,∠BCD=75°+45°=120°,則∠ACB=∠BCD-∠ACD=120°-60°=60°.在△ABC中,由正弦定理得ABsin∠ACB=ACsin∠ABC,即10332=AC22,則AC=102km.在△ACD中,由余弦定理得AD2=AC2+CD2-2AC·CDcos∠ACD=152,6.C[解析]設(shè)OM=xm.在Rt△OMA中,OMOA=tan∠OAM=tan30°,則OA=3x;在Rt△OMB中,OMOB=tan∠OBM=tan60°,則OB=33x;在Rt△OMC中,OMOC=tan∠OCM=tan45°,則OC=x.在△OAB中,由余弦定理得cos∠OBA=OB2+AB2-OA22OB·AB=13x2+502-3x22×33x·50.在△OBC中,由余弦定理得cos∠OBC=OB2+B7.C[解析]在△ACD中,∠CAD=75°,sin75°=sin(45°+30°)=22×32+22×12=6+24,由正弦定理可得AC=CD·sin60°sin75°=32-62(km).在△BCD中,∠CBD=45°,由正弦定理得BC=CD·sin30°sin45°=22(km).在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-8.BCD[解析]對(duì)于A,在△ACD中,由正弦定理得ACsinθ=CDsin(β-θ),所以AC=asinθsin(β-θ)米,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,在Rt△ABC中,AB=ACsinβ=asinθsinβsin(β-θ)米,故B正確;對(duì)于C,在△ACD中,由正弦定理得ADsin(π-β)=CDsin(β-θ),所以AD=asin9.19[解析]由余弦定理得AB=CA25+9-30×12=1910.解:(1)由題意得,AB=153海里,BC=3×7=21(海里),∠ABC=30°.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2·AB·BC·cos∠ABC=(153)2+212-2×153×21×cos30°=171,所以AC=319海里.(2)甲船能沿DE方向航行前往救援,理由如下.如圖所示,連接DE,過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE,交DE于點(diǎn)F.在△ABD中,AD=ABtan∠ABC=153×33=15(海里)在△ADE中,AE=6海里,∠DAE=90°+30°=120°,由余弦定理得DE2=AD2+AE2-2·AD·AE·cos∠DAE=152+62-2×15×6×cos120°=351,所以DE=339(海里),所以AF=S△ADE12DE=12×15×6×311.6+2[解析]由題意可得△ABM是等邊三角形,則BM=2千米.記直線AN與直線BM的交點(diǎn)為O,則∠AOB=180°-∠BAN-∠ABM=90°,所以AN⊥BM,O為BM的中點(diǎn),所以△BMN為等腰三角形.由cos75°=cos(45°+30°)=6-24,得BN=MN=OBcos∠NBM=1cos75°=612.5+33[解析]如圖所示,過(guò)M作MD⊥CN于點(diǎn)D,過(guò)N作NE⊥PA于點(diǎn)E,由題意易知AE=NC=4m,MB=3m,ND=1m,∠NMD=15°,∠PNE=30°.易知tan15°=tan(45°-30°)=tan45°-tan30°1+tan45°·tan30°=2-3,sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=6+24,所以NDMD=1MD=2-3,則MD=2+3m,則BC=MD=2+3m.在△ABC中,由題意可知∠BAC=75°,根據(jù)正弦定理得BCsin75°=ACsin45°,則AC=sin45°·BCsin75°=22×(2+3)6+24=313.北偏東53°08'20nmile/h[解析]依題意,在△ABD中,∠DAB=45°,由余弦定理得DB2=AD2+AB2-2AD·AB·cos45°=(142)2+162-2×142×16×22=200,所以DB=102nmile,即此時(shí)該外國(guó)船只與D島的距離為102nmile.如圖,過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AD于點(diǎn)在Rt△ABC中,AC=BC=82nmile,則CD=AD-AC=62(nmile),設(shè)以D為圓心,12為半徑的圓交BC于點(diǎn)E,連接AE,DE.在Rt△DEC中,CE=ED2-CD2=62(nmile),則BE=22nmile,又AE=AC2+CE2=102(nmile),所以sin∠EAC=CEAE=35,則∠EAC≈36°52'.可得外國(guó)船只到達(dá)點(diǎn)E所需的時(shí)間t=BE4=22(h),則海監(jiān)船的速度v≥14.解:(1)在△ABC中,由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC×ABcosπ3=1002+2002-200×200×12所以BC=1003米.(2)因?yàn)椤螦DB=π3,所以∠DAB∈0,2π3.記由正弦定理得ABsin∠AD