微專題20圓錐曲線經(jīng)典難題之一類面積、面積比問題的通性通法研究秒殺總結(jié)1.三角形面積問題模型一：基本方法模型二：分割三角形模型三：三角形面積坐標表示模型四（面積比）：“等角”“共角”“對頂角”蝴蝶模型蟬模型2.四邊形面積問題模型一模型二模型三3.圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.4.圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．典型例題例1．（2022·寧夏銀川·一模（文））如圖，已知橢圓，曲線與軸的交點為，過坐標原點的直線與相交于、，直線、分別與交于點、.(1)證明：以為直徑的圓經(jīng)過點；(2)記、的面積分別為、，若，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）分析可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用斜率公式結(jié)合韋達定理計算得出，可得出，即可證得結(jié)論成立；（2）設(shè)的斜率為，則的方程為，將直線的方程分別與曲線、的方程聯(lián)立，可求得點、的坐標，同理可得出點、的坐標，可求得、，進而可得出的表達式，利用基本不等式可求得的取值范圍.(1)證明：若直線的斜率不存在，則該直線與軸重合，此時直線與曲線只有一個交點，不合乎題意.所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為.由得，設(shè)、，則、是上述方程的兩個實根，于是，.又因為點，所以，所以，即，所以為直徑的圓經(jīng)過點.(2)解：由已知，設(shè)的斜率為，則的方程為，由解得或，則點的坐標為，又直線的斜率為，同理可得點的坐標為.所以，由得，解得或，則點的坐標為，又直線的斜率為，同理可得點的坐標，于是，因此，當時，即當時，等號成立，所以，所以的取值范圍為.例2．（2022·山東臨沂·一模）已知橢圓C：(，)的左、右焦點分別為，，離心率為，直線被C截得的線段長為.(1)求C的方程：(2)若A和B為橢圓C上在x軸同側(cè)的兩點，且，求四邊形面積的最大值及此時的值.【答案】(1)；(2)最大面積為，＝.【解析】【分析】(1)根據(jù)離心率表示出a、b、c的關(guān)系，再求出被截得的弦長，根據(jù)該弦長為即可求出a、b、c，從而確定橢圓的標準方程；(2)，根據(jù)橢圓的對稱性，延長交橢圓與C、D，構(gòu)造平行四邊形ABCD，根據(jù)即可計算四邊形面積的最大值，并求出此時的取值.(1)，，，∴，∴橢圓標準方程為，∴，由題可知，；(2)，如圖，延長交橢圓與C、D，根據(jù)橢圓的對稱性可知，四邊形ABCD為平行四邊形，且四邊形面積為四邊形ABCD面積的一半.由題知，斜率不為零，故設(shè)方程為，①，設(shè)，∵，∴，故，O到的距離，＝，當且僅當，即時，取等號，∴當m＝±1時，四邊形面積最大為.根據(jù)對稱性，不妨取m＝1時，方程①化為，解得，由對稱性可知，故或，∴或，綜上，四邊形面積最大為，此時.【點睛】本題關(guān)鍵點利用橢圓的對稱性，將四邊形補全為平行四邊形進行求解.例3．（2022·浙江·模擬預(yù)測）如圖，已知橢圓和拋物線，斜率為正的直線與軸及橢圓依次交于、、三點，且線段的中點在拋物線上．(1)求點的縱坐標的取值范圍；(2)設(shè)是拋物線上一點，且位于橢圓的左上方，求點的橫坐標的取值范圍，使得的面積存在最大值．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）設(shè)直線的方程為，則，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，可求得點的坐標，將點的坐標代入拋物線的方程，可得出，結(jié)合可得出的取值范圍，進而可求得的取值范圍，即可得解；（2）設(shè)點，計算得出的面積，令，記，則，求導，分析可知函數(shù)在內(nèi)有唯一的極值點，且為極大值點，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于的不等式組，解出的取值范圍，即可得出點的橫坐標的取值范圍.(1)解：由題意可設(shè)直線的方程為，則，聯(lián)立可得，，可得，①設(shè)點、，由韋達定理可得，，設(shè)點，則，，將點的坐標代入拋物線的方程得，則，代入①可得，可得，解得，因此.因此，點的縱坐標的取值范圍是.(2)解：設(shè)點，則點到直線的距離為，，故的面積，②將代入②得，令，記，則，則，因為在上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在內(nèi)有唯一的極值點，且為極大值點，所以，，可得，③因為點在橢圓的左上方，則，④由③④可得，因此，點的橫坐標的取值范圍是.例4．（2022·浙江·模擬預(yù)測）如圖，點A，B是橢圓與曲線的兩個交點，其中點A與C關(guān)于原點對稱，過點A作曲線的切線與x軸交于點D．記△ABC與△ABD的面積分別是，．(1)證明：；(2)若，求的最大值．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】（1）設(shè)，且，結(jié)合斜率的兩點式求，即可證結(jié)論.（2）由（1）得直線，并求出曲線上過A的切線，確定D坐標，應(yīng)用點線距離公式求、D到直線的距離，兩點公式求弦長，再由三角形面積公式求，關(guān)于m、n的表達式并作差，根據(jù)在橢圓上得且，即可求最值.(1)由題設(shè)，令，且，則，又，得證.(2)由（1）得：直線為，則到直線的距離為；由且，則，故過A的切線為，令，可得，即，所以到直線的距離為；又，所以，，故，根據(jù)在橢圓上，則，可得，且，綜上，且，所以，當時，，此時，則，故.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，應(yīng)用兩點、點線距離及三角形面積公式得到關(guān)于m、n的表達式，并由點在橢圓上和，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.例5．（2022·河南·一模（理））已知點F為橢圓的右焦點，橢圓上任意一點到點F距離的最大值為3，最小值為1.（1）求橢圓C的標準方程；（2）若M為橢圓C上的點，以M為圓心，長為半徑作圓M，若過點可作圓M的兩條切線(為切點)，求四邊形面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題意可得關(guān)于的方程，解出即可得橢圓方程；（2）由橢圓的定義可得，將用表示，四邊形面積表示為關(guān)于的表達式，利用導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系得最值即可.【詳解】（1）根據(jù)題意橢圓上任意一點到點距離的最大值為3，最小值為1.所以，解得，所以因此橢圓的標準方程為（2）由（1）知，為橢圓的左焦點，根據(jù)橢圓定義知，，設(shè)，∵點在圓外，∴，∴所以在直角三角形中，，，由圓的性質(zhì)知，四邊形面積，其中.即.令，則當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.所以，在時，取極大值，也是最大值此時.【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）橢圓上長軸上的兩個頂點到焦點的距離即為橢圓上的點到焦點的距離最值；（2）將四邊形的面積表示為關(guān)于的函數(shù)，通過導數(shù)求最值即可.例6．（2022·天津·南開中學二模）已知橢圓的左右焦點分別是和，離心率為，點P在橢圓E上，且的面積的最大值為.（1）求橢圓C的方程；（2）直線l過橢圓C右焦點，交該橢圓于A?B兩點，AB中點為Q，射線OQ交橢圓于P，記的面積為，的面積為，若，求直線l的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由P在短軸端點時，的面積最大，即，再根據(jù)離心率為求解.（2）由，即，，易知當AB斜率不存在時，不合題意，當AB斜率存在時，設(shè)直線方程為，由點差法得到然后聯(lián)立方程，分別求得求解.【詳解】（1）依題意，顯然當P在短軸端點時，的面積最大為，即，又由離心率為，，解得，，，所以橢圓C的方程為.（2）因為，所以，所以，所以，當AB斜率不存在時，，不合題意，當AB斜率存在時，設(shè)直線方程為，設(shè)點，，則，兩式作差得：，即，故直線OP的方程為：，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，因為，所以，即，解得：，所以直線AB的方程為.【點睛】方法點睛：解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單．過關(guān)測試1．（2022·寧夏·銀川二中一模（理））已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)若四邊形的頂點在橢圓上，且對角線過原點，直線和的斜率之積為，證明：四邊形的面積為定值.【答案】(1)；(2)證明見詳解．【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率為，再根據(jù)點是橢圓上一點，求得，即得答案；（2）考慮直線斜率是否存在情況，然后設(shè)直線方程，和橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合可得到，進而表示出四邊形ABCD的面積，化簡可得結(jié)論.(1)離心率為，則∴又∵點是橢圓上一點，∴，又解得因此，橢圓的方程為(2)證明:：當直線AB的斜率不存在時，不妨設(shè)，則，又，解得，根據(jù)橢圓的對稱性，不妨取,則，則,所以;當直線AB斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為，設(shè)點聯(lián)立，得，則因為，得，即，所以，，解得，，原點到直線AB的距離為，因為且所以（定值），綜上述四邊形ABCD的面積為定值．2．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線，點，過點M的直線與拋物線C交于點，，且.過A，B兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點為N.(1)證明：點N的縱坐標為定值；(2)若點N的橫坐標為1，點D為拋物線C夾在點A，B之間部分上的任意一點（不與點A，B重合），過點D作拋物線的切線與直線NA?直線NB分別交于P，Q兩點，求△NPQ面積的最大值，并求出△NPQ的面積取最大值時點D的坐標.【答案】(1)證明見解析(2)最大值為，此時【解析】【分析】（1）求出兩切線方程求交點，由直線與拋物線聯(lián)立化簡得（2）由題意設(shè)坐標，求出后表示△NPQ面積，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值(1)證明：由已知條件得，，設(shè).易知直線AB的斜率存在，故可設(shè)直線AB的方程為.聯(lián)立消去y整理得，則，則，.聯(lián)立得：由解得所以過拋物線上A，B兩點的切線方程分別為和，即和，兩切線方程聯(lián)立解得，，即點N的縱坐標為定值，其值為.(2)由（1）及題意可知，所以，解得.聯(lián)立（聯(lián)立直線與拋物線的方程求得點A，B的坐標，從而可知直線NA與NB的方程）消去y整理得，解得或.又，則，，則，，故可知直線NA的方程為，直線NB的方程為.由題意可設(shè)，（由點D處的切線方程與直線NA，NB的方程可求得點P，Q的坐標）則點D處的切線方程為，即.聯(lián)立解得，聯(lián)立解得.所以.又點N到直線PQ的距離，從而△NPQ的面積.因為，且時，，時，，所以，所以，當時取等號，即△NPQ面積的最大值為，此時.3．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點為，，直線與橢圓交于，兩點．已知周長的最大值為，且當，時，．(1)求橢圓的標準方程；(2)設(shè)的面積為，若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由已知可得當直線經(jīng)過點時，三角形周長最大，再利用待定系數(shù)法求得橢圓方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達定理與弦長可得，進而可得三角形面積，再利用換元法及二次函數(shù)最值情況可得面積的范圍.(1)由橢圓定義可知，，故三角形的周長,又，當直線經(jīng)過點時，等號成立，故，即，故橢圓方程為，又當，時，，設(shè)點，故，解得，故點，代入橢圓方程得，解得，故橢圓方程為；(2)聯(lián)立橢圓與直線方程，得，，即，則，，，化簡可得，點到直線的距離為，所以，設(shè)，則，所以.【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．4．（2022·四川宜賓·二模（文））已知橢圓的左右焦點分別為，，為的上頂點，且.(1)求的方程；(2)過坐標原點作兩直線，分別交于，和，兩點，直線，的斜率分別為，.是否存在常數(shù)，使時，四邊形的面積為定值？如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由.【答案】(1)(2)存在，【解析】【分析】（1）由先解出，再由解出（2）由橢圓的對稱性可知四邊形為平行四邊形，則，以，為參數(shù)表示出的面積，再判定是否存在常數(shù)使之為定值(1)解：，，，，：(2)設(shè)：，：，（），（）由消去得：，解之得，同理可求又點到的距離所以當即時，四邊形的面積為定值.故存在常數(shù)使得四邊形的面積為定值5．（2022·河南鄭州·二模（文））已知橢圓：（）過點，離心率為.(1)求橢圓的標準方程；(2)過橢圓上的點（）的直線與，軸的交點分別為，，且，過原點的直線與平行，且與交于，兩點，求面積的最大值.【答案】(1)(2)最大值為【解析】【分析】（1）依題意可得，再利用離心率的變形公式可求得，即得橢圓的標準方程（2）以點坐標為參數(shù)表示出的面積，再利用均值不等式求最大值(1)由題意得，又所以∴橢圓的標準方程為.(2)∵點在橢圓上，∴，即由題意可得直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為，則，則.，即，∴直線l的斜率∵，∴直線的方程為，即.聯(lián)立，解得，∴，∴，又點A到直線的距離，，又，當且僅當，即時等號成立，，∴.∴面積的最大值為.6．（2022·四川雅安·二模）已知橢圓：（）的離心率為，點在橢圓上．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)是橢圓上第一象限內(nèi)的點，直線過點且與橢圓有且僅有一個公共點．①求直線的方程（用，）表示；②設(shè)為坐標原點，直線分別與軸，軸相交于點，，試探究的面積是否存在最小值．若存在，求出最小值及相應(yīng)的點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)①；②，【解析】【分析】（1）利用離心率和點的坐標解方程組即可；（2）①設(shè)出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，利用得到關(guān)于的一元二次方程，解出，即可寫出直線；②直接表示出面積，借助基本不等式求最小值即可.(1)，解得，故橢圓的方程為.(2)①由題意知，在橢圓上，故，直線斜率一定存在，設(shè)，聯(lián)立橢圓方程得：，由有且僅有一個公共點，可得，得，，對于確定的點，直線只有一條，即關(guān)于的一元二次方程有兩個相同的根，，，化簡得.②由知，令，，令，，，又，即，得，當且僅當時取等號，此時面積最小為，點.【點睛】本題關(guān)鍵點在于設(shè)出直線方程后，聯(lián)立橢圓方程利用判別式進行解題，在得到關(guān)于的一元二次方程后，利用兩根相等解出，即可寫出直線方程.7．（2022·重慶市天星橋中學一模）已知為坐標原點，點在橢圓上，橢圓的左右焦點分別為，且.(1)求橢圓的標準方程；(2)若點在橢圓上，原點為的重心，證明：的面積為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)焦距可確定，再根據(jù)點在橢圓上，代入方程解方程組可得答案.（2）設(shè)直線的方程為，和橢圓聯(lián)立，整理得到根與系數(shù)的關(guān)系式，繼而根據(jù)重心性質(zhì)表示出坐標為，代入橢圓方程得到參數(shù)之間的關(guān)系式，從而再表示出三角形的高,根據(jù)面積公式表示出的面積，將參數(shù)間的關(guān)系式代入化簡即可證明.(1)由橢圓的左右焦點分別為，且，可知：，即①，將代入方程得：②，①

②聯(lián)立解得，②

故橢圓的標準方程為.(2)證明：設(shè)，當直線斜率不存在時，即，由原點為的重心，可知故可得此時有，該點在橢圓上，則，不妨取，則有，或，則此時;當直線斜率存在時，不妨設(shè)方程為，則聯(lián)立，整理得：，且需滿足，則，所以，由原點為的重心知，，故坐標為，代入到中，化簡得：，即，又原點為的重心，故到直線的距離為原點到直線距離的3倍，所以

，而==，因此=，綜合上述可知：的面積為定值.【點睛】本題考查了橢圓方程的求法以及重心性質(zhì)的應(yīng)用，以及橢圓內(nèi)的特殊三角形面積問題，運算量比較復(fù)雜而且計算量較大，解決本題的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程，要利用重心性質(zhì)表示出一個點的坐標并代入橢圓方程中，找到兩參數(shù)之間的關(guān)系式，然后三角形面積的表示這點并不困難，表示的方法也比較常規(guī)，但需要計算時十分細心還要有耐心.8．（2022·新疆·一模（理））在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，過橢圓C的焦點F作長軸的垂線，交橢圓于點P，且．(1)求橢圓C的方程；(2)假設(shè)直線與橢圓C交于A，B兩點．若原點O到直線l的距離為1，并且，當時，求的面積S的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用離心率及列出方程組，求出橢圓方程；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立后用韋達定理表達出弦長及面積，利用求出的的取值范圍，求出面積的取值范圍.(1)由題意可知：，又，可得，∴橢圓C的方程為：(2)由，得聯(lián)立得顯然，設(shè)，，則，且∴=由，解得，∴∴∴∴當時，，當時，∴．綜上，【點睛】直線與橢圓相結(jié)合，求三角形面積的范圍問題，通常處理思路是設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立后運用韋達定理表達出弦長或者三角形面積等，利用基本不等式或二次函數(shù)等知識求范圍.9．（2022·湖南常德·一模）已知兩點分別在軸和軸上運動，且，若動點滿足，設(shè)動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過點作直線的垂線，交曲線于點（異于點），求面積的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用給定條件，結(jié)合向量運算的坐標表示用點G的坐標表示出即可求解作答.（2）設(shè)出直線的方程，與E的方程聯(lián)立，借助韋達定理求出長，利用均值不等式求出的最大值即可計算作答(1)依題意，設(shè)，則，，因，則，解得，而，即，于是得，即，所以曲線的方程為.(2)依題意，直線垂直于且與曲線交于、兩點，則直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線：，，，由消去并整理得：，，，，，由（1）知，直線MN的斜率，則，直線過點，即，而點在曲線上，，于是得，即，，即，，當且僅當時取“=”，此時，則有，所以面積的最大值為.【點睛】思路點睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問題，可以以直線的斜率、橫(縱)截距、圖形上動點的橫(縱)坐標為變量，建立函數(shù)關(guān)系求解作答.10．（2022·重慶市育才中學模擬預(yù)測）已知雙曲線：過點，且的漸近線方程為.(1)求的方程；(2)如圖，過原點O作互相垂直的直線，分別交雙曲線于A，B兩點和C，D兩點，A，D在x軸同側(cè).請從①②兩個問題中任選一個作答，如果多選，則按所選的第一個計分.①求四邊形ACBD面積的取值范圍；②設(shè)直線AD與兩漸近線分別交于M，N兩點，是否存在直線AD使M，N為線段AD的三等分點，若存在，求出直線AD的方程；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)若選①，；若選②，直線AD不存在.【解析】【分析】（1）求出后可得雙曲線的方程.（2）若選①，設(shè)，，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程后可求四邊形面積的平方的表達式，從而可求其取值范圍；若選②，可得設(shè)，其中，則可求的坐標，利用它們在雙曲線上及可得關(guān)于的方程組，根據(jù)方程組無解可得直線不存在.(1)因為雙曲線的漸近線方程為，故，又，解得，故雙曲線的方程為：.(2)若選①，由題設(shè)可知直線，的斜率均存在且均不為零，設(shè)，，設(shè)，則可得，其中.同理，其中，故或，故，同理，故四邊形ACBD的面積滿足：，令，則，當或時，；當或時，；故在，上為增函數(shù)，在，上為減函數(shù)，故當或時，或，所以，故即.若選②，先考慮在軸上方，且在第一象限，在第二象限，設(shè)，其中，若M，N為線段AD的三等分點，則可得，故，同理，所以，整理得，而，故，故，整理得到，故無解，故滿足條件的直線不存在，由雙曲線的對稱性可得直線不存在.11．（2022·新疆烏魯木齊·二模（理））已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且．(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)是拋物線上異于原點的一點，過點作圓的兩條切線與拋物線分別交于異于點的，兩點，若切線互相垂直，求的面積．【答案】(1)(2)48【解析】【分析】（1）利用點在拋物線上，得到，再根據(jù)得到，聯(lián)立兩式可得，即可得到拋物線方程.（2）根據(jù)都與圓相切，且，得到點坐標，再解出，兩點坐標，進而可求得的面積.(1)解：點在拋物線上，，又，.將代入，得到解得.所以，拋物線的方程為.(2)設(shè)與圓分別相切點，兩點，則，又因為，所以四邊形為正方形，，所以點在以為圓心，4為半徑的圓上，即點Q坐標滿足.聯(lián)立方程，可得，化簡為，解得或.因為點異于原點，且在上，并且與關(guān)于軸對稱，不妨取點.設(shè)過點與圓相切的直線為則圓心M到直線的距離為半徑，即，解得，不妨取，則，直線得方程為：，直線得方程為：聯(lián)立，即，得（對應(yīng)Q點），則，所以.聯(lián)立，即，得，可得（對應(yīng)Q點），則，所以.取與軸的交點為，則=，即的面積為48.【點睛】本題考查了解析幾何中拋物線的綜合問題，屬于難題.（1）一般直線與拋物線相交，采用設(shè)點，設(shè)直線，聯(lián)立方程處理，在解決問題上分為設(shè)而求，與設(shè)而不求兩類，本題采用設(shè)直線，聯(lián)立方程來直接求得點坐標；（2）在圓錐曲線中，可采用求弦長以及點到直線的距離方式求解三角形的面積；也可將所求三角形分解為兩個三角形，用這兩個相對容易求解的三角形面積進行相加或相減處理，得到我們要求的三角形面積．12．（2022·江蘇·南京市寧海中學二模）已知橢圓：的右焦點與右準線：的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)若直線：與橢圓相交于，兩點，線段的垂直平分線與直線及軸和軸分別相交于點，，，直線與右準線相交于點．記，的面積分別為，，求的值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)條件列出方程組，解得a,b的值，可得答案;（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求出A,B中點D的坐標，進而表示出直線DE的方程，進而求出點G,E的坐標，由此求得,表示出直線的方程，求得點H坐標，求出點H到直線GD的距離，從而表示出,則可得的表達式，化簡可得答案.(1)由題意可得：，故，解得，故橢圓的方程為；(2)聯(lián)立，整理得：，需滿足，設(shè)，則，故,故直線DE的方程為：，即，令，則可得：;令，則可得：;故,所以;又，又的方程為：，令可得,故到直線的距離為，故，故.【點睛】本題綜合考查了橢圓方程的求解以及直線和橢圓位置關(guān)系中的三角形面積問題，對學生的思維能力以及計算的要求較高，解答時要注意明確解答的思路，難點在于復(fù)雜的運算，要十分細心.13．（2022·四川南充·二模（文））如圖所示，橢圓的右頂點為，上頂點為為坐標原點，.橢圓離心率為，過橢圓左焦點作不與軸重合的直線，與橢圓相交于兩點.直線的方程為：，過點作垂線，垂足為.(1)求橢圓的標準方程；(2)①求證：直線過定點，并求定點的坐標；②求面積的最大值.【答案】(1)(2)①證明見解析，定點；②【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的標準方程.（2）①設(shè)直線方程：，聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，求得直線的方程，并求得定點坐標.②結(jié)合弦長公式求得面積的表達式，利用導數(shù)求得面積的最大值.(1)由題意可得：，解得，故橢圓的標準方程為.(2)①由題意知，，設(shè)直線方程：.，聯(lián)立方程，得，所以，所以，又，所以直線方程為：，令，則.綜上：直線過定點.②由（1）中，所以，又，所以，令，則，令，當時，，故在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，所以時，.14．（2022·江西·臨川一中模擬預(yù)測（文））已知橢圓的左右焦點分別為，，其離心率，過左焦點的直線l與橢圓交于A，B兩點，且的周長為8.(1)求橢圓C的標準方程；(2)如圖過原點的直線與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點（點E在第一象限），過點E作x軸的垂線，垂足為點G，設(shè)直線與橢圓的另一個交點為H，連接得到直線，交x軸于點M，交y軸于點N，記、的面積分別為，，求的最小值.【答案】(1)；(2)4.【解析】【分析】（1）利用橢圓的定義可得，結(jié)合條件即得；（2）設(shè)直線的方程為，，，，利用點差法可得，進而可得直線的方程可設(shè)為，然后表示出，，再利用基本不等式即得.(1)由題知橢圓的離心率，且的周長為8，所以，,所以，故橢圓的標準方程為；(2)令直線的方程為，，，，由軸，則，∴，，則，由將點E，H代入橢圓的方程可得：，兩式作差可得：，所以，由，所以，所以直線的方程可設(shè)為，令時，，令時，，則的面積為，的面積為，則，當且僅當時取等號，所以的最小值為4.15．（2022·河南·三模（文））橢圓，A，B為其左右頂點，G點坐標為，c為橢圓的半焦距，且有，橢圓E的離心率.(1)求橢圓E的標準方程；(2)已知O為坐標原點，M，N為橢圓上不重合兩點，且M，N的中點H在直線上，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由可得，從而可求出，再由和可求出，進而可得橢圓方程；（2）設(shè)，，，則，利用點差法求出直線的斜率為，然后設(shè)直線，與橢圓聯(lián)立方程組，消去，則判別式大于零求出的范圍，利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式求出再求出原點到直線的距離，從而表示出的面積，然后利用基本不等式可求出其最大值.(1)依題意：，，則，.∴，即.又，解得，，，所以橢圓E的方程為.(2)設(shè)，，，則，因為M，N在橢圓上，有：.設(shè)直線，聯(lián)立，又，得，所以，.原點O到直線的距離.所以.當且僅當，即時等號成立，故面積的最大值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查橢圓方程的求法，考察直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用點差法求出直線的斜率，從而可設(shè)出直線的方程，再與橢圓方程聯(lián)立方程組表示出的長，利用點到直線的距離公式求出原點到直線的距離，進而可表示三角形的面積.16．（2022·河南省直轄縣級單位·二模（文））如圖，圓與拋物線相交于點、、、，且．(1)若拋物線的焦點為，為其準線上一點，是坐標原點，，求拋物線的方程；(2)設(shè)與相交于點，與組成蝶形（如圖所示的陰影區(qū)域）的面積為，求點的坐標及的最大值．【答案】(1)(2)，的最大值為.【解析】【分析】（1）可設(shè)點，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可得出的值，即可得出拋物線的標準方程；（2）設(shè)點、，則、，，將拋物線的方程與圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，根據(jù)可求得點的坐標，利用三角形的面積公式結(jié)合基本不等式可求得的最大值.(1)解：拋物線的焦點為，設(shè)點，所以，，，則，可得，故拋物線的標準方程為.(2)解：根據(jù)圓與拋物線的對稱性，四邊形是以軸為對稱軸的等腰梯形，不妨設(shè)，、在第一象限，設(shè)點、，則、，，聯(lián)立，消去可得，則關(guān)于的二次方程有兩個不等的正根，所以，解得，依據(jù)對稱性，點在軸上，可設(shè)點，由得，所以，，解得，所以，點，，當且僅當時，等號成立，故當時，取得最大值.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．17．（2022·陜西寶雞·二模（文））已知曲線上任一點到點的距離等于該點到直線的距離．經(jīng)過點的直線與曲線交于、兩點．(1)求曲線的方程；(2)若曲線在點、處的切線交于點，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）分析可知曲線是以點為焦點，以直線為準線的拋物線，由此可求得曲線的方程；（2）先證明結(jié)論：拋物線在其上一點上一點的切線方