第1頁（共1頁）2025-2026學(xué)年山東省青島大學(xué)附中九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）一、選擇題（本題滿分30分，共有10小題，每小題3分）1．（3分）在數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們判斷一個四邊形門框是否為矩形，下面是一個學(xué)習(xí)小組擬定的方案（）A．測量其中三個角是否為直角 B．測量兩組對邊是否相等 C．測量對角線是否相互平分 D．測量對角線是否相等2．（3分）下列方程一定是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A． B．5x2﹣6y﹣3＝0 C．a(chǎn)x2﹣x+2＝0 D．（a2+1）x2+bx+c＝03．（3分）一元二次方程5x＝3﹣12x2的一次項系數(shù)與常數(shù)項分別是（）A．5，﹣3 B．﹣5，﹣3 C．3，﹣5 D．3，54．（3分）如圖，將線段AB繞它的中點O逆時針旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜180）得到線段A′B′，A，B′，依次連接AA′，BB′，B′A．則下列結(jié)論不一定正確的是（）A．∠AA′B＝90° B．對于任意α，四邊形AA′BB′都是矩形 C．AB＝2BB′ D．當(dāng)α＝90°時，四邊形AA′BB′是正方形5．（3分）在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE（）A．70° B．40° C．75° D．30°6．（3分）我國古代數(shù)學(xué)著作《增減算法統(tǒng)宗》記載“圓中方形”問題：“今有圓田一段，中間有個方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在記，每邊三步無疑．內(nèi)方圓徑若能知，堪作算中第一”．其大意思為：有一塊正方形水池，從水池邊到圓周，每邊相距3步遠，設(shè)正方形的邊長是x步，則列出的方程是（）A． B．π（x+6）2﹣x2＝81 C．π（x+3）2﹣x2＝81 D．7．（3分）如圖，正方形ABCD的邊長為，連接AC、BD，則DE的長是（）A． B． C． D．8．（3分）如圖，在活動課上，老師畫出邊長為2的正方形ABCD（1）畫出AD的中點E，連接BE；（2），EB長為半徑畫弧，交DA的延長線于點F；（3），點H在AB邊上．在畫出的圖中有一條線段的長是方程x2+2x﹣4＝0的一個根．這條線段是（）A．線段BH B．線段BE C．線段AE D．線段AH9．（3分）已知m為方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值為（）A．﹣2022 B．0 C．2022 D．404410．（3分）如圖，矩形OABC的頂點O（0，0），AC＝8，若矩形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)60°，矩形的對角線交點D的坐標為（）A． B．（﹣4，0） C．（4，0） D．二、填空題（本題滿分18分，共有6小題，每小題3分）11．（3分）已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m＝．12．（3分）已知x＝1是方程x2﹣ax+6＝0的一個根，則a＝．13．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝8，點D、E分別是邊AB、AC的中點，點F是線段DE上的一點，若∠AFB＝90°，則線段EF的長為．14．（3分）如圖，菱形ABCD邊長為10，對角線AC，AC＝12．點P和點E分別為BD，CD上的動點．15．（3分）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD交于點O，E為AB的中點，射線EO與∠ACG的角平分線交于點F，若AB＝8，則線段EF的長為．16．（3分）如圖，正方形ABCD中，AB＝1，∠ACD的平分線交AD于點E，在AB上截取AF＝DE，分別交CE，CA于點G，H，PQ⊥AC于點Q，連接PH．下列結(jié)論：①CE⊥DF；③EA＝AH，其中所有正確結(jié)論的序號是．三、作圖題17．（6分）已知：線段m和∠α．求作：矩形ABCD，使對角線的長為m，夾角為∠α．四、解答題（本題共46分）18．（12分）用指定方法解下列一元二次方程：（1）3（x﹣1）2＝12（直接開平方法）；（2）x2+4x﹣3＝0（配方法）；（3）（配方法）．19．（10分）已知代數(shù)式A＝2x2+5x﹣3，B＝x2+x﹣8．（1）當(dāng)x為何值時，代數(shù)式A比B的值大2；（2）求證：對于任意x的值，代數(shù)式A﹣B的值恒為正數(shù)．20．（12分）如圖，在△ABC中，O是AB的中點，交CO延長線于D，點E，AD的中點，連接AE和BF．（1）求證：△OBC≌△OAD；（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形AEBF是菱形？請加以證明；（3）直接寫出當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形AEBF是正方形．21．（12分）已知，如圖，O為坐標原點，A（10，0），C（0，3），點D是OA的中點，動點P在線段BC上以每秒2個單位長的速度由點C向B運動．設(shè)動點P的運動時間為t秒．（1）當(dāng)t為何值時，四邊形PODB是平行四邊形；（2）在直線CB上是否存在一點Q，使得O、D、Q、P四點為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接求出t的值；若不存在，請說明理由；（3）在線段PB上有一點M且PM＝5，當(dāng)P運動秒時，四邊形OAMP的周長最小值為．

2025-2026學(xué)年山東省青島大學(xué)附中九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案ADACADADBD一、選擇題（本題滿分30分，共有10小題，每小題3分）1．（3分）在數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們判斷一個四邊形門框是否為矩形，下面是一個學(xué)習(xí)小組擬定的方案（）A．測量其中三個角是否為直角 B．測量兩組對邊是否相等 C．測量對角線是否相互平分 D．測量對角線是否相等【解答】解：A、測量其中三個角是否為直角；符合題意；B、測量兩組對邊是否相等；不符合題意；C、測量對角線是否相互平分；不符合題意；D、測量對角線是否相等；不符合題意；故選：A．2．（3分）下列方程一定是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A． B．5x2﹣6y﹣3＝0 C．a(chǎn)x2﹣x+2＝0 D．（a2+1）x2+bx+c＝0【解答】解：A、選項方程是分式方程；B、選項方程含有2個未知數(shù)；C、選項方程沒有說明a的取值；D、選項方程是只含有一個未知數(shù)，系數(shù)不為0的整式方程，故選：D．3．（3分）一元二次方程5x＝3﹣12x2的一次項系數(shù)與常數(shù)項分別是（）A．5，﹣3 B．﹣5，﹣3 C．3，﹣5 D．3，5【解答】解：將原方程轉(zhuǎn)化為一般形式得12x2+5x﹣4＝0，∴一次項系數(shù)為5，常數(shù)項為﹣2．故選：A．4．（3分）如圖，將線段AB繞它的中點O逆時針旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜180）得到線段A′B′，A，B′，依次連接AA′，BB′，B′A．則下列結(jié)論不一定正確的是（）A．∠AA′B＝90° B．對于任意α，四邊形AA′BB′都是矩形 C．AB＝2BB′ D．當(dāng)α＝90°時，四邊形AA′BB′是正方形【解答】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OA＝OB＝OA′＝OB′，∴四邊形AA′BB′是矩形，∴∠AA′B＝90°，∵不清楚旋轉(zhuǎn)角度，故不能證明AB＝2BB′，∵∠AOA′＝α＝90°時，AB⊥A′B′，∴四邊形AA′BB′是正方形，故選項A，B，D不符合題意，故選：C．5．（3分）在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE（）A．70° B．40° C．75° D．30°【解答】解：在菱形ABCD∵∠ABC＝80°，∴∠ABD＝40°．∵BA＝BE，∴∠BAE＝．故選：A．6．（3分）我國古代數(shù)學(xué)著作《增減算法統(tǒng)宗》記載“圓中方形”問題：“今有圓田一段，中間有個方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在記，每邊三步無疑．內(nèi)方圓徑若能知，堪作算中第一”．其大意思為：有一塊正方形水池，從水池邊到圓周，每邊相距3步遠，設(shè)正方形的邊長是x步，則列出的方程是（）A． B．π（x+6）2﹣x2＝81 C．π（x+3）2﹣x2＝81 D．【解答】解：根據(jù)題意，得：π（2﹣x7＝81．故選：D．7．（3分）如圖，正方形ABCD的邊長為，連接AC、BD，則DE的長是（）A． B． C． D．【解答】解：過點E作EF⊥CD于點F，設(shè)AC與BD交于點O 設(shè)EF＝a，∵四邊形ABCD是正方形，且邊長為，∴BC＝CD＝，∠BCD＝90°BD，AC⊥BD，∵CE平分∠ACD，EF⊥CD，∴EO＝EF＝a，∵∠CDB＝45°，∴△EFD是等腰直角三角形，∴EF＝DF＝a，由勾股定理得：DE＝＝，∴OD＝DE+OE＝，在Rt△BCD中，BD＝＝，∴OD＝BD＝1，∴，∴a＝，∴DE＝＝＝．故選：A．8．（3分）如圖，在活動課上，老師畫出邊長為2的正方形ABCD（1）畫出AD的中點E，連接BE；（2），EB長為半徑畫弧，交DA的延長線于點F；（3），點H在AB邊上．在畫出的圖中有一條線段的長是方程x2+2x﹣4＝0的一個根．這條線段是（）A．線段BH B．線段BE C．線段AE D．線段AH【解答】解：∵正方形ABCD的邊長為2，∴AD＝AB＝2，∵E是AD的中點，∴AE＝6，則BE＝EF＝＝＝，∴AH＝AF＝EF﹣AE＝﹣5，∴BH＝AB﹣AH＝2﹣（﹣4）＝3﹣，解方程x5+2x﹣4＝7得x1＝﹣8，x2＝﹣﹣6，所以這條線段是AH，故選：D．9．（3分）已知m為方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值為（）A．﹣2022 B．0 C．2022 D．4044【解答】解：∵m為方程x2+3x﹣2022＝7的根，∴m2+3m﹣2022＝4，∴m2+3m＝2022，∴原式＝m4+3m2﹣m5﹣3m﹣2022m+2022＝m（m2+7m）﹣（m2+3m）﹣2022m+2022＝2022m﹣2022﹣2022m+2022＝6．故選：B．10．（3分）如圖，矩形OABC的頂點O（0，0），AC＝8，若矩形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)60°，矩形的對角線交點D的坐標為（）A． B．（﹣4，0） C．（4，0） D．【解答】解：由題意可得：AC＝OB＝8，AD＝CD，∴OD＝4，∵矩形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)60°，3次一個循環(huán)，2025÷6＝337?3，∴第2024秒BO與起始位置夾角為2×60°＝180°，∵BO與x軸負半軸夾角為60°，∴BO與x軸正半軸夾角為60°，＝cos60°，＝sin60°，解得x＝2，y＝2，因為點D在第四象限，故D（2），故選：D．二、填空題（本題滿分18分，共有6小題，每小題3分）11．（3分）已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m＝﹣1．【解答】解：∵方程（m﹣1）x|m|+1﹣5x+1＝0是關(guān)于x的一元二次方程，∴|m|＝7，m﹣1≠0，解得：m＝﹣4．故答案為：﹣1．12．（3分）已知x＝1是方程x2﹣ax+6＝0的一個根，則a＝7．【解答】解：由題意可知：x＝1代入x2﹣ax+2＝01﹣a+3＝0∴a＝7故答案為：413．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝8，點D、E分別是邊AB、AC的中點，點F是線段DE上的一點，若∠AFB＝90°，則線段EF的長為2．【解答】解：∵點D，E分別是邊AB，∴DE是△ABC的中位線，∵BC＝12，∴，在Rt△AFB中，AB＝8，，∴EF＝DE﹣DF＝6﹣6＝2，故答案為：2．14．（3分）如圖，菱形ABCD邊長為10，對角線AC，AC＝12．點P和點E分別為BD，CD上的動點．【解答】解：如圖，過C作CQ⊥AD于Q，過P作PE⊥CD于E、E滿足PE+PC最小．∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，且AC，BD平分∠ADC，∴PQ＝PE，∴PE+PC的最小值為線段CQ的長度，∵AB＝10，AC＝12，∴OA＝AC＝8，∴OB＝OD＝＝8，∴BD＝2OB＝16．∵S菱形ABCD＝AC×BD＝CQ×AD，∴CQ＝×＝×＝故答案為：．15．（3分）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD交于點O，E為AB的中點，射線EO與∠ACG的角平分線交于點F，若AB＝8，則線段EF的長為8．【解答】解：過F點作FM⊥BG于M，作FN⊥AC于N，∵四邊形ABCD是矩形，E為AB的中點，BC＝6，∴BE＝4，EO＝3AC＝×，∵CF是∠ACG的角平分線，∴FN＝FM＝BE＝5，∴OF＝5×4÷7×2÷4＝3，∴EF＝EO+FO＝3+5＝2．故答案為：8．16．（3分）如圖，正方形ABCD中，AB＝1，∠ACD的平分線交AD于點E，在AB上截取AF＝DE，分別交CE，CA于點G，H，PQ⊥AC于點Q，連接PH．下列結(jié)論：①CE⊥DF；③EA＝AH，其中所有正確結(jié)論的序號是①②④．【解答】解：∵正方形ABCD，∴CD＝AD，∠CDE＝∠DAF＝90°，∴∠ADF+∠CDF＝90°，在△CDE和△DAF中，，∴△CDE≌△DAF（ASA），∴∠DCE＝∠ADF，∴∠DCF+∠CDF＝90°，∴∠DGC＝90°，∴CE⊥DF，故①正確；∵CE平分∠ACD，∴∠DCE＝∠HCG，在△GCD和△GCH中，，∴△GCD≌△GCH（ASA），∴CD＝CH，∠CDH＝∠CHD，∵正方形ABCD，∴CD∥AB，∴∠CDF＝∠AFD，∴∠CHD＝∠AFD，∵∠CHD＝∠AHF，∴∠AFD＝∠AHF，∴AF＝AH，∴AC＝AH+CH＝AF+CD＝DE+CD，故②正確，設(shè)DE＝AF＝AH＝a，∵∠AHF＝∠DHC，∠CDF＝∠AFH，∴△DHC∽△FHA，∴＝，∴＝，∴a＝﹣1，∴DE＝AF＝AH＝﹣2，∴AE＝1﹣DE＝2﹣，∴EA≠AH；∵△GCD≌△GCH，∴DG＝GH，∵CE⊥DF，∴CG垂直平分DH，∴DP＝PH，當(dāng)DQ⊥HC時，PH+PQ＝DP+PQ有最小值，過點D作DM⊥HC，則DM的長度為PH+PQ的最小值，∵S△ADC＝＝，∴DM＝，故④正確．故答案為：①②④．三、作圖題17．（6分）已知：線段m和∠α．求作：矩形ABCD，使對角線的長為m，夾角為∠α．【解答】解：如圖，矩形ABCD為所作．四、解答題（本題共46分）18．（12分）用指定方法解下列一元二次方程：（1）3（x﹣1）2＝12（直接開平方法）；（2）x2+4x﹣3＝0（配方法）；（3）（配方法）．【解答】解：（1）3（x﹣1）6＝12，（x﹣1）2＝6，∴x﹣1＝2或x﹣5＝﹣2，∴x1＝7，x2＝﹣1；（2）x7+4x﹣3＝3，x2+4x＝7，x2+4x+2＝7，即（x+2）4＝7，∴x+2＝，∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（3），y2﹣y＝，y2﹣y+＝+，即（x﹣）2＝2，∴x﹣＝，∴x4＝+，x2＝．19．（10分）已知代數(shù)式A＝2x2+5x﹣3，B＝x2+x﹣8．（1）當(dāng)x為何值時，代數(shù)式A比B的值大2；（2）求證：對于任意x的值，代數(shù)式A﹣B的值恒為正數(shù)．【解答】（1）解：根據(jù)題意得，（2x2+3x﹣3）﹣（x2+x﹣4）＝2，2x7+5x﹣3﹣x7﹣x+8＝2，2x2+5x﹣5﹣x2﹣x+8﹣2＝0，x2+5x+3＝0，x8+4x＝﹣3，x8+4x+4＝﹣4+4，（x+2）3＝1，∴x1＝﹣6，x2＝﹣3，即當(dāng)x為﹣4或﹣3時，代數(shù)式A比B的值大2；（2）證明：A﹣B＝（3x2+5x﹣3）﹣（x2+x﹣8）＝8x2+5x﹣8﹣x2﹣x+8＝x8+4x+5＝x3+4x+4+7＝（x+2）2+4，對于任意x的值，（x+2）2≥6，∴（x+2）2+5＞0，即A﹣B＞0，∴對于任意x的值，代數(shù)式A﹣B的值恒為正數(shù)．20．（12分）如圖，在△ABC中，O是AB的中點，交CO延長線于D，點E，AD的中點，連接AE和BF．（1）求證：△OBC≌△OAD；（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形AEBF是菱形？請加以證明；（3）直接寫出當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形AEBF是正方形．【解答】（1）證明：∵O是AB中點，∴AO＝BO，∵AD∥BC，∴∠D＝∠OCB，又∵∠AOD＝∠BOC，∴△OBC≌△OAD（ASA）；（2）解：當(dāng)∠CAB＝90°時，四邊形AEBF是菱形由（1）知△OBC≌△OAD，∴BC＝AD，∵E，F(xiàn)分別是BC，∴BE＝AF，∵AD∥BC，∴BE∥AF，∴四邊形AEBF是平行四邊形，∵∠CAB＝90°，點E是BC的中點，∴，∴四邊形AEBF是菱形；（3）解：當(dāng)AB＝AC，且∠BAC＝90°時，證明如下：由（1）知△OBC≌△OAD，∴BC＝AD，∵E，F(xiàn)分別是BC，∴BE＝AF，∵AD∥BC，∴BE∥AF，∴四邊形AEBF是平行四邊形，∵AB＝AC，點E是BC的中點，∴AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴四邊形AEBF是矩形，∵∠CAB＝90°，點E是BC的中點，∴AE＝＝BE，∴四邊形AEBF是正方形．21．（12分）已知，如圖，O為坐標原點，A（10，0），C（0，3），點D是OA的中點，動點P在線段BC上以每秒2個單位長的速度由點C向B運動．設(shè)動點P的運動時間為t秒．（1）當(dāng)t為何值時，四邊形PODB是平行四邊形；（2）在直線CB上是否存在一點Q，使得O、D、Q、P四點為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接求出t的值；若不存在，請說明理由；（3）