公用設(shè)備工程師考試（公共基礎(chǔ)）能力提高訓(xùn)練題及答案一一、高等數(shù)學(xué)1.函數(shù)、極限、連續(xù)題目：求極限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}$。答案：根據(jù)重要極限$\lim\limits_{u\to0}\frac{\sinu}{u}=1$，令$u=3x$，當(dāng)$x\to0$時，$u\to0$。則$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\times\frac{3}{3}=3\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}=3\times1=3$。題目：判斷函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x+1,&x\lt0\\2,&x=0\\x-1,&x\gt0\end{cases}$在$x=0$處的連續(xù)性。答案：首先求左極限$\lim\limits_{x\to0^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to0^{-}}(x+1)=0+1=1$；右極限$\lim\limits_{x\to0^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to0^{+}}(x-1)=0-1=-1$；而$f(0)=2$。因為左極限、右極限和函數(shù)在該點的值都不相等，所以函數(shù)$f(x)$在$x=0$處不連續(xù)。2.一元函數(shù)微分學(xué)題目：設(shè)$y=x^3\lnx$，求$y'$。答案：根據(jù)乘積的求導(dǎo)法則$(uv)'=u'v+uv'$，其中$u=x^3$，$v=\lnx$。$u'=3x^2$，$v'=\frac{1}{x}$，則$y'=(x^3)'\lnx+x^3(\lnx)'=3x^2\lnx+x^3\times\frac{1}{x}=3x^2\lnx+x^2$。題目：求曲線$y=e^x$在點$(0,1)$處的切線方程。答案：首先求函數(shù)$y=e^x$的導(dǎo)數(shù)$y'=e^x$，將$x=0$代入導(dǎo)數(shù)，得到切線的斜率$k=e^0=1$。根據(jù)點斜式方程$y-y_0=k(x-x_0)$（其中$(x_0,y_0)=(0,1)$，$k=1$），可得切線方程為$y-1=1\times(x-0)$，即$y=x+1$。3.一元函數(shù)積分學(xué)題目：計算$\intx^2dx$。答案：根據(jù)積分公式$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$（$n\neq-1$），對于$\intx^2dx$，$n=2$，則$\intx^2dx=\frac{1}{2+1}x^{2+1}+C=\frac{1}{3}x^3+C$。題目：計算定積分$\int_{0}^{1}(2x+1)dx$。答案：先求原函數(shù)，$\int(2x+1)dx=x^2+x+C$。根據(jù)牛頓-萊布尼茨公式$\int_{a}^F'(x)dx=F(b)-F(a)$，這里$F(x)=x^2+x$，$a=0$，$b=1$，則$\int_{0}^{1}(2x+1)dx=(1^2+1)-(0^2+0)=2$。4.向量代數(shù)與空間解析幾何題目：已知向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec=(2,-1,1)$，求$\vec{a}\cdot\vec$。答案：根據(jù)向量點積的坐標(biāo)運算公式$\vec{a}\cdot\vec=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$，其中$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)=(1,2,3)$，$\vec=(b_1,b_2,b_3)=(2,-1,1)$，則$\vec{a}\cdot\vec=1\times2+2\times(-1)+3\times1=2-2+3=3$。題目：求過點$(1,2,3)$且與平面$2x+3y-z=0$平行的平面方程。答案：已知所求平面與平面$2x+3y-z=0$平行，則它們的法向量相同，所求平面的法向量$\vec{n}=(2,3,-1)$。根據(jù)平面的點法式方程$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$（其中$(x_0,y_0,z_0)=(1,2,3)$，$A=2$，$B=3$，$C=-1$），可得平面方程為$2(x-1)+3(y-2)-(z-3)=0$，化簡得$2x+3y-z-5=0$。5.多元函數(shù)微分學(xué)題目：設(shè)$z=x^2+y^2$，求$\frac{\partialz}{\partialx}$和$\frac{\partialz}{\partialy}$。答案：求$\frac{\partialz}{\partialx}$時，將$y$看作常數(shù)，對$x$求導(dǎo)，$\frac{\partialz}{\partialx}=2x$；求$\frac{\partialz}{\partialy}$時，將$x$看作常數(shù)，對$y$求導(dǎo)，$\frac{\partialz}{\partialy}=2y$。題目：設(shè)$z=f(x^2-y^2,e^{xy})$，求$\frac{\partialz}{\partialx}$。答案：令$u=x^2-y^2$，$v=e^{xy}$。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則$\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{\partialz}{\partialu}\frac{\partialu}{\partialx}+\frac{\partialz}{\partialv}\frac{\partialv}{\partialx}$。$\frac{\partialu}{\partialx}=2x$，$\frac{\partialv}{\partialx}=ye^{xy}$，則$\frac{\partialz}{\partialx}=2xf_1'+ye^{xy}f_2'$（其中$f_1'$表示$f$對第一個變量的偏導(dǎo)數(shù)，$f_2'$表示$f$對第二個變量的偏導(dǎo)數(shù)）。6.多元函數(shù)積分學(xué)題目：計算二重積分$\iint\limits_{D}xd\sigma$，其中$D$是由$y=x$，$y=x^2$所圍成的區(qū)域。答案：先求交點，聯(lián)立$\begin{cases}y=x\\y=x^2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}$和$\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}$。則積分區(qū)域$D$可以表示為$0\leqx\leq1$，$x^2\leqy\leqx$。$\iint\limits_{D}xd\sigma=\int_{0}^{1}xdx\int_{x^2}^{x}dy=\int_{0}^{1}x(x-x^2)dx=\int_{0}^{1}(x^2-x^3)dx=(\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4)\big|_{0}^{1}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$。7.級數(shù)題目：判斷級數(shù)$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$的斂散性。答案：根據(jù)$p$-級數(shù)的斂散性，對于級數(shù)$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$，當(dāng)$p\gt1$時級數(shù)收斂，當(dāng)$p\leq1$時級數(shù)發(fā)散。在級數(shù)$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$中，$p=2\gt1$，所以該級數(shù)收斂。題目：求冪級數(shù)$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$的收斂半徑。答案：根據(jù)冪級數(shù)收斂半徑的公式$R=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$，其中$a_n=\frac{1}{n!}$，$a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)!}$。則$R=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{1}{n!}}{\frac{1}{(n+1)!}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}(n+1)=+\infty$。8.常微分方程題目：求微分方程$y'=2x$的通解。答案：對$y'=2x$兩邊積分，$y=\int2xdx=x^2+C$，所以通解為$y=x^2+C$（$C$為任意常數(shù)）。題目：求微分方程$y''-3y'+2y=0$的通解。答案：特征方程為$r^2-3r+2=0$，因式分解得$(r-1)(r-2)=0$，解得$r_1=1$，$r_2=2$。根據(jù)二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解公式，當(dāng)特征根為兩個不相等的實根$r_1$，$r_2$時，通解為$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$，所以該微分方程的通解為$y=C_1e^x+C_2e^{2x}$（$C_1$，$C_2$為任意常數(shù)）。二、普通物理1.熱學(xué)題目：一定質(zhì)量的理想氣體，在等壓過程中溫度從$T_1$升高到$T_2$，求氣體對外做功。答案：根據(jù)等壓過程的功的公式$W=p(V_2-V_1)$，由理想氣體狀態(tài)方程$pV=\nuRT$可得$V_1=\frac{\nuRT_1}{p}$，$V_2=\frac{\nuRT_2}{p}$，則$W=p(\frac{\nuRT_2}{p}-\frac{\nuRT_1}{p})=\nuR(T_2-T_1)$。題目：已知理想氣體的內(nèi)能$E=\frac{5}{2}\nuRT$，求該氣體的等壓摩爾熱容$C_p$。答案：根據(jù)內(nèi)能公式$E=\frac{i}{2}\nuRT$，可知該氣體的自由度$i=5$。等壓摩爾熱容$C_p=C_V+R$，等體摩爾熱容$C_V=\frac{i}{2}R$，所以$C_V=\frac{5}{2}R$，則$C_p=\frac{5}{2}R+R=\frac{7}{2}R$。2.波動學(xué)題目：一平面簡諧波的波動方程為$y=0.02\cos(10\pit-5\pix)$（SI），求波的傳播速度。答案：將波動方程$y=0.02\cos(10\pit-5\pix)$與標(biāo)準(zhǔn)形式$y=A\cos(\omegat-kx)$對比，可得$\omega=10\pi$，$k=5\pi$。根據(jù)波速公式$u=\frac{\omega}{k}$，則$u=\frac{10\pi}{5\pi}=2m/s$。題目：兩列相干波在空間某點相遇，已知兩波源的相位差為$\pi$，兩波源到該點的波程差為$\frac{\lambda}{2}$，求該點的合振動情況。答案：根據(jù)相干波疊加的相位差公式$\Delta\varphi=\varphi_2-\varphi_1-\frac{2\pi}{\lambda}\Deltar$（其中$\varphi_2-\varphi_1=\pi$，$\Deltar=\frac{\lambda}{2}$），則$\Delta\varphi=\pi-\frac{2\pi}{\lambda}\times\frac{\lambda}{2}=0$。當(dāng)相位差為$2k\pi$（$k=0,\pm1,\pm2,\cdots$）時，合振動加強。3.光學(xué)題目：在雙縫干涉實驗中，已知雙縫間距$d=0.2mm$，縫到屏的距離$D=1m$，入射光波長$\lambda=500nm$，求相鄰明條紋的間距。答案：根據(jù)雙縫干涉相鄰明條紋間距公式$\Deltax=\frac{D\lambda}ynagmav$，將$d=0.2\times10^{-3}m$，$D=1m$，$\lambda=500\times10^{-9}m$代入，可得$\Deltax=\frac{1\times500\times10^{-9}}{0.2\times10^{-3}}=2.5\times10^{-3}m=2.5mm$。題目：用波長為$\lambda$的單色光垂直照射到空氣劈尖上，求第$k$級明條紋對應(yīng)的劈尖厚度。答案：根據(jù)空氣劈尖干涉明條紋條件$2e+\frac{\lambda}{2}=k\lambda$（$k=1,2,3,\cdots$），解得$e=\frac{(2k-1)\lambda}{4}$，即第$k$級明條紋對應(yīng)的劈尖厚度為$\frac{(2k-1)\lambda}{4}$。三、普通化學(xué)1.物質(zhì)的結(jié)構(gòu)與物質(zhì)狀態(tài)題目：已知某元素的原子序數(shù)為$24$，寫出其電子排布式。答案：根據(jù)電子排布的規(guī)則，該元素的電子排布式為$1s^22s^22p^63s^23p^63d^54s^1$。題目：判斷$CO_2$分子的極性。答案：$CO_2$分子的空間構(gòu)型為直線形，$C=O$鍵是極性鍵，但由于分子的對稱性，鍵的極性相互抵消，所以$CO_2$分子是非極性分子。2.溶液題目：將$5g$氫氧化鈉溶于$95g$水中，求該溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù)。答案：溶液質(zhì)量分?jǐn)?shù)$\omega=\frac{m_{溶質(zhì)}}{m_{溶液}}\times100\%=\frac{5}{5+95}\times100\%=5\%$。題目：已知某溶液的物質(zhì)的量濃度為$0.1mol/L$，體積為$500mL$，求溶質(zhì)的物質(zhì)的量。答案：根據(jù)物質(zhì)的量濃度公式$c=\frac{n}{V}$（$V$的單位為$L$），$V=500mL=0.5L$，則$n=cV=0.1\times0.5=0.05mol$。3.化學(xué)反應(yīng)速率與化學(xué)平衡題目：對于反應(yīng)$2A+B\rightleftharpoons3C$，已知反應(yīng)速率$v_A=0.2mol/(L\cdots)$，求$v_B$和$v_C$。答案：根據(jù)化學(xué)反應(yīng)速率之比等于化學(xué)計量數(shù)之比，$\frac{v_A}{2}=\frac{v_B}{1}=\frac{v_C}{3}$。已知$v_A=0.2mol/(L\cdots)$，則$v_B=\frac{1}{2}v_A=0.1mol/(L\cdots)$，$v_C=\frac{3}{2}v_A=0.3mol/(L\cdots)$。題目：在一定溫度下，反應(yīng)$N_2(g)+3H_2(g)\rightleftharpoons2NH_3(g)$達(dá)到平衡，若增大壓強，平衡如何移動？答案：該反應(yīng)的正反應(yīng)是氣體分子數(shù)減小的反應(yīng)，根據(jù)勒夏特列原理，增大壓強，平衡向氣體分子數(shù)減小的方向移動，即向正反應(yīng)方向移動。4.氧化還原反應(yīng)與電化學(xué)題目：寫出銅鋅原電池的電極反應(yīng)和電池反應(yīng)。答案：負(fù)極（鋅電極）：$Zn-2e^-=Zn^{2+}$；正極（銅電極）：$Cu^{2+}+2e^-=Cu$；電池反應(yīng)：$Zn+Cu^{2+}=Zn^{2+}+Cu$。題目：已知電極反應(yīng)$MnO_4^-+8H^++5e^-\rightleftharpoonsMn^{2+}+4H_2O$的標(biāo)準(zhǔn)電極電勢為$\varphi^{\circ}$，當(dāng)$c(H^+)$增大時，電極電勢如何變化？答案：根據(jù)能斯特方程$\varphi=\varphi^{\circ}+\frac{0.0592}{n}\lg\frac{[氧化態(tài)]}{[還原態(tài)]}$，對于該電極反應(yīng)，$n=5$，氧化態(tài)中包含$H^+$，當(dāng)$c(H^+)$增大時，$\lg\frac{[氧化態(tài)]}{[還原態(tài)]}$增大，所以電極電勢$\varphi$增大。5.有機化學(xué)題目：寫出乙烯與溴水反應(yīng)的化學(xué)方程式。答案：乙烯與溴水發(fā)生加成反應(yīng)，化學(xué)方程式為$CH_2=CH_2+Br_2\toCH_2BrCH_2Br$。題目：鑒別乙醇和乙酸可以用什么試劑？答案：可以用碳酸鈉溶液，乙醇與碳酸鈉溶液不反應(yīng)，無明顯現(xiàn)象；乙酸與碳酸鈉溶液反應(yīng)產(chǎn)生二氧化碳?xì)怏w，有氣泡產(chǎn)生。四、理論力學(xué)1.靜力學(xué)題目：已知一平面匯交力系，$F_1=10N$，$F_2=20N$，兩力夾角為$60^{\circ}$，求合力大小。答案：根據(jù)力的合成的平行四邊形法則，合力大小$F=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_1F_2\cos60^{\circ}}=\sqrt{10^2+20^2+2\times10\times20\times\frac{1}{2}}=\sqrt{100+400+200}=\sqrt{700}=10\sqrt{7}N$。題目：求圖示結(jié)構(gòu)中$A$、$B$處的約束力。（此處假設(shè)給出一個簡單的靜定梁結(jié)構(gòu)，梁上有荷載作用）答案：首先對整體進(jìn)行受力分析，列出平衡方程。設(shè)梁長為$L$，荷載為$F$，假設(shè)$A$處為固定鉸支座，有水平和豎向約束力$F_{Ax}$，$F_{Ay}$，$B$處為可動鉸支座，有豎向約束力$F_{By}$。$\sumF_x=0$，可得$F_{Ax}=0$；$\sumM_A=0$，$F_{By}L-F\times\frac{L}{2}=0$，解得$F_{By}=\frac{F}{2}$；$\sumF_y=0$，$F_{Ay}+F_{By}-F=0$，將$F_{By}=\frac{F}{2}$代入，可得$F_{Ay}=\frac{F}{2}$。2.運動學(xué)題目：一質(zhì)點作直線運動，其運動方程為$x=3t^2-2t+1$（$x$單位為$m$，$t$單位為$s$），求$t=2s$時的速度和加速度。答案：速度$v=\frac{dx}{dt}=6t-2$，當(dāng)$t=2s$時，$v=6\times2-2=10m/s$；加速度$a=\frac{dv}{dt}=6m/s^2$。題目：已知剛體作定軸轉(zhuǎn)動，角速度$\omega=2t$（$t$單位為$s$），求$t=1s$時的角加速度。答案：角加速度$\alpha=\frac{d\omega}{dt}=2rad/s^2$，與時間無關(guān)，所以$t=1s$時的角加速度為$2rad/s^2$。3.動力學(xué)題目：質(zhì)量為$m$的物體在水平力$F$作用下沿水平地面作勻加速直線運動，物體與地面間的摩擦系數(shù)為$\mu$，求物體的加速度。答案：對物體進(jìn)行受力分析，水平方向有$F-f=ma$，其中$f=\muN$，豎直方向$N=mg$，則$F-\mumg=ma$，解得$a=\frac{F-\mumg}{m}$。題目：一均質(zhì)圓盤質(zhì)量為$m$，半徑為$R$，繞通過圓心且垂直于盤面的軸作定軸轉(zhuǎn)動，角速度為$\omega$，求圓盤的動能。答案：均質(zhì)圓盤的轉(zhuǎn)動慣量$J=\frac{1}{2}mR^2$，根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動動能公式$T=\frac{1}{2}J\omega^2$，則圓盤的動能$T=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}mR^2\omega^2=\frac{1}{4}mR^2\omega^2$。五、材料力學(xué)1.軸向拉伸與壓縮題目：一拉桿，直徑為$d$，受軸向拉力$F$作用，求桿內(nèi)的正應(yīng)力。答案：根據(jù)軸向拉壓桿的正應(yīng)力公式$\sigma=\frac{F}{A}$，其中$A=\frac{\pid^2}{4}$，則$\sigma=\frac{4F}{\pid^2}$。題目：已知拉桿的許用應(yīng)力為$[\sigma]$，承受軸向拉力$F$，求拉桿的最小直徑。答案：由$\sigma=\frac{F}{A}\leq[\sigma]$，$A=\frac{\pid^2}{4}$，可得$\frac{4F}{\pid^2}\leq[\sigma]$，解出$d\geq\sqrt{\frac{4F}{\pi[\sigma]}}$，即拉桿的最小直徑為$\sqrt{\frac{4F}{\pi[\sigma]}}$。2.剪切與擠壓題目：一螺栓連接，螺栓直徑為$d$，承受剪力$F$，求螺栓的剪切應(yīng)力。答案：根據(jù)剪切應(yīng)力公式$\tau=\frac{F}{A_s}$，其中$A_s=\frac{\pid^2}{4}$，則$\tau=\frac{4F}{\pid^2}$。題目：已知連接件的許用擠壓應(yīng)力為$[\sigma_{bs}]$，承受擠壓力$F_{bs}$，擠壓面直徑為$d$，求擠壓面的最小長度。答案：擠壓面面積$A_{bs}=d\timesl$（$l$為擠壓面長度），由$\sigma_{bs}=\frac{F_{bs}}{A_{bs}}\leq[\sigma_{bs}]$，可得$\frac{F_{bs}}{d\timesl}\leq[\sigma_{bs}]$，解出$l\geq\frac{F_{bs}}{d[\sigma_{bs}]}$，即擠壓面的最小長度為$\frac{F_{bs}}{d[\sigma_{bs}]}$。3.扭轉(zhuǎn)題目：一圓軸，直徑為$d$，受扭矩$T$作用，求軸內(nèi)的最大扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力。答案：根據(jù)圓軸扭轉(zhuǎn)的剪應(yīng)力公式$\tau_{max}=\frac{T}{W_t}$，其中$W_t=\frac{\pid^3}{16}$，則$\tau_{max}=\frac{16T}{\pid^3}$。題目：已知圓軸的許用扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力為$[\tau]$，承受扭矩$T$，求圓軸的最小直徑。答案：由$\tau_{max}=\frac{T}{W_t}\leq[\tau]$，$W_t=\frac{\pid^3}{16}$，可得$\frac{16T}{\pid^3}\leq[\tau]$，解出$d\geq\sqrt[3]{\frac{16T}{\pi[\tau]}}$，即圓軸的最小直徑為$\