第03講極值與最值（模擬精練+真題演練）1．（2023·廣西南寧·武鳴縣武鳴中學(xué)?？既＃┖瘮?shù)的極小值點(diǎn)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)槎x域?yàn)?，所以，令得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值．故選：D2．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則（

）A．有一個(gè)極值點(diǎn)B．有兩個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)（0，1）是曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心D．直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn)【答案】C【解析】由題，，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；因，，，所以，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，則是奇函數(shù)，是的對(duì)稱(chēng)中心，將的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心，故C正確；令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線(xiàn)方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線(xiàn)方程為，故D錯(cuò)誤.故選：C.3．（2023·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若在和處有極值，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，由已知得，解得，所以，所以，由，解得，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：C．4．（2023·寧夏銀川·六盤(pán)山高級(jí)中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù)的極值點(diǎn)為，函數(shù)的最大值為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】的定義域?yàn)?，在上單調(diào)遞增，且，，所以，．的定義域?yàn)?，由，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在處取得極大值，也是最大值，，即．所以．故選：A5．（2023·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵∴原式令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又∵，，，∴當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)，的取值范圍是.故選：D.6．（2023·廣西南寧·南寧三中?？寄M預(yù)測(cè)）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，所以，所以，得，又，根據(jù)函數(shù)在處取得最值，所以即得，所以，.故選：C.7．（2023·內(nèi)蒙古阿拉善盟·統(tǒng)考一模）已知e是自然對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)，不等于1的兩個(gè)正數(shù)m，t滿(mǎn)足，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則，解出，或（舍），所以，即，，令，，，時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，故選：B.8．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，又函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)為，所以方程由兩個(gè)不同的正根，且為其根，所以，，，所以，則，又，即，可得，所以或（舍去），故選：C.9．（多選題）（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·校聯(lián)考二模）函數(shù)的定義域?yàn)镽，它的導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下面結(jié)論正確的是（

）A．在上函數(shù)為增函數(shù) B．在上函數(shù)為增函數(shù)C．在上函數(shù)有極大值 D．是函數(shù)在區(qū)間上的極小值點(diǎn)【答案】AC【解析】根據(jù)圖象判斷出的單調(diào)區(qū)間、極值（點(diǎn)）.由圖象可知在區(qū)間和上，遞增；在區(qū)間上，遞減.所以A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.在區(qū)間上，有極大值為，C選項(xiàng)正確.在區(qū)間上，是的極小值點(diǎn)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC10．（多選題）（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則（

）A． B．是函數(shù)的極值點(diǎn)C．存在兩個(gè)零點(diǎn) D．在(1，+∞)上單調(diào)遞增【答案】AD【解析】，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)不存在極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤，D正確；，故A正確；，得，中，，所以恒成立，即方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即，故C錯(cuò)誤.故選：AD11．（多選題）（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直B．在上單調(diào)遞增C．的極小值為D．在上的最小值為【答案】BC【解析】因?yàn)?，所以，所以，故A錯(cuò)誤；令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，而，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以的極小值為，故C正確；在上單調(diào)遞減，所以最小值為，故D錯(cuò)誤；故選：BC12．（多選題）（2023·遼寧·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)，若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)恒有，則的可能取值有（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】由題可知，，因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的極值點(diǎn)，所以且，若，則．當(dāng)時(shí)，，即，即，即，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，則，則，所以．若，則．當(dāng)時(shí)，，即，若，則當(dāng)時(shí)，，不滿(mǎn)足題意，所以，此時(shí)，即．設(shè)，則易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以解得，所以．綜上，的取值范圍是，故選:BD．13．（2023·甘肅蘭州·蘭化一中校考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在內(nèi)有極小值，則的一個(gè)可能取值為_(kāi)_____．【答案】（答案不唯一，只要符合均可）【解析】由得，若有極值點(diǎn)，則，所以，故當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取極小值，因此要使在內(nèi)有極小值，則，故答案為：（答案不唯一，只要符合均可）14．（2023·云南紅河·統(tǒng)考二模）若是函數(shù)的極小值點(diǎn)，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值為_(kāi)_____．【答案】/【解析】由，得，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極小值點(diǎn)，所以，即，即，解得或．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，故又因?yàn)?，，所以函?shù)在的最大值為．故答案為：．15．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，若與中恰有一個(gè)函數(shù)無(wú)極值，則的取值范圍是______．【答案】【解析】若無(wú)極值，則恒成立，即，解得；若無(wú)極值，則對(duì)恒成立，所以，即．所以與中恰有一個(gè)函數(shù)無(wú)極值，則或，解得．16．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，對(duì)于任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，令，則，可化為，令，則，時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，所以的最小值為，對(duì)于任意，都有，等價(jià)于，即，對(duì)于①：由在上單調(diào)遞增，且，可知，即且，在且的條件下，對(duì)②：由時(shí)，單調(diào)遞減，可得，②成立，綜上可知：實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：17．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，且f（x）在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)（）．(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)求證：．【解析】（1）由題可知,,令,即,即有兩個(gè)根,令,則,由得,,解得;由得,,解得,所以在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,時(shí),所以要使有兩個(gè)根,則,解得,所以.（2）由(1)可知且，所以要證，只用證，等價(jià)于證明，而，即，故等價(jià)于證明，即證.令，則，于是等價(jià)于證明成立，設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增，故，即成立，所以，結(jié)論得證.18．（2023·寧夏石嘴山·平羅中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求的極值；(2)若恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）由得，令，故在單調(diào)遞增，令，故在單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取極小值，且極小值為，故極大值，（2）由恒成立可得恒成立，記，則，令，則，由（1）知：在處取極小值也是最小值，且最小值為1，故，因此在上單調(diào)遞增，且，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取極小值也是最小值1，故19．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)相互垂直，探究函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有唯一的極值0，求的值.【解析】（1）依題意，，故，解得，則，故，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故，則函數(shù)在上單調(diào)遞減；（2），則，設(shè)唯一的極值點(diǎn)為，則由得，，（*）令，則，所以，記，則，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，，從而單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，從而單調(diào)遞增，故，從而在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，代入①可得，?dāng)時(shí)，，，因?yàn)槭牵?）的唯一零點(diǎn)，且，所以是唯一的極值點(diǎn)，且極值為0，滿(mǎn)足題意.所以.20．（2023·四川成都·三模）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)若是函數(shù)的極小值點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)．．．

∴曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為．（2）由題知，不妨設(shè)．．

（i）當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)．在上恒成立．在上單調(diào)遞增．

又，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

，．∴當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增．是函數(shù)的極小值點(diǎn)．

（ii）當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)．，使得，且．在上單調(diào)遞減．

∴當(dāng)時(shí)，．∴當(dāng)時(shí)，．在上單調(diào)遞減．

不是函數(shù)的極小值點(diǎn)．綜上所述，當(dāng)是函數(shù)的極小值點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為．21．（2023·北京房山·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．(1)求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(3)證明：【解析】（1）.所以，，所以在點(diǎn)處切線(xiàn)的方程為，即.（2）當(dāng)時(shí)，，，令，則.當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減.所以.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減.函數(shù)在上單調(diào)遞減.所以，即函數(shù)的最小值為.（3）由（2）可知在上單調(diào)遞減.又因?yàn)?，所?所以，即22．（2023·陜西西安·長(zhǎng)安一中?？级＃┮阎?1)求在處的切線(xiàn)方程；(2)若，記為函數(shù)g(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1），又切點(diǎn)切線(xiàn)方程為，即.（2）為兩個(gè)極值點(diǎn)，有兩個(gè)不等的正根，，，得，令，得，，，則，則，在遞減，，即的取值范圍為．1．（2022?乙卷）函數(shù)在區(qū)間，的最小值、最大值分別為A．， B．， C．， D．，【答案】【解析】，，，則，令得，或，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，在區(qū)間，上的極大值為，極小值為，又，，函數(shù)在區(qū)間，的最小值為，最大值為，故選：．2．（2021?乙卷）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則A． B． C． D．【答案】【解析】令，解得或，即及是的兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使是的極大值點(diǎn)，則函數(shù)的大致圖象如下圖所示，則；當(dāng)時(shí)，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使是的極大值點(diǎn)，則函數(shù)的大致圖象如下圖所示，則；綜上，．故選：．3．（多選題）（2023?新高考Ⅱ）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則A． B． C． D．【答案】【解析】函數(shù)定義域?yàn)?，且，由題意，方程即有兩個(gè)正根，設(shè)為，，則有，，△，，，，即．故選：．4．（多選題）（2022?新高考Ⅰ）已知函數(shù)，則A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．有三個(gè)零點(diǎn) C．點(diǎn)是曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心 D．直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn)【答案】【解析】，令，解得或，令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，有兩個(gè)極值點(diǎn)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)正確，選項(xiàng)錯(cuò)誤；又，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故選項(xiàng)正確；假設(shè)是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得或，顯然和均不在曲線(xiàn)上，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．5．（2022?乙卷）已知和分別是函數(shù)且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則的取值范圍是．【答案】．【解析】對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，分析可知：在定義域內(nèi)至少有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，對(duì)其再求導(dǎo)可得：，當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞增，此時(shí)若存在使得，則在單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，此時(shí)若函數(shù)在和分別取極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，應(yīng)滿(mǎn)足，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞減，此時(shí)若存在使得，則在單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，且，此時(shí)若函數(shù)在和分別取極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且，故僅需滿(mǎn)足，即：，解得：，又因?yàn)?，故綜上所述：的取值范圍是．6．（2023?北京）設(shè)函數(shù)，曲線(xiàn)在點(diǎn)，（1）處的切線(xiàn)方程為．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）求的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解析】（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)，所以，因?yàn)樵邳c(diǎn)，（1）處的切線(xiàn)方程為，所以，即，解得，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以，所以，所以，令，解得或，所以與的關(guān)系列表如下：0，，000單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以在區(qū)間和，上單調(diào)遞增，在區(qū)間和，上單調(diào)遞減；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，所以存在，使得，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以是的一個(gè)極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且（1），所以存在，使得，所以在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，所以是的一個(gè)極大值點(diǎn)；當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?），所以存在，，使得，所以在，上單調(diào)遞減，，上單調(diào)遞增，所以是的一個(gè)極小值點(diǎn)，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)；綜上，在定義域上有3個(gè)極值點(diǎn)．7．（2023?新高考Ⅱ）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）已知函數(shù)，若為的極大值點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1）證明：設(shè)，，則，，在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞減，，即，，，，設(shè)，，則，在上單調(diào)遞增，，，即，，，，綜合可得：當(dāng)時(shí)，；（2），，且，，①若，即時(shí)，易知存在，使得時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，這顯然與為函數(shù)的極大值點(diǎn)相矛盾，故舍去；②若，即或時(shí)，存在，使得，時(shí)，，在，上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，滿(mǎn)足為的極大值點(diǎn)，符合題意；③若，即時(shí)，為偶函數(shù)，只考慮的情況，此時(shí)，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，與顯然與為函數(shù)的極大值點(diǎn)相矛盾，故舍去．綜合可得：的取值范圍為，，．8．（2023?乙卷）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)，（1）處的切線(xiàn)方程；（2）是否存在，，使得曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，若存在，求，的值，若不存在，說(shuō)明理由；（3）若在存在極值，求的取值范圍．【解析】（1）時(shí)，（1），，（1），曲線(xiàn)在點(diǎn)，（1）處的切線(xiàn)方程為．（2），定義域?yàn)?，，，要使函?shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則由，且，可知，即的圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則（1），，得，解得．綜上，，；（3），要使在存在極值點(diǎn)，則方程有正根，記，，，①當(dāng)時(shí)，，故