§8.3直線、平面垂直的判定和性質

—五年高考一

考點直線、平面垂直的判定與，性質

1.（2019課標///,8,5分）如圖，點/V為正方形的中心，△億。為正三角形，平面“21平面

/8C。,例是線段距的中點，則（）

A.8%￡7V,且直線8ME7V是相交直線

B.泓勝￡7V,且直線8ME7V是相交直線

C/%￡A/,且直線6M日V是異面直線

D.8/淤&V,且直線8M￡7V是異面直線

答案B

2.（2019:1匕京,12,5分）已知是平面。外的兩條不同直線.給出下列三個論斷：

i）ZL/77；②詞為3/L（2.

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命

題:.

答案若則"7|向或"7||a,Zta,則ZL/77）

3.（2021新高考//J9）在四棱錐Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若

AD=2,QD=Q/=V5,QO3

（1）證明:平面Q4Z?JL平面ABCD、

（2）求二面角B-QD-A的余弦值.

解析(1)取力。的中點￡連接QFC￡

由于。氏。4故QELAD.

在Rf中,Q￡=JQJ?-的二J（遙猿-M=2.

在RtCDEcp,CE=>/DC2+DE2=V22+12=V5.

在△QCE中,QP+C戶=QCnQEI.CE,

又.：C8\AD=~E、CE、力g平面力8C。,

二.Q且平面ABCD.

又QG平面QAD、

平面Q421"平面ABCD.

⑵以￡為原點建系，如圖所示,

則僅2,-1,0),。0,0,2)40,1,0)40,-1,0).

顯然，平面。4。的一個法向量為“尸(1,0,0),而二(-2,1,2),防二(-2,2,0).

設平面8。。的法向量為/?2=Uy,z),

nBQ=0,-2x+y+2z=0,

則2nx=y=2乙

-2x+2y=0

n2BD=0

取伍二(221).

設二面角B-QD-A的大小為&易知8為銳角,

貝cos陽cos<m〃2>|二黯二鬲，

故二面角B-QD-A的余弦值為今

4.（2021新高考/,20,12分）如圖，在三棱錐A-BCD中，平面■平面BCD,AB=AD,O為BD

的中點.

⑴證明：。4斂

⑵若△OC。是邊長為1的等邊三角形，點￡在棱力。上,?！甓?日,且二面角68。-。的大小為

45。,求三棱錐48。的體積.

解題指導（1）正確利用面面垂直的性質定理是證明第一問的關鍵.（2）可用二面角定義找出

二面角的平面角，進而求出三棱錐488底面8。上的高及體積，也可選擇建立空間直角坐

標系，根據(jù)已知條件求出三棱推48。底面8C。上的高，進而求出其體積.

5.（2020課標/,18,12分）如圖，。為圓錐的頂點Q是圓錐底面的圓心,工￡為底面直徑乂￡二41

是底面的內接正三角形，尸為。。上一點/O二小。C

O

⑴證明:〃U平面PBC、

（2）求二面角8-PC-E的余弦值.

解析⑴證明：設由題設可得PO=^a,AO=^a,AB=a,PA-PB=PC-亨a因此

244*二月慶從而PAiPB又%化二/比故PALPC又PSPOP,

空間想象能力、邏輯推理能力和運算能力;通過平面圖形與立體圖形的轉化，考查了直觀想象

和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

(1)證明:由已知得力〃|8￡8|8￡所以/W||CG故/OCG確定一個平面，從而4CG。四點共

面.

由已知得ABLBE,ABLBC,且B3BC=B,

故力縱平面BCGE.

又因為2斤平面力比所以平面/紇L平面BCGE.

⑵作EH上BC,垂足為H因為麗平面8CG￡平面比&1平面/8C,所以￡7九平面ABC.

由已知，菱形8CGF的邊長為2/e。二60。,可求得BH=1,EH=6.

以〃為坐標原點用C的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系H-xyz,

則4-l,LO），ai,OQ）,鼠2,0,次）廁庶二（1,0,百）,前二（2,40）.

設平面2CG。的法向量為n=(x,y,z),

則像:*x+>/3z=0,

2x-y=0.

所以可取〃二(3,6,-8).

又平面8CGE的法向量可取為/77=(0,1,0),

uLi、rnm6

所以COS</7,/77>=—=—

2

因此二面角B-CG-A的大小為30。

思路分析(1)利用折疊前后力。與BE.CG與然的平行關系不變，可得/aCG進而可得AC、

G、D四點共面.由折疊前后不變的位置關系可得力以8￡力以女；從而力81?平面8CG￡莊面面

垂直的判定定理可得結論成立.

⑵作EHiBC于必由⑴可得曰在平面力8c以〃為坐標原點，配的方向為x軸的正方向，建立

空間直角坐標系，求得平面的法向量，進而求得二面角B-CG-A的大小.

7.(2017課標〃/,19,12分)如圖,四面體ABCD中,T如是正三角形,是直角三角形/

AB44CBD,AB=BD.

(1)證明:平面/CZX平面ABC,

⑵過/C的平面交8。于點6若平面力紇把四面體力8。分成體積相等的兩部分，求二面角

。-的余弦值.

解析本題考查面面垂直的證明,二面角的求法.

(1)由題設可得,△/噂△C8。,從而AD=DC.

又必。是直角三角形，所以工力。090°

取力C的中點。連接00,80則DOLAQDOAO.

又由于是正三角形，故BOLAC.

所以工。。8為二面角。-4C-8的平面角.

在RM/O8中上行+力^二工發(fā)

又演=8。,所以8行+。。?=8。2+/。2二44二必，故40年90。所以平面/4C01平面ABC.

⑵由題設及⑴知Q4O8Q。兩兩垂直.以。為坐標原點，礪的方向為x軸正方向,|萬?|為單位

K,建立如圖所示的空間直角坐標系則41,0,0),40,6,0),a-lQ,0),ZX0Q,l).

由題設知,四面體/I8CE的體積為四面體力比。的體積的;，從而￡到平面/8C的距離為。到

平面力史的距離的/即E為08的中點，得E(O.y,0.故

同二(-1,0,1),市=(-2,0,0),荏=(-1,

設是平面。力￡的法向量，

-x+z=0,

則嚅二a-%+9+*0可取4(1，豹

mAC=0,

設刀是平面2紇的法向量很IJ

m^AE=0.

同理可取m=(0,-ltV3).

nm_y/7

則CQS<n,m>-

易知二面角。-為銳二面角,

所以二面角的余弦值為學

8.(2018課標〃,20,12分)如圖，在三棱錐248。中第8=8。二2混,以二陽=0。二47二4,。為47

的中點.

⑴證明W平面ABC,

⑵若點例在棱義?上，且二面角M-PA-C為30；求PC與平面外服所成角的正弦值.

解析⑴證明:因為為/C的中點,

所以OP±AC,ROP=243.

連接08因為AB=BC=與AC

所以為等腰直角三角形,

且O81ACfOB=^AC=2.

由。回十?二3,知PO1.OB.

由。幺。8。0_/￡。//40。知POL平面ABC.

⑵如圖，以。為坐標原點，礪的方向為x軸正方向,建立空間直角坐標系dxyz.

由已知得［0,0,0),用2,0,0),4。,-2,0),。0,2,0),%),0,2封，則而二(0,2,28).取平面PAC的法

向量而二(2,0,0).

設政己2毋0)(032),則詢:(a,4-a0).

設平面必服的法向量為n=(x,y,z).

由彳及"二0,前。仄。得

2y1=°'可取gg(a-4),岳,-3),

(ax+(4-a)y=0,

所以cosv甌＜＞=I2"-4)

2J3(a-4)2+3a2+a2

由已知可得Icosv而,"＞|二景

所以12何54

2j3(a-4)2+3a2+a2

解得a二-4(舍去)或a-\.

所以它萼，孥母

又無二(0,2,-26),所以cos＜無,〃＞二*

所以巾與平面外例所成角的正弦值為當

以下為教師用書專用(1一20)

1.(2019課標〃文17,12分)如圖，長方體/比O-48G2的底面/交。是正方形，點￡在棱441

上gEC\.

⑴證明:必平面ED-.C\\

⑵若/￡=4￡/氏3,求四棱錐G'EGC的體積.

解析本題考查了長方體的性質、直線與平面垂直的判定與性質和錐體的體積，考查了空間

想象能力，主要體現(xiàn)了邏輯推理和直觀想象的核心素養(yǎng).

⑴由已知得8aL平面力￡84,弼平面力8呂4,故B'GBE.

又阻所以8且平面EBC.

(2)由⑴知nBEB—由題設知Rt△ABE建Rt△ABE,所以/AEB=/4用=45°,故

AE^AB^3,AA^2AE^.

作垂足為石則田平面BBCC&EF二AB=3.

所以，四棱錐&88GC的體積^X3X6X3=18.

思路分析⑴由長方體的性質易得8q_18￡再利用直線與平面垂直的判定定理求證;⑵求該

四棱錐的體積的關鍵是求高，利用平面與平面垂直的性質定理可知只需過￡作88的垂線即

可得高.

解題關鍵由長方體的性質找桀的垂線和平面的垂線是求解的關鍵.

2.(2015陜西18,12分)如圖1,在直角梯形力8C。中,49||8CN私氏*力族=是2。

的中點，。是力。與融的交點.將△/1能沿房折起到圖2中乂州的位置，得到四棱錐4?&7?！?/p>

(1)證明:C0J■平面4OC

⑵當平面48且平面8CRF時,四棱錐4-8CZ乃的體積為36夜，求a的值

解析(1)證明:在題圖1中，

因為二及7二。氏3,￡是4？的中點，

/以。二之所以BE1.AC.

即在題圖2中、BELA\O,BELOC,

又A\OC\OC—O,

從而阻平面A\OC,

又。||8￡

所以C0J■平面A-.OC.

(2)由已知，平面4組平面BCDE、

且平面4的平面BCDE=BE,

又由⑴知,4■明

所以4d平面BCDE、

即4。是四棱錐4-8C0E的高.

由題圖1知,464力8二43,平行四邊形8C0E的面積

S=8C-AB=^.

從而四棱錐4-&?。￡的體積為

1.八_12>/203

Vlz^-'XA.O--^3^—3=—3,

53/b

由g'二3675,得a=6.

o

評析本題首先借“折疊”問題考查空間想象能力,同時考查線面垂直的判定及面面垂直性質

的應用.

3.(2015福建,20,12分)如圖是圓。的直徑，點。是圓O上異于48的點垂直于圓。

所在的平面，且PO-OB-1

(1)若。為線段力。的中點，求證:4C1平面PD。、

⑵求三棱錐體積的最大值；

⑶若BC=0點、￡在線段組上，求的最小值.

解析⑴證明:在T。。由因為。力二。。,。為/。的中點，所以/CL。。

又QO垂直于圓O所在的平面，

所以PO1AC.

因為D8PO=O,

所以/CL平面PDO.

⑵因為點。在圓。上，

所以當CQL/夕時，。到力8的距離最大，且最大值為1.

又力族2,所以T8C面積的最大值為:x2xl=1.

又因為三棱錐2/8C的高Pg,

故三棱錐249c體積的最大值為3卜1乏.

(3)解法一:在aPOB中,=1,"。8=90°,

所以所="?+l?=魚.同理，?C=?，所以PD=PC=DC.

在三棱錐2/8。中,將側面BCP級能所在直線旋轉至平面紀夕,使之與平面2m共面:如圖

所示.

當。,￡，共線時,0￡+?！耆〉米钚≈?

又因為OP=OBCP=CB再以0c垂直平分PB,

即E為附中點.從而00OE+EC'4+*巫箸、

亦即。￡+?！甑淖钚≈禐楫斔?/p>

解法二:在△戶。8中，吟08二L2。。8=90°,

所以工。。8=450/8=>/12+12二或同理pc=y/2.

所以PB^PC=BC,所以zCPB=6b：

在三棱錐249。中,將側面BCP繞陽所在直線旋轉至平面勿知吏之與平面力仍共面,如圖

所示

當。乙。共線時,3'+OT取得最小值.

所以在△OCP中，由余弦定理得：

OC?二l+2-2xlx&xcosgo+GO")

=1+2-2a(yX^-yXy)=2+V3.

從而二當^

所以C￡+O￡的最小值為手+容

評析本題主要考查直線與平面的位置關系、錐體的體積等基礎知識,考查空間想象能力、

推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想.

4.(2014福建文,19,12分)如圖,三棱錐A-BCD中/以平面BCD,CD工BD.

⑴求證J■平面ABD,

⑵若AB二BACALM為AD中點，求三棱錐的體積.

解析⑴證明:,??/合?平面8CO,Cg平面BCD,:.ABiCD.

又?「CA180/&1丘8/斤平面/8。,除平面ABD、

二.皿■平面ABD.

⑵解法一:由力以平面88,得ABLBD.

,:AB=BD=L

?.?用是4?的中點,

S--A8M--St-A8D--.

24

由⑴知,CZA平面ABD,

???三棱錐的高h=CD=lt

因此以“2%〃二卷

解法二:由力縱平面優(yōu)。知，平面力821平面BCD,

又平面力孫平面BCD=BD,

如圖，過點M作MNLBD交8。于點/V,

則MM?平面BCD,且

又CDiBD,BBC6\,

三棱錐4A48C的體積VA-MBC—VA-BCD-V\4-8CD

JABSSC-GMNS—*.

ODX￡?

5.（2014山東文,18,12分）如圖,四棱錐2498中,/幺平面％。/4|比；力片紀二/。,￡尸分別

為線段/O/C的中點.

⑴求證:力利平面BEF\

（2）求證:8a平面PAC.

H

證明（1）設力68￡二。,連接OE￡C

由于二為49的中點,

AB=BC=^AD,AC^BC,

所以力臼|8&力￡二/故8c

因此四邊形/8C￡為菱形,

所以。為/。的中點.

又尸為%的中點，

因此在△外。中，

可得力修。￡

又OE平面8優(yōu)/中平面BEF,

所以力耳平面86：

⑵由題意知E功BCED二BC

所以四邊形8cos為平行四邊形，

因此8^CD.

又力幺平面PCDQg平面PCD,

所以4包8,因此APLBE.

因為四邊形/8C￡為菱形，

所以BELAC.

又平面PAC,

所以阻平面PAC.

6.（2014廣東文18,13分）如圖1,四邊形ABCD為矩形,〃入平面ABCD,AB=1,BC=PC=2^

圖2折疊:折痕仔||。￡其口點￡尸分別在線段PD、PC上、沿爐折疊后點P在線段力。上的點

記為M并且MF1.CF.

⑴證明:平面MDF\

⑵求三棱錐例-C05的體積.

解析⑴證明:?“21■平面力交。，

力平面ABCD,「.PD1AD.

???四邊形是矩形,?,/CLOC

又,:P8DC=D,/ZX平面PCD.

?.?C"=平面PCD,；.ADiCF.

又?：MFLCF,MKABM,

.??C8平面MDF.

(2)由(1)知CFiDF、PDiDC,

在&PCD0Qd二CFPC.

?rr-^2-1

又.”HOC

.PCFC廣?PDFC氏；V3

??獷萬3

:.PE二ME二代-詈冒

44

Sscaf二:。苧二筆

在RHMDE中,MgME2-ED?爸,

.1/lc1厄顯&

=X

…VM-CD￡-□SD^coeO"MDZ=Q1OVV-7Z-

7.(2013廣東文,18/4分)如圖1,在邊長為1的等邊三角形ABC中，。工分別是力8力。上的

點尸是的中點，/尸與0￡交于點G將Mb尸沼/尸折起，得到如圖2所示的三棱錐

486其中Be/.

B

圖1

圖2

⑴證明:。日I平面BCF\

⑵證明:C8平面/防

⑶當力氏2時，求三棱錐的體積W*

解析⑴證明:在等邊三角形ABC中,47=%.??黑二祭在折疊后的三棱錐A-BCF中也成

UDDL

立,???。日?二平面比'￡8。:平面BCF,，。臼|平面BCF.

(2)證明:在等邊三角形中，廠是的中點，

:.AFiBCBF=CF^.

???在三棱錐4%尸中,80號

：.Bd=BF+Cj：.CFiBF.

BR\AF二F,「.S平面ABF.

⑶由⑴可知G用CE結合⑵可得G￡JL平面DFG.

二?心的二%由=5?沙G廠GGF?若?白魯

評析本題考查線面平行、線面垂直的證明以及空間幾何體體積的計算，考查立體幾何中翻

折問題以及學生的空間想象能力和邏輯推理論證能力抓住翻折過程中的不變量是解決這類

問題的關健，笫⑶問的關鍵在于對幾何體的轉化.

8.(2012北京文,16,14分)如圖1,在Rt△力%中,工。二90。。￡分別為/金I8的中點，點尸為線段

8上的一點.將△/)上沿折起到的位置，使42。。,如圖2.

(1)求證:。日I平面4。%

⑵求證：488￡

(3)線段48上是否存在點。使4cL平面說明理由.

解析

所以D^BC.

又因為平面4c8,

所以。日平面AxCB.

⑵證明:由已知得力618。且D￡\\BC,

所以DELAC.

所以DE工AQQEiCD.

因為4門心。所以。￡1平面AQC.

而4匹平面40C所以DHAF

又因為A\FiCD,C8DE=D,

所以4a平面8CDE所以A'F'BE.

⑶線段48上存在點。使4?！銎矫胬碛扇缦?

如圖,分別取4C48的中點只。連接PQ貝IJPCJBC.

又因為。臼18c

所以D^PQ.

所以平面。&?即為平面DEP.

由⑵知，西平面A\DC,

所以DE工AC

又因為戶是等腰三角形。4C底邊4C的中點，

所以4C1OQ

所以4cl平面DEP.

即4cL平面DEQ.

故線段48上存在點。使得4d平面DEQ.

評析本題的前兩問屬容易題，第⑶問是創(chuàng)新式問法,可以先猜后證，此題對于知識掌握不牢

靠的學生而言，可能不能順利解答.

9.(2019課標/〃文19,12分)圖1是由矩形8c和菱形8尸GO組成的一個平面羽形,

其中/8二1,8￡二止2/用。=60°將其沿力氏8。折起使得BE與8尸重合，連接。6如圖2.

(1)證明:圖2中的4CGZ?四點共面,且平面/8C1平面BCGE；

(2)求圖2中的四邊形/CG。的面積.

解析本題考查了線面、面面垂直問題，通過翻折、平面與平面垂直的證明考查了空間想象

能力和推理論證能力，考查了直觀想象的核心素養(yǎng).

⑴由已知得力白|必田|8￡所以力aCG故4?,CG確定一個平面，從而4CG。四點共面.

由已知得ABiBE,ABiBC,極力以平面BCGE.

又因為工氏平面力能所以平面/比1平面BCGE.

⑵取CG的中點M連接EMQM.

D,

E(fy

M

因為力冏|?！炅?1■平面所以。且平面BCGE椒DELCG.

由已知，四邊形8CG￡是菱形，且“8仁60得EMLCG,故CGJ■平面DEM.

因此DM4G.

在由匕DEM中QE=LEM=g,故DM=2.

所以四邊形力CG。的面積為4.

思路分析⑴翻折問題一定要注意翻折前后位置的變化,特別是平行、垂直的變化而矩形、

直角三角形中的垂直關系利用線面垂直、面面垂直的判定定理可證兩平面垂直;而由平行公

理和平面的基本性質不難證明四點共面.⑵根據(jù)菱形的特征結合⑴的結論找到菱形8CGE的

邊CG上的高求解.

解題關鍵抓住翻折前后的垂直關系,靈活轉化線線垂直、線面垂直和面面垂直，題中構造側

棱的特殊"直截面"△?！昀潜绢}求解的關鍵和難點.

10.（2018課標/文,18,12分）如圖,在平行四邊形4及?川中,46二/6'=3,"。％90。以上。為折

痕將必C/M折起，使點而到達點。的位置，且力電。4

⑴證明:平面力C0J■平面ABC,

⑵。為線段/。上一點/為線段及;上一點，且冷。。4。力,求三棱錐。-力酎的體積.

解析⑴證明:由已知可得

又HU4?,所以力因■平面ACD.

又/斤平面ABC,

所以平面平面ABC.

⑵由已知可得,。UC%/族3,。力二3企.

又際。8箭4所以BP=2y/2.

作QSUC垂足為￡則QE=\DC,Q^DC.

由已知及(1)可得0G平面ABC,

所以。且平面ABC,QE=\.

因此,三棱錐Q-力加的體積為

VQABP-^QES&A.=9X1x;x3x2&sin450=1.

規(guī)律總結證明空間線面位置關系的一般步驟：

⑴審清題意:分析條件,挖掘題目中平行與垂直的關系；

⑵明確方向:確定問題的方向，選擇證明平行或垂直的方法,必要時添加輔助線；

⑶給出證明:利用平行、垂直關系的判定或性質給出問題的證明；

⑷反思回顧:查看關鍵點、易漏點，檢查使用定理時定理成立的條件是否遺漏，符號表達是否準

確.

解題關鍵⑴利用平行關系將〃C%90轉化為=90。是求證第⑴問的關鍵；

⑵利用翻折的性質將〃C/90年?；癁椤?。=90斌而利用面面垂直的性質定理及線面垂

直的性質定理得出三棱錐。/妙的高是求解第⑵問的關鍵.

11.(2018課標全國/〃文19,12分)如圖,矩形力88所在平面與半圓弧比所在平面垂直，〃是

CD上異于的點.

(1)證明:平面/w，平面BMC、

⑵在線段/例上是否存在點。，使得平面尸命?說明理由.

解析本題考查平面與平面垂直的判定與性質、直線與平面平行的判定與性質.

⑴證明:由題設知，平面OV/2L平面ABCD玄線為.因為比18,83平面49C2所以BQ

平面CMD,故BC1.DM.

因為〃為曲上異于C。的點，且。。為直徑，所以DMLCM.

又所以0ML平面BMC.

而。例c平面故平面/MAL平面BMC.

⑵當P為4W的中點時"Q平面PBD.

證明如下:連接力。交8。于a

因為48。為矩形，所以。為/C中點.

連接因為P為力酎中點，所以MC^OP.

例&平面PBDQN平面PBD,所以例。|平面PBD.

易錯警示使用判定定理和性質定理進行推理證明時要使條件完備.

12.(2018北京文18,14分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面以21平面

ABCD、PA\PD、PA=PD、E、F分荻為4?,陽的中點.

(1)求證:阻8c

⑵求證:平面外電平面PCD,

(3)求證:￡修平面PCD.

證明⑴因為以二電石為4?的中點,

所以PELAD.

因為底面/8C。為矩形，

所以BC^AD.

所以PEi.BC.

(2)因為底面為矩形，

所以AB1.AD.

又因為平面以21平面ABCD,

所以/a平面PAD.

所以AWPD

又因為PA工PD,

所以QA1平面PAB.

所以平面必因?平面PCD.

⑶取切中點G,連接FGQG.

R

因為石G分別為27,化的中點,

所以F0BC、FGfBC.

因為ABCD為矩形，且￡?為力。的中點，

所以D^BCQE=;BC.

所以D^FGQE二FG.

所以四邊形為平行四邊形.

所以EPiDG.

又因為￡用平面PC。,。欠平面PCD,

所以閉平面PCD.

13.(2018江蘇,15,14分)在平行六面體力8C0-481G2中,/4=49/8」8心.

求證：(1)力例平面AxB-.C,

⑵平面/88/U■平面AiBC.

證明本題主要考查直線與直線、直線與平面以及平面與平面的位置關系，考查空間想象能

力和推理論證能力.

(1)在平行六面體力8。。-48￡2中/司4員

因為平面48iC48u平面A\BiC,

所以/旬平面48c

⑵在平行六面體力比。-48￡。中,四邊形ABBxA,為平行四邊形.

又因為A4尸/8,所以四邊形ABB-.Ax為菱形，

所以AB^B.

因為ABIA-BLCI,B\CI,

所以ABdBC.

又因為4/808,4廬平面48c83平面A、BC,

所以28」平面AiBC,

又因為/81u平面ABB\A\y

所以平面力88：4_L平面48c

14.(2017課標/文,18,12分)如圖，在四棱錐2498中，工用8,且/以4NC。六90;

⑴證明:平面外以平面PAD、

O

⑵若以二止/醫(yī)。C,〃尸。二90。,且四棱錐2/比。的體積為曰求該四棱錐的側面積.

解析本題考查了立體幾何中面面垂直的證明和二面角問題.

⑴由已知//!六zCDP=90°,得ABLAP,CDLPD.

由干力創(chuàng)CO,故26J。，

又ARP慶P,AP,Pg平面以。，從而/因■平面PAD.

又力醫(yī)平面PAB,

所以平面以8J■平面PAD.

(2)在平面以。內作陽/。，垂足為E.

由(1)知/以平面PAD、

故力以陷可得阻平面ABCD.

設/族X,則由已知可得AD=y/2xtPE=^x.

故四棱錐2月8co的體積VP.A8CD=\A&AD-PE^.

由題設得“總故42.

從而PA=PD=2tAD=BC=2\/2,PB=PC=2V2.

可得四棱錐2/比。的側面積為3外/。弓外以600=6+2V3.

方法總結1.面面垂直的證明.

證明兩個平面互相垂直，可以在一個平面內找一條直線4證明直線/垂直于另一個平面.

2.線面垂直的證明.

⑴證明直線/垂直于平面內的兩條相交直線.

⑵若已知兩個平面垂直,則在一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面.

3.幾何體的體積.

柱體的體積匕S底力.

錐體的體積片基底力.

4.幾何體的表面積.

直棱柱的側面積S狽尸。底1其他幾何體一般要對各個側面、底面逐個分析求解面積，最后求和.

15.(2017課標〃農,19,12分)如圖,四面體貼。中,A/WC是正三角形

(1)證明乂

⑵已知是直角三角形,/夕二及7若E為棱BD上與D不重合的點，且/且求四面休

力8。￡與四面體的體積比.

B

解析⑴證明:取力。的中點。連接DO,BO.

因為49=C0,所以AC'DO.

又由于緒慶;是正三角形，所以ACLBO.

因為D8B8O,

所以2C1平面DOB、

因為町平面DOB,

所以為C182

(2)連接EO.

由⑴及題設知〃。。二90。，

所以DOAO.

在Rt△力08中,力。^二月4.

又2族8。,所以Bd+Dd=BU+AG二AE二B"

故/。。8=90。.

由題設知△/&?為直角三角形，

所以EO=\AC.

又切墳7是正三角形，且AB=BD,

所以EO=\BD.

故￡為8。的中點，從而￡到平面力8。的距離為。到平面的距離的;,四面體/&?￡的體

積為四面體49C。的體積的熱即四面體力8cA與四面體舊的體積之比為1：1.

16.(2017山東文,18,12分)由四棱柱49C248心2截去三棱錐G-8c2后得到的幾何體如

圖所示.四邊形28C。為正方形Q為2。與8。的交點才為力。的中點,4a平面/8CC

⑴證明：4。||平面B\CD\；

⑵設而是。。的中點，證明:平面4￡/141?平面BiCDi.

D

證明本題考查線面平行與面面垂直.

⑴取8。的中點。，連接ca.Aa,

由于ABCD-A-.8CQ：是四棱柱，

所以4Q||OC,40=OC,

因此四邊形A-.OCOx為平行四邊形，

所以4QIQC

又平面8。為40平面BiCD\,

所以平面B\CD\.

⑵因為4618。,￡M分別為力。和的中點，所以￡7班破又4且平面/I8C。,8g平面力8c2

所以4且8。,因為BQ'BD,

所以EM工BDAE工BD,

又4￡￡除平面AEMAGEWE,

所以80M■平面A\EM,

又801U平面8CD,所以平面4fMl■平面B-CDi.

17.（2016北京，文18,13分）如圖，在四棱錐2力比。中,％1■平面ABCD^DC.DCLAC.

⑴求證：。61平面PAC,

⑵求證:平面以51平面PAC

⑶設點E為的中點.在棱陽上是否存在點石使得外|平面。斤?說明理由.

解析（1）證明:因為平面ABCD,

所以PCWC.（2分）

又因為DCLAC.

ACC\PC^C,

所以。61平面以C（4分）

（2）證明:因為A0\DC,DCLAC,

所以（6分）

因為平面ABCD、

所以％VI8（7分）

又仆吟C

所以/a平面PAC.

又Z廬平面PAB,

所以平面以也平面以C（9分）

⑶棱用上存在點石使得必||平面CEF.（10分）

證明如下：

取陽的中點石連接EFCECF.

因為E為48的中點,

所以用|以.（13分）

又因為"C平面CEF,

所以以II平面。氏（14分）

思路分析⑴證出比1。。后易證?平面PAC.

⑵先證可證出/①平面以C進而由面面垂直的判定定理可證.

⑶此問為探究性問題，求解時可構造面使得以平行于平面內的一條線由于點E為

的中點所以可取陽的中點構造中位線.

18.（2016課標/,文18,12分）如圖,已知正三棱錐的側面是直角三角形，以二6.頂點P

在平面內的正投影為點。。在平面必8內的正投影為點￡連接吒并延長交于點

G.

⑴證明:G是4?的中點；

⑵在圖中作出點￡在平面以C內的正投影尺說明作法及理由），并求四面體以在尸的體積.

解析（1）證明:因為P在平面28。內的正投影為。，所以力囪/。

因為。在平面以8內的正投影為￡所以力必?！?/p>

又網(wǎng)。反。,所以力&■平面PED做ABLPG.

又由已知可得，以二Q8,從而G是力8的中點.

⑵在平面以8內，過點￡作期的平行線交外于點E尸即為￡在平面外C內的正投影.

理由如下:由已知可得PB*PA,PBiPC、

又田陽，所以EFiPA、EF*C,又以n%二只因此用L平面%C即點尸為￡在平面外C內的正

投影.

連接CG因為"在平面內的正投影為2所以。是正三角形力燈?的中心，由⑴知,G是28

的中點，所以。在CG上，故CD^CG.

71

由題設可得PC1平面以氏函平面以8,所以。日％，因此PE=￡PGQE*PC

由已知，正三棱錐的側面是直角三角形且外二6,可得DE=2,PE=2>/2.

在等腰直角三角形仔。中，可得EF=PF=2、

所以四面體巴乃?尸的體積^xlx2x2x2=^.

易錯警示推理不嚴謹，書寫不規(guī)范是造成失分的主要原因.

評析本題考查了線面垂直的判定和性質;考查了錐體的體積的計算;考查了空間想象能力和

邏輯推理能力.屬中檔題.

19.(2016江蘇,16,14分)如圖，在直三棱柱49。-48心中分別為力民紀的中點，點尸在側

棱88上，且4G反求證：

⑴直線。日平面4G6

(2)平面氏。￡1平面AiC-.F.

證明⑴在直三棱柱力8G48G中/心|MC

在必紀中，因為0E分別為力氏比的中點，

所以。日力C于是2EII4Q

又因為Z9g平面4GE4&U平面A\C\Fy

所以直線。H平面4GE

(2)在直三棱柱ABC-A^a中,44L平面48G.

因為4Gu平面43G,所以A\ALA\C\.

又因為4GL418,44u平面/488i4,/4i8u平面ABB\A\tA\Ar\A\B-.—A\t

所以4aL平面ABB\A\.

因為38平面力88：4,所以AxCx^BxD.

又因為81a4E4&U平面4&E4牛平面ACMCiM.F=A,

所以平面AiCiF.

因為直線8。^平面所以平面6?平面A\CiF.

評析本題主要考查直線與直線、直線與平面以及平面與平面的位置關系，考查空間想象能

力和推理論證能力.

20.(2015課標/文,18,12分)如圖，四邊形力8。為菱形,G為力。與8。的交點，組平面48C。.

⑴證明:平面力紇L平面BED,

⑵若〃交二120。,力且紇,三棱錐金力。的體積為￡求該三棱錐的側面積.

\、

二二:二二門濟、

一...........

BC

解析（1）因為四邊形498為菱形，所以4S1/?.

因為阻平面288,所以ZC18￡故/C1平面BED.

又平面/&7,所以平面4ra?平面BED.（5分）

⑵設28二X,在菱形ABCD中，由4ABe=120。，可得AG=G鷗x、GB二G哈

因為力&&7,所以在RSZ憶中，可得EG/X.

由8且平面力8C。,知為直角三角形，可得BE與,

由已知得,三棱錐后力。的體積14仙手1。由上務考.故x=2.（9分）

從而可得AE-EC-ED=y[6.

所以△&＞（7的面積為的面積與△尾，的面積均為病.

故三棱錐金力。的側面積為3+275.（12分）

-三年模擬一

A組考點基礎題組

考點直線、平面垂直的判定與，性質

1.（2021東北三省四市教研聯(lián)合體第二次聯(lián)考⑻已知直線a力與平面a￡y,能使山￡成立的

充分條件是（）

/\.a±y,/3±yD.afy/3=a,bra,b^-fl

C.allaHI?D.a||a,a±/?

答案D

2.（2021云南昆明三診一模,10）如圖Q是正方體力8C24SGD的中心。關于平面4AG2

的對稱點，則下列說法中錯誤的是（）

A.QQI平面48CD

B,平面?平面018G

C.QG_L平面AB.D\

D.QOi,4,8i,G,。六點在同一球面上

答案D

3.（2020廣西桂林一調,4）設是兩條不同的直線。力是兩個不同的平面，則抽￡的一個充

分不必要條件是（）

C.mintm±a,n^D.fr^atm±j3

答案D

4.（2020黑龍江大慶實驗中學復學考試,5）在正方體力%O-48CQ中,M2分別是線段

8G的中點，以下結論:①直線及入直線例M②直線酎”與直線力。異面;③直線例/也平面

空。&④例”二異四,其中正確的個數(shù)是（）

A.lB.2C.3D.4

答案C

5.（2021豫北名校聯(lián)盟5月聯(lián)考,18）如圖，在三棱臺力8c-48心中,8C=28G,8G_UA,頂點8

在底面內的射影。恰好在棱仇:上,且BC=ABD.

⑴證明:△/女?為等腰三角形；

⑵若力8二&>2/IA,求直線4G與平面46c所成角的正弦值.

解析⑴證明:在三棱臺N8C-48G中,由頂點住在底面力8。內的射影。恰好在棱史上知

平面8CG8」平面ABC.

連接8Q,易知BQLBC.

延長交于點P.

因為BL2BC,且81Gli8c

所以3G是的中位線.

取義7的中點。連接P。

因為80482所以。為￡。的中點，

所以所以POLBC.

連接力Q因為8cM■4

所以BCLAAU

又為4npO=Q/4,R9u平面PAO、

所以比1平面PAO,又平面PAO,

所以8cL4。,又。為8。的中點，

所以/公ZC所以為等腰三角形.

（2）由（1）知。只。4。。兩兩垂直.

以。為坐標原點QCQ4。所在直線分別為x軸7軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

由/族8C及⑴知為等邊三角形,4為4°的中點,

設28=2,易得力0=75/42,

所以PO二J22-（代I

所以40，V3Q）,a?i,o,o）,ai,o,o）,Ao,o,i）,4（0,y,1）,易得

曬耳送（+-泉。），砧二（1,44，碇H鬲良

設平面48：。的法向量為m-（x,y,zj,

1點

=0,=0,

則即《

縣1

jnA^C=0,z=0.

不妨取尸1,則/77=(-V3,1,-373).

設直線4G與平面48。所成的角為&

易得.無皿5而＞|=喘=券票

故直線4G與平面48c所成角的正弦值為等.

6.（2021江西南昌NSC20210607項目第一次聯(lián)考,18）如圖，在三棱柱ABC-A-.B^

中,辦二C8二2/G8c側面44CC是矩形，側面88￡。是菱形/3比二60。,。是棱88的中點.

⑴求證:防工平面ACD、

⑵設￡是48的中點，求二面角&8-4的余弦值.

解析(1)證明:因為側面N4GC是矩形，

所以ZCLCG,

又AC工BC,B8CG=C,

所以/4CL平面BB\CiC,

又88U平面BBCC,

所以4C188,

因為側面BBCC是菱形、出BC=&yQ是儆的中點，

所以BBdCD,

又2ChCZ?=C

所以%_L平面ACD.

⑵因為JCL平面88GC/3平面ABC,

所以平面88G?！銎矫鍭BC.

如圖，以C為原點所在直線分別為x軸/軸，在平面88GC內過點。且垂直于〃的

直線為z軸，建立空間直角坐標系C-環(huán)則

00,0,0)42,0,0),僅0,2,0),3(0,1,痘)￡(0,-1,V3),D(0,1,y),所以

C4=(2,0,0),CCT=(0,-l,V3),CD=(0,1,y),

連接C4,貝IJ江=d?+京=雄+西*=(2,-1,右),即4(2,-1,6),所以41,0,門),則k=(1,C,Q).

因為儆"L平面48,所以平面的一個法向量為兩二(O,-l,g).

設平面￡0。的法向量為。二(x,y,z),

嗎=0,即x+y/3z=0,

則3,V3_

ji-CD=0,(-y+Tz=01

令z=-V5,則x=3,y=l,

所以4(3,1,-百).

所以cos<〃,西〉二瑞二^二一粵,

易知二面角E-CD-A為銳二面角,

所以二面角E-CD-A的余弦值為駕.

JLJ

B組綜合應用題組

時間：45分鐘分值：55分

一、選擇題(每小題5分，共15分)

1.(2021安徽合肥一模⑼我國古代數(shù)學名著《九章算術》第五卷“商功”中，把底面為矩形且

有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”.今有“陽馬”P-ABCD、PA=AB=AD、E,F￡*\R

棱的中點.以下四個結論:

①夕為?平面/!)②甌■平面以C③平面戶平面AEF\4；平面力用■平面PCD.

其中正確的是)

A.①?B.①?

C.②③D.②④

答案D

2.(2021河南六市第一次聯(lián)考,8)如圖，在棱長為1的正方體力8C248CQ中,例為棱口8的

中點，動點"在四邊形&7G8及其內部運動，總有力8DM則動點。的軌跡的長度為

V2V5

TBRT

答案A

3.（2020河南洛陽二模/2）已知三棱錐P-ABC中,。為AB的中點/O_L平面ABC,，

力眸90如=2,則有下列四個結論:①若。為△/交的外心很IJ吟2；②若△板為等邊三

角形,則力幺8。③當〃。5=90時+與平面以8所成的角的范圍為（0琲④當吟4時，例為

平面陽C內一動點，若。例|平面以C則例在內軌跡的長度為2,其中正確的個數(shù)是

（）

A.lB.2C.3D.4

答案C

二、填空題（共5分）

4.（2019陜西西安二模,15）在平面凸四邊形ABCD中,。=8=3〃氏47="8cp將56。

沿8。折起，形成三棱錐4-8C。,若翻折過程中，存在某個位置，使得8d4。,則x的取值范圍

是?

答案（遍,+8）

三、解答題（共35分）

5.（2021河南頂尖計劃第三次聯(lián)考,18）如圖,四棱臺的上、下底面均為菱形CG

_L平面ABCD,^.BAD=^0/4/氏/428=450/夕248尸2.

（1）證明:平面44以平面A-AD,

（2）求直線6A與平面448所成角的正弦值.

c

解析⑴證明:作阻力4,垂足為￡連接毆如圖.

因為四邊形/交。是菱形.且/加氏60%族2,

所以BD=2.

因為力8二力。二/4/8450/￡=力￡所以△/附所以//丘//洛90°,即DE-AAx,

所以是平面428與平面42。所成二面角的平面角，

又BE二DE若AB=&，所以B戶+D仔=B￡f,即BE1.DE,

所以工以■。二90。,所以平面44反■平面A.AD.

⑵連接/C以C為坐標原點，分別以。I和CG所在直線