2025年高中概率試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A.“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”B.“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”C.“恰有一個(gè)黑球”與“恰有兩個(gè)黑球”D.“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”答案：C2.某射手射擊一次，擊中目標(biāo)的概率是0.9，他連續(xù)射擊4次，且各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響，有下列結(jié)論：①他第3次擊中目標(biāo)的概率是0.9；②他恰好擊中目標(biāo)3次的概率是\(0.9^{3}×0.1\)；③他至少擊中目標(biāo)1次的概率是\(1-0.1^{4}\)。其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.0B.1C.2D.3答案：C3.甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為40%，甲不輸?shù)母怕蕿?0%，則甲、乙兩人下成和棋的概率為（）A.60%B.30%C.10%D.50%答案：D4.從數(shù)字1，2，3，4，5中任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)大于40的概率為（）A.\(\frac{1}{5}\)B.\(\frac{2}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)答案：B5.把紅、藍(lán)、黑、白4張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人分得一張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是（）A.對(duì)立事件B.互斥但不對(duì)立事件C.不可能事件D.以上都不對(duì)答案：B6.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的點(diǎn)數(shù)小于3的概率是（）A.\(\frac{1}{6}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{2}{3}\)答案：B7.已知\(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.2\)。若\(B?A\)，則\(P(A\cupB)=\)（）A.0.6B.0.4C.0.2D.0.8答案：B8.從區(qū)間\([0,1]\)內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)\(x\)，\(y\)，則\(x+y\leqslant1\)的概率為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{1}{4}\)D.1答案：A9.一個(gè)袋中裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，現(xiàn)從袋中取出1個(gè)球，然后放回袋中再取出1個(gè)球，則取出的2個(gè)球同色的概率為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{1}{4}\)D.\(\frac{2}{5}\)答案：A10.若隨機(jī)事件\(A\)，\(B\)互斥，\(A\)，\(B\)發(fā)生的概率均不等于0，且\(P(A)=2-a\)，\(P(B)=4a-5\)，則實(shí)數(shù)\(a\)的取值范圍是（）A.\((1,2)\)B.\((\frac{5}{4},\frac{3}{2})\)C.\((\frac{5}{4},\frac{4}{3})\)D.\((\frac{5}{4},\frac{4}{3}]\)答案：D二、多項(xiàng)選擇題1.下列說法正確的是（）A.若事件\(A\)與\(B\)互斥，則\(P(A)+P(B)=1\)B.互斥事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件C.若\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)，則事件\(A\)與\(B\)互斥D.若\(P(A)=0\)，則事件\(A\)是不可能事件答案：BCD2.下列關(guān)于古典概型的說法正確的是（）A.試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)B.每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等C.每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等D.基本事件的總數(shù)為\(n\)，隨機(jī)事件\(A\)若包含\(k\)個(gè)基本事件，則\(P(A)=\frac{k}{n}\)答案：ACD3.從1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)，下列事件中是互斥事件但不是對(duì)立事件的是（）A.“恰有1個(gè)是偶數(shù)”和“恰有1個(gè)是奇數(shù)”B.“至少有1個(gè)是奇數(shù)”和“2個(gè)都是奇數(shù)”C.“至少有1個(gè)是奇數(shù)”和“2個(gè)都是偶數(shù)”D.“至少有1個(gè)是奇數(shù)”和“至少有1個(gè)是偶數(shù)”答案：AB4.已知\(A\)，\(B\)是兩個(gè)隨機(jī)事件，\(0\ltP(A)\lt1\)，\(0\ltP(B)\lt1\)，則下列說法正確的是（）A.若\(A\)，\(B\)相互獨(dú)立，則\(P(A|B)=P(A)\)B.若\(A\)，\(B\)是對(duì)立事件，則\(P(A|B)=1\)C.若\(A\)，\(B\)是互斥事件，則\(P(A|B)=0\)D.若\(A\)，\(B\)相互獨(dú)立，則\(P(A\capB)=P(A)P(B)\)答案：ACD5.下列概率模型是幾何概型的為（）A.已知\(a\)，\(b\in\{1,2,3,4\}\)，求使方程\(x^{2}+2ax+b=0\)有實(shí)根的概率B.已知\(a\)，\(b\)滿足\(|a|\leqslant2\)，\(|b|\leqslant3\)，求使方程\(x^{2}+2ax+b=0\)有實(shí)根的概率C.從甲、乙、丙三人中選2人參加比賽，求甲被選中的概率D.求張三和李四的生日在同一天的概率（一年按365天計(jì)算）答案：B6.設(shè)\(A\)，\(B\)為兩個(gè)隨機(jī)事件，以下命題正確的為（）A.若\(A\)，\(B\)是互斥事件，\(P(A)=\frac{1}{3}\)，\(P(B)=\frac{1}{4}\)，則\(P(A\cupB)=\frac{7}{12}\)B.若\(A\)，\(B\)是對(duì)立事件，則\(P(A\cupB)=1\)C.若\(A\)，\(B\)是獨(dú)立事件，\(P(A)=\frac{1}{3}\)，\(P(B)=\frac{1}{4}\)，則\(P(A\overline{B})=\frac{1}{4}\)D.若\(P(\overline{A})=\frac{1}{3}\)，\(P(\overline{B})=\frac{1}{4}\)，且\(A\)，\(B\)是獨(dú)立事件，則\(P(AB)=\frac{1}{2}\)答案：ABC7.下列事件中，是隨機(jī)事件的是（）A.從集合\(\{1,2,3,4\}\)中任取兩個(gè)不同元素，其和大于7B.明年1月1日，北京會(huì)下雪C.函數(shù)\(y=\log_{a}x(a\gt0\)且\(a\neq1)\)在定義域上是增函數(shù)D.某人購買福利彩票10注，均未中獎(jiǎng)答案：ABCD8.已知隨機(jī)事件\(A\)，\(B\)，\(C\)中，\(A\)與\(B\)互斥，\(B\)與\(C\)對(duì)立，且\(P(A)=0.3\)，\(P(C)=0.6\)，則下列說法正確的是（）A.\(P(B)=0.4\)B.\(P(A\cupB)=0.7\)C.\(P(A\capC)=0\)D.\(P(A\cupC)=0.9\)答案：ABC9.從含有3件正品和1件次品的4件產(chǎn)品中不放回地任取2件，則取出的2件中恰有1件次品的概率是（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{2}{3}\)D.\(\frac{3}{4}\)答案：A10.下列關(guān)于概率的說法正確的是（）A.頻率是概率的近似值，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)越來越接近概率B.若隨機(jī)事件\(A\)在\(n\)次試驗(yàn)中發(fā)生了\(m\)次，則事件\(A\)發(fā)生的頻率\(\frac{m}{n}\)就是事件\(A\)的概率C.概率反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小D.必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0答案：ACD三、判斷題1.互斥事件一定是對(duì)立事件。（×）2.若\(A\)，\(B\)是兩個(gè)事件，則\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)。（×）3.古典概型中每個(gè)基本事件發(fā)生的概率都相等。（√）4.幾何概型中每個(gè)基本事件發(fā)生的概率與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例。（√）5.若事件\(A\)，\(B\)相互獨(dú)立，則\(P(A\capB)=P(A)P(B)\)。（√）6.必然事件與任何事件都是相互獨(dú)立的。（√）7.若\(P(A)+P(B)=1\)，則事件\(A\)與\(B\)是對(duì)立事件。（×）8.從區(qū)間\([0,1]\)內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，取到\(0.5\)這個(gè)數(shù)的概率為0。（√）9.連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，結(jié)果10次都正面朝上，那么第11次拋擲出現(xiàn)正面朝上的概率大于\(\frac{1}{2}\)。（×）10.已知\(A\)，\(B\)是互斥事件，若\(P(A)=0.2\)，\(P(B)=0.3\)，則\(P(A\cupB)=0.5\)。（√）四、簡(jiǎn)答題1.簡(jiǎn)述互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系?；コ馐录侵竷蓚€(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生；對(duì)立事件是指兩個(gè)互斥事件中必有一個(gè)發(fā)生。所以對(duì)立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對(duì)立事件。例如，從紅、黃、藍(lán)三個(gè)球中任取一個(gè)球，“取到紅球”與“取到黃球”是互斥事件，但不是對(duì)立事件，而“取到紅球”與“取不到紅球”是對(duì)立事件。2.古典概型的兩個(gè)特征是什么？古典概型具有以下兩個(gè)特征：一是試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；二是每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。例如，拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)1、2、3、4、5、6就是有限個(gè)基本事件，且每個(gè)點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的概率都為\(\frac{1}{6}\)，滿足古典概型的特征。3.如何判斷一個(gè)概率模型是幾何概型？判斷一個(gè)概率模型是否為幾何概型，主要看以下兩個(gè)條件：一是試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個(gè)；二是每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。例如，在一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，該點(diǎn)落在正方形內(nèi)任意位置的可能性相等，且位置有無限多個(gè)，這就是幾何概型。4.已知事件\(A\)，\(B\)相互獨(dú)立，且\(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.5\)，求\(P(A\cupB)\)。因?yàn)閈(A\)，\(B\)相互獨(dú)立，所以\(P(A\capB)=P(A)P(B)=0.4×0.5=0.2\)。根據(jù)概率的加法公式\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(A\capB)\)，將\(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.5\)，\(P(A\capB)=0.2\)代入可得：\(P(A\cupB)=0.4+0.5-0.2=0.7\)。五、討論題1.在實(shí)際生活中，有哪些常見的概率應(yīng)用場(chǎng)景？請(qǐng)舉例說明并分析其概率模型。在抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，比如抽獎(jiǎng)箱里有100張獎(jiǎng)券，其中5張有獎(jiǎng)。從抽獎(jiǎng)箱中隨機(jī)抽取一張獎(jiǎng)券，這是一個(gè)古典概型。因?yàn)樗锌赡艿慕Y(jié)果（100張獎(jiǎng)券）是有限個(gè)，且每張獎(jiǎng)券被抽到的可能性相等。再如，在交通流量問題中，某路段在某時(shí)間段內(nèi)到達(dá)的車輛數(shù)是隨機(jī)的，可看作是一個(gè)幾何概型，因?yàn)檐囕v到達(dá)的時(shí)刻有無限多個(gè)，且在該時(shí)間段內(nèi)任意時(shí)刻車輛到達(dá)的可能性相等。2.當(dāng)事件\(A\)，\(B\)不相互獨(dú)立時(shí)，如何計(jì)算\(P(A\capB)\)？請(qǐng)結(jié)合具體例子說明。當(dāng)\(A\)，\(B\)不相互獨(dú)立時(shí)，通常用條件概率公式\(P(A\capB)=P(A|B)P(B)\)或\(P(A\capB)=P(B|A)P(A)\)來計(jì)算。例如，一個(gè)盒子里有5個(gè)紅球和3個(gè)白球，先從盒子中取出一個(gè)球，不放回再取一個(gè)球。設(shè)事件\(A\)為“第一次取到紅球”，\(P(A)=\frac{5}{8}\)；事件\(B\)為“第二次取到紅球”。在第一次取到紅球后，盒子里剩下4個(gè)紅球和3個(gè)白球，此時(shí)\(P(B|A)=\frac{4}{7}\)，那么\(P(A\capB)=P(B|A)P(A)=\frac{4}{7}×\frac{5}{8}=\frac{5}{14}\)。3.概率為0的事件一定是不可能事件嗎？概率為1的事件一定是必然事件嗎？請(qǐng)闡述理由并舉例說明。概率為0的事件不一定是不可能事件，概率為1的事件不一定是必然事件。例如，在區(qū)間\([0,1]\)上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，取到\(\frac{1}{2}\)這個(gè)數(shù)的概率為0，但它是有可能