高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市朝陽(yáng)區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題共50分）一?選擇題共10小題，每小題分，共50分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由直線的傾斜角為可知斜率為，再因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，由點(diǎn)斜式直線方程得：，整理得：，故選：B.2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】雙曲線的漸近線方程為.故選：C.3.已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C.4.已知是等比數(shù)列，，則（）A.5 B.12 C.20 D.50【答案】D【解析】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，設(shè)公比為，由題意得，所以，故選：D.5.如圖，在三棱柱中，分別為棱的中點(diǎn).設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】.故選：A.6.圓心為且與直線相切的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】點(diǎn)到直線的距離，因?yàn)閳A與直線相切，所以圓的半徑，所以圓的方程為.故選：B.7.已知是直線的方向向量，是平面的法向量，若，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.1 D.4【答案】A【解析】由題意可知，，所以，即，解得：.故選：A.8.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由是等差數(shù)列，，得，所以，，不能判斷的正負(fù)，所以不能判斷,的大小，所以不能確定否遞增數(shù)列；若為遞增數(shù)列，則，即時(shí)，所以，，所以，所以是為遞增數(shù)列的必要不充分條件.故選：B.9.建設(shè)大型水庫(kù)可實(shí)現(xiàn)水資源的合理分配和綜合利用，提高水資源的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益.已知一段時(shí)間內(nèi)，甲，乙兩個(gè)水庫(kù)的蓄水量與時(shí)間的關(guān)系如下圖所示.下列敘述中正確的是（）A.在這段時(shí)間內(nèi)，甲，乙兩個(gè)水庫(kù)蓄水量的平均變化率均大于0B.在這段時(shí)間內(nèi)，甲水庫(kù)蓄水量的平均變化率大于乙水庫(kù)蓄水量的平均變化率C.甲水庫(kù)在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于乙水庫(kù)在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率D.乙水庫(kù)在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于乙水庫(kù)在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率【答案】D【解析】對(duì)A：由圖可知，在這段時(shí)間內(nèi)，甲水庫(kù)蓄水量的平均變化率小于，乙水庫(kù)的蓄水量的平均變化率大于，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：由圖可知，在這段時(shí)間內(nèi)，甲水庫(kù)蓄水量的平均變化率小于，乙水庫(kù)的蓄水量的平均變化率大于，故甲水庫(kù)蓄水量的平均變化率小于乙水庫(kù)蓄水量的平均變化率，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：由圖可知，甲水庫(kù)在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率小于，乙水庫(kù)在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于，故甲水庫(kù)在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率小于乙水庫(kù)在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：由圖可知，乙水庫(kù)在時(shí)刻蓄水量上升比在時(shí)刻蓄水量上升快，故乙水庫(kù)在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于乙水庫(kù)在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率，故D正確.故選：D.10.已知數(shù)列滿(mǎn)足，設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得，由得，由此猜想：，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，滿(mǎn)足，故，因此故選：A.第二部分（非選擇題共100分）二?填空題共6小題，每小題5分，共30分.11.已知空間向量，則___________.【答案】【解析】由.12.設(shè)直線，若，則實(shí)數(shù)___________.【答案】【解析】直線，若，則，所以.13.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則___________；點(diǎn)在拋物線上，若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)__________.【答案】【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以有；設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，該拋物線的準(zhǔn)線方程為：，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以根據(jù)拋物線的定義，由.14.某校計(jì)劃新建一個(gè)容納個(gè)座位的階梯教室，若設(shè)置排座位，且從第二排起每一排都比前一排多個(gè)座位，則第一排需設(shè)置的座位數(shù)為_(kāi)__________.【答案】【解析】設(shè)第排的座位數(shù)為，由題意可知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，由題意可得，解得.15.已知曲線且.若為雙曲線，則的一個(gè)取值為_(kāi)__________；若為橢圓，則的所有可能取值為_(kāi)__________.【答案】3（答案不唯一）【解析】若為雙曲線，則，解得或，又，所以一個(gè)取值可能為3；若為橢圓，則，解得且，又，所以的所有可能取值為；故答案為：3（答案不唯一）；.16.在長(zhǎng)方體中，為棱上的動(dòng)點(diǎn)（不與重合），在直線上的點(diǎn)滿(mǎn)足.給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②為定值；③存在點(diǎn)，使得平面平面；④存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為2.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.【答案】①④【解析】在長(zhǎng)方體中，，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，由，得，解得，對(duì)于①，，，因此，①正確；對(duì)于②，，不是常數(shù)，因此不為定值，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由平面，得平面，即平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，即不垂直，因此不存在點(diǎn)，使得平面平面，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，點(diǎn)到平面的距離，若，則，整理得，解得，因此存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為2，④正確，所以所有正確結(jié)論的序號(hào)是①④.三?解答題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.17.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：（1），，又，所以切線方程為，即．（2），定義域是，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是．18.已知是公比大于1的等比數(shù)列，，且成等差數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若是等差數(shù)列，且.設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)等比數(shù)列公比為，因成等差數(shù)列，則.則；（2）設(shè)公差為d，因，則，得.則，故19.如圖，在六面體中，為的中點(diǎn)，四邊形為矩形，且，.（1）求證：平面；（2）再?gòu)臈l件①，條件②，條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求平面與平面的夾角的余弦值.條件①：；條件②：的面積為；條件③：六面體的體積為16.注：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.（1）證明：已知四邊形為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，鄰邊相互垂直，所以，又，并且，平面，所以平面.（2）解：選擇條件①：，因?yàn)槠矫?，所?在中，根據(jù)勾股定理，已知，，則.因?yàn)?，，所以?xún)蓛纱怪?，可建立空間直角坐標(biāo)系，得到，，，，.進(jìn)而得到，.設(shè)平面的法向量為，由，即，令，則，，于是.因?yàn)槠矫?，所以是平面的法向?設(shè)平面與平面的夾角為，則.選擇條件②：的面積為，因?yàn)?，，所?由面積為，可得，即.以下同選擇條件①的計(jì)算過(guò)程求出平面與平面的夾角余弦值為.選擇條件③：六面體的體積為16，在中，，為的中點(diǎn)，所以，.且，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，平?所以平面.六面體的體積，根據(jù)體積公式，已知，可得.又因?yàn)椋?，所?以下同選擇條件①的計(jì)算過(guò)程求出平面與平面的夾角余弦值為.20.已知橢圓的右頂點(diǎn)為，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn).在軸上是否存在點(diǎn)使得直線與直線的斜率之和為0？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在.說(shuō)明理由.解：（1）因橢圓右頂點(diǎn)為，離心率為，則，故橢圓方程為：；（2）由題，設(shè)直線方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，可得.因直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，則.設(shè)，由韋達(dá)定理.又設(shè)，則，又，則.則.故軸上存在點(diǎn)使得直線與直線的斜率之和為0.21.給定正整數(shù)，設(shè)數(shù)列、、、滿(mǎn)足.對(duì)于正數(shù)，定義，其中表示數(shù)集中最大的數(shù).記某合，設(shè)的元素個(gè)數(shù)為.（1）寫(xiě)出集合、；（2）若，求的所有可能取值；（3）證明：存在無(wú)窮多個(gè)使得.（1）解：因?yàn)閿?shù)列，，，則，數(shù)列，，，，則.（2）解：由題意可得.由（1）可知，當(dāng)或時(shí)，，不合乎題意，所以，，對(duì)于給定的，因?yàn)?，所以，，即，?dāng)時(shí)，且，所以，，，因?yàn)?，所以，，所以，，即，又因?yàn)?，解得、、、或，?dāng)時(shí)，，，合乎題意；當(dāng)時(shí)，，，合乎題意；當(dāng)時(shí)，，，合乎題意；當(dāng)時(shí)，，，合乎題意；當(dāng)時(shí)，，，不合乎題意