BEIJINGJIAOTONGUNIVERSITY連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域分析：連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域表示常用信號(hào)的單邊Laplace變換信號(hào)單邊Laplace變換的性質(zhì)單邊Laplace反變換的求解

雙邊Laplace變換及反變換連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析：連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域描述系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)的特性連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的模擬系統(tǒng)響應(yīng)的復(fù)頻域分析

系統(tǒng)復(fù)頻域分析的應(yīng)用為何進(jìn)行信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

為何進(jìn)行連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

如何有效描述連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)？時(shí)域：由系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)描述頻域：由系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jw)描述但只適用于穩(wěn)定系統(tǒng).為何進(jìn)行連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

如何有效分析連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)？時(shí)域：系統(tǒng)響應(yīng)、系統(tǒng)設(shè)計(jì)、系統(tǒng)模擬、系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)等頻域：系統(tǒng)響應(yīng)、系統(tǒng)設(shè)計(jì)、系統(tǒng)模擬、系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)等系統(tǒng)描述與分析、系統(tǒng)設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)等方面存在局限性，連續(xù)LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域(s域)分析將有效解決上述問題。為何進(jìn)行信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

解決傅里葉變換的局限性：

收斂性問題

無法處理瞬態(tài)問題便于系統(tǒng)分析：

將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，分析系統(tǒng)特性（因果性，穩(wěn)定性等）

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域表示常用信號(hào)的單邊Laplace變換信號(hào)單邊Laplace變換的性質(zhì)單邊Laplace反變換的求解

雙邊Laplace變換及反變換連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域表示

連續(xù)時(shí)間信號(hào)Laplace變換

單邊Laplace變換的定義

單邊Laplace變換的收斂域從Fourier變換到Laplace變換

x(t)=eatu(t)a>0的Fourier變換？將

x(t)乘以實(shí)指數(shù)信號(hào)e-

t

，再進(jìn)行Fourier變換若Re{s}=

推廣到一般情況令s=

+j

由x(t)e-

t的Fourier反變換，可推導(dǎo)出從Fourier變換到Laplace變換

1.連續(xù)時(shí)間信號(hào)Laplace變換

連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)可表示成復(fù)指數(shù)est

的線性組合。X(s)是復(fù)頻率s的函數(shù)，稱為信號(hào)x(t)的復(fù)頻譜。Laplace正變換：

Laplace反變換：1.連續(xù)時(shí)間信號(hào)Laplace變換

拉普拉斯（Laplace,Pierre-Simon,1749-1827）

法國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家。家境貧寒，靠鄰居資助上學(xué)，1816年成為法蘭西學(xué)院院士，次年任該院院長(zhǎng)。主要研究天體力學(xué)和物理學(xué)，認(rèn)為數(shù)學(xué)只是一種解決問題的工具，但在運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)創(chuàng)造和發(fā)展了許多新的數(shù)學(xué)方法。主要成就：在《天體力學(xué)》中闡述了天體運(yùn)行、地球形狀、行星攝動(dòng)、月離理論和三體問題等，引入著名的拉普拉斯方程。在《概率的分析理論》中，總結(jié)了當(dāng)時(shí)整個(gè)概率論的研究，論述了概率在選舉、審判調(diào)查、氣象等方面的應(yīng)用。2.單邊Laplace變換的定義實(shí)際中系統(tǒng)一般為因果系統(tǒng)，為了便于描述因果系統(tǒng)以及分析系統(tǒng)的完全響應(yīng)，常采用以下單邊拉普拉斯(Laplace)變換:若x(t)的單邊拉普拉斯變換存在，上式積分需收斂。單邊拉普拉斯變換存在的充要條件為：3.單邊Laplace變換的收斂域?qū)θ我庑盘?hào)x(t)

，若滿足上式，則x(t)應(yīng)滿足：3.單邊Laplace變換的收斂域上式成立的σ取值范圍稱為L(zhǎng)aplace變換的收斂域，簡(jiǎn)稱為ROC(RegionOfConvergence)。對(duì)于單邊Laplace變換，ROC一般表示為：

>

0，或者Re{s}>

0(

0為實(shí)常數(shù))。

收斂域(ROC)可使用s復(fù)平面進(jìn)行可視化表示右半平面s平面左半平面3.單邊Laplace變換的收斂域【例】試求解信號(hào)的單邊拉氏變換及其收斂域。解：收斂域?yàn)椤纠吭嚽蠼庑盘?hào)的單邊拉氏變換及其收斂域。解：收斂域?yàn)椤纠吭嚽蠼庑盘?hào)的單邊拉氏變換及其收斂域。解：收斂域?yàn)閟全平面：

信號(hào)復(fù)頻域表示的物理含義單邊Laplace變換及其收斂域信號(hào)x(t)表示成復(fù)指數(shù)est的線性組合Re{s}>

0連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域表示

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域表示

常用信號(hào)的單邊Laplace變換信號(hào)單邊Laplace變換的性質(zhì)單邊Laplace反變換的求解

雙邊Laplace變換及反變換常用信號(hào)的單邊Laplace變換沖激信號(hào)階躍信號(hào)指數(shù)類信號(hào)正弦信號(hào)斜坡信號(hào)1.沖激信號(hào)沖激信號(hào)同理可得：2.階躍信號(hào)階躍信號(hào)u(t)3.指數(shù)類信號(hào)指數(shù)類信號(hào)

et

u(t)，

λ可為任一復(fù)數(shù)當(dāng)λ=a時(shí)，3.指數(shù)類信號(hào)實(shí)指數(shù)信號(hào)虛指數(shù)信號(hào)復(fù)指數(shù)信號(hào)當(dāng)λ=j

0時(shí)，當(dāng)λ=

a+j

0時(shí)，4.正弦信號(hào)正弦信號(hào)

cos(ω0t)u(t),

sin(ω0t)u(t)5.斜坡信號(hào)斜坡信號(hào)

tu(t)解：時(shí)域信號(hào)

Fourier變換

Laplace變換不存在【例】計(jì)算下列信號(hào)的單邊Laplace變換與Fourier變換。

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域表示常用信號(hào)的單邊Laplace變換

信號(hào)單邊Laplace變換的性質(zhì)單邊Laplace反變換的求解

雙邊Laplace變換及反變換連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域分析信號(hào)單邊Laplace變換的性質(zhì)

線性特性

時(shí)移特性展縮特性卷積特性乘積特性指數(shù)加權(quán)特性線性加權(quán)特性微分特性積分特性初值及終值定理若則

線性特性信號(hào)單邊Laplace變換的性質(zhì)若則

時(shí)移特性信號(hào)單邊Laplace變換的性質(zhì)【例】試?yán)镁€性特性和時(shí)移特性求解x(t)的單邊Laplace變換。利用拉氏變換的線性特性，可得由于 解：x(t)可用基本信號(hào)表達(dá)為利用拉氏變換的時(shí)移特性，可得【例】利用線性特性和時(shí)移特性，求解x(t)的單邊Laplace變換。解：x(t)可用基本信號(hào)表達(dá)為利用拉氏變換的線性特性和時(shí)移特性，可得:已知 有限長(zhǎng)信號(hào)的單邊Laplace變換，其收斂域?yàn)檎麄€(gè)s平面。x1(t)

【例】試求如圖所示信號(hào)x(t)的單邊Laplace變換。若計(jì)算出x1(t)的Laplace變換X1(s)，利用Laplace變換的時(shí)移特性和線性特性，即可求得信號(hào)x(t)的Laplace變換為

Re(s)>0分析：x(t)可以表示為x1(t)及其時(shí)移x1(t-kT)的線性組合，即解：由于

【例】試求如圖所示信號(hào)x(t)的單邊Laplace變換。x1(t)Re(s)>0若則

展縮特性信號(hào)單邊Laplace變換的性質(zhì)

卷積特性若則信號(hào)單邊Laplace變換的性質(zhì)x(t)可以表達(dá)為

【例】試?yán)镁矸e特性求解如圖所示信號(hào)的單邊Laplace變換。因此，利用拉氏變換的卷積特性，可得其中解：

乘積特性若則信號(hào)單邊Laplace變換的性質(zhì)若

指數(shù)加權(quán)特性則信號(hào)單邊Laplace變換的性質(zhì)根據(jù)單邊Laplace變換的指數(shù)加權(quán)特性，可得：【例】利用指數(shù)加權(quán)特性求解信號(hào)x(t)的單邊Laplace變換。

x(t)=e-atcos(

0t)u(t)，a為實(shí)數(shù)。解：?jiǎn)芜呌嘞倚盘?hào)的拉氏變換為若則

線性加權(quán)特性信號(hào)單邊Laplace變換的性質(zhì)根據(jù)單邊Laplace變換的線性加權(quán)特性，可得：重復(fù)利用線性加權(quán)特性，則可推得：【例】利用線性加權(quán)特性求解下列信號(hào)的單邊Laplace變換:

tu(t)，tnu(t)，

te-tu(t)

，tne-tu(t)，n為正整數(shù)。解：根據(jù)單邊Laplace變換的線性加權(quán)特性，可得：重復(fù)利用線性加權(quán)特性，可得：解：【例】利用線性加權(quán)特性求解下列信號(hào)的單邊Laplace變換:

tu(t)，tnu(t)，

te-tu(t)

，tne-tu(t)，n為正整數(shù)。

微分特性若則證明：信號(hào)單邊Laplace變換的性質(zhì)重復(fù)應(yīng)用微分性質(zhì)，可得：

微分特性信號(hào)單邊Laplace變換的性質(zhì)信號(hào)tu(t)，u(t)，

(t)，(n)(t)在s域的關(guān)系斜坡信號(hào)tu(t)階躍信號(hào)u(t)沖激信號(hào)

(t)沖激函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)，微分微分微分LLLL【例】利用微分特性求解圖示信號(hào)x(t)的單邊Laplace變換解：根據(jù)單邊拉氏變換的微分特性：因此，實(shí)際電路系統(tǒng)中微分性質(zhì)的應(yīng)用電感器件電感的s域模型

積分特性若則信號(hào)單邊Laplace變換的性質(zhì)

【例】求如圖所示信號(hào)x(t)的單邊Laplace變換。依據(jù)拉氏變換的積分特性：

由于解：且實(shí)際電路系統(tǒng)中積分性質(zhì)的應(yīng)用電容電容的s域模型若x(t)在t=0時(shí)刻不包含沖激及其各階導(dǎo)數(shù),則若sX(s)的收斂域包含jw軸，則

初值與終值定理信號(hào)單邊Laplace變換的性質(zhì)【例】已知

,求x(t)的初值和終值。解：sX(s)的收斂域包含jw軸，可直接應(yīng)用終值定理得根據(jù)初值定理可得解：由于X(s)不是真分式，因此x(t)在t=0時(shí)刻含沖激信號(hào)，不能直接應(yīng)用初值定理sX(s)的收斂域包含jw

軸，可直接應(yīng)用終值定理得對(duì)X1(s)應(yīng)用初值定理可得將X(s)改寫為X1(s)【例】已知

,求x(t)的初值和終值。AB提交已知信號(hào)，則

為？不存在0C0.5單選題1分sX(s)的收斂域包含jw軸

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域表示常用信號(hào)的單邊Laplace變換信號(hào)單邊Laplace變換的性質(zhì)

單邊Laplace反變換的求解

雙邊Laplace變換及反變換連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域分析

留數(shù)法

留數(shù)法計(jì)算比較復(fù)雜，但適用范圍較廣。

部分分式展開法

部分分式法求解較為簡(jiǎn)便，但一般適用于有理分式。單邊Laplace反變換的求解

留數(shù)法若為的單極點(diǎn)，則:若為的m重極點(diǎn)，則:單邊Laplace反變換的求解解：【例】利用留數(shù)法求的反變換x(t)。

因此， 根據(jù)留數(shù)法可得:s1=-1和s2=-2均為的單極點(diǎn)，因此有 問題：如何求解上式對(duì)應(yīng)的時(shí)域信號(hào)？

許多信號(hào)的單邊拉氏變換為有理分式形式：

部分分式展開法單邊Laplace反變換的求解

【例】利用部分分式展開法求X(s)的反變換x(t):解：X(s)為有理真分式，且分母多項(xiàng)式只有單根：將上式兩端同時(shí)乘以s可得：令s=0，上式右端只有k1項(xiàng)不等于零，所以解：同理可求出由此可得對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換可得

【例】利用部分分式展開法求X(s)的反變換x(t):

【例】利用部分分式展開法求X(s)的反變換x(t):解：X(s)為有理真分式，且分母多項(xiàng)式有1個(gè)二重根：將①式兩端同時(shí)乘以(s+1)2可得令s=-1，②式右端只有k2項(xiàng)不等于零，所以①②解：對(duì)②式求一階導(dǎo)數(shù)，再令s=-1可得：②因此，

【例】利用部分分式展開法求X(s)的反變換x(t):

【例】利用部分分式展開法求下列X(s)的反變換x(t):解：X(s)為有理假分式，將其化為有理真分式：(1)若X(s)為有理真分式(m<n)，且分母多項(xiàng)式只有單根，則部分分式展開法(2)若X(s)為有理真分式(m<n)，分母多項(xiàng)式有r重根，則部分分式展開法(3)X(s)為有理假分式(m≥n)，則真分式部分分式展開法解：由此可得對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換可得

【例】利用部分分式展開法求X(s)的反變換x(t):？？？解：由此可得對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換可得

【例】利用部分分式展開法求X(s)的反變換x(t):

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域表示常用信號(hào)的單邊Laplace變換信號(hào)單邊Laplace變換的性質(zhì)單邊Laplace反變換的求解

雙邊Laplace變換及反變換連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域分析雙邊Laplace變換及反變換

雙邊Laplace變換的定義

雙邊Laplace變換的性質(zhì)

雙邊Laplace反變換的求解為什么需要雙邊拉普拉斯(Laplace)變換？復(fù)頻域分析主要是為了更有效地描述系統(tǒng)，

但單邊Laplace變換只能描述因果系統(tǒng)；為了在復(fù)頻域可描述因果系統(tǒng)和非因果系統(tǒng)，

需要引入信號(hào)的雙邊Laplace變換。雙邊Laplace變換及反變換

雙邊Laplace變換的定義

雙邊Laplace正變換：

雙邊Laplace反變換：若x(t)的雙邊拉普拉斯變換存在，上式積分需收斂。因此，雙邊拉普拉斯變換存在的充要條件為：上式成立的σ的取值范圍稱為L(zhǎng)aplace變換的收斂域(ROC)雙邊Laplace變換的定義(1)有限長(zhǎng)信號(hào)試求連續(xù)信號(hào)的雙邊Laplace變換及其收斂域。解：收斂域?yàn)閟全平面，即：雙邊Laplace變換的定義(2)右邊信號(hào)試求連續(xù)信號(hào)的雙邊Laplace變換及其收斂域。解：收斂域：雙邊Laplace變換的定義(3)左邊信號(hào)試求連續(xù)信號(hào)的雙邊Laplace變換及其收斂域。解：收斂域?yàn)椋弘p邊Laplace變換的定義信號(hào)x(t)與其Laplace變換X(s)不是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，信號(hào)x(t)與X(s)+ROC為一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。雙邊Laplace變換的定義試求連續(xù)信號(hào)的雙邊Laplace變換及其收斂域。(4)雙邊信號(hào)解：收斂域?yàn)椋弘p邊Laplace變換的定義Re(s)<-1Re(s)>-2所有信號(hào)都存在雙邊拉氏變換？對(duì)于有限長(zhǎng)信號(hào)、左邊信號(hào)、右邊信號(hào)，一般存在雙邊拉氏變換；對(duì)于雙邊信號(hào)，不一定存在雙邊拉氏變換。不存在雙邊拉氏變換雙邊Laplace變換的定義雙邊Laplace變換及