5 5 5 5 5 5 5 5 6 7 7 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 5.海倫-秦九韶公式 6.海倫-秦九韶公式推廣 1122 33 44 55CU(A∩B(=(CUA(∪(CUB(CU(A∪B(=(CUA(∩(CUB(card(A∪B(=card(A(+card(B(-card(A∩B(card(A∪B∪C(=card(A(+card(B(+card(C(-card(A∩B(-card(A∩C(-card(B∩C(+card(A∩B∩C(+yAC。則B,C,D三點共線?x+y=當(dāng)0<x+y<1，則D與A位于BC當(dāng)x+y>1，則D與A位于BC兩側(cè)66下面根據(jù)點P的位置分幾種情況來考慮系數(shù)和x+y的值而AB=OB-OA，所以O(shè)P=λOB-λOA，于是x+②若P?l時，ΔOCD～ΔOAB，不妨設(shè)ΔOCD與O=λO+(1-λ)O=kλO+(1-λ)O于是x+y=-kλ+-k(1-λ)=-k77 在上述圖形中設(shè)平行四邊形ABCD對角線交于M點,則對于三角形來說:88:S△BOC.O+S△AOC.O+S△AOB.O=推論O是△ABC內(nèi)的一點,且x則S△BOC:S△COA:S△AOB=x:y:zOA99若a,b,x,y>0則當(dāng)且僅當(dāng)=時取等.2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)2sinAsinB=cos(A-B)-cos(A+B)在任意△ABC內(nèi)，都有tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC在銳角三角形中sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC5.海倫-秦九韶公式則三角形的面積為S=、p(p-a)(p-b)(p-c)6.海倫-秦九韶公式推廣A+B=x2C+A=z22S=、A.B+B.C+C.A(3)AD2=AB×AC-BD×CD(庫斯頓定理)AD為BC的中線,則中線定理:AB2+AC2=2(AD2+DC2(證明:+=0→AB2+AC2=2(AD2+DC2(lBD=DC①sinA+sinB+sinC=4coscoscos；2+2sinsinsin；⑦cotA.cotB+cotA.cotC+cotB.cotC=1；①若f(x+a(=f(x(，則f(x(的周期為：T=|a|②若f(x+a(=f(x+b(，則f(x(的周期為：T=|a-b|③若f(x+a(=-f(x(，則f(x(的周期為：T=|2a|(周期擴(kuò)倍問題)④若f(x+a，則f(x(的周期為：T=|2a|(周期擴(kuò)倍問題)①若f(x+a(=f(-x(，則f(x(的對稱軸為x=②若f(x+a(=f(-x+b(，則f(x(的對稱軸為x=①若f(x+a(=-f(-x(，則f(x(的對稱中心為②若f(x+a(+f(-x+b(=c，則f(x(的對稱中心為,①若f(a+x(=f(a-x(，f(b+x(=f(b-x(，其中a≠b，則f(x(的周期為：T=2|a-b|②若f(a+x(=-f(a-x(，f(b+x(=-f(b-x(，其中a≠b，則f(x(的周期為：T=2|a-b|③若f(a+x(=f(a-x(，f(b+x(=-f(b-x(，其中a≠b，則f(x(的周期為：T=4|a-b|①已知f(x(為偶函數(shù)，f(x+a(為奇函數(shù)，則f(x(的周期為：T=4|a|②已知f(x(為奇函數(shù)，f(x+a(為偶函數(shù)，則f(x(的周期為：T=4|a|f(x)=ax+a-x，(a>0，且a≠1)為偶函數(shù)，f(x)=ax-a-x，(a>0，且a≠1)為奇函數(shù)f和f(x)=1+，(a>0，且a≠1)為其定義域上的奇函數(shù)f(x)=a|x|為偶函數(shù)f(x)=loga(1+b2x2±bx)，(a>0且a≠1)為奇f=loga為奇函數(shù)在定義域內(nèi)，若F(x(=f(x(+A，其中f(x(為奇函數(shù)，A為常數(shù)，有f(a(+f(-a(=2A即f(a(+f(-a(=2倍常數(shù)n=0(|a|<1)；x=x.(1)[f(x(±g(x([=a±b；(2)[f(x(.g(x([=a.b;(當(dāng)|x|足夠小時)α≈1+αxx；(3)ex≈1+x；(4)ln(1+x)≈x；(5)sinx≈x(x為弧度)；(6)tanx≈x(x為弧度)；定義1:若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f,(x)在點x=x0處可導(dǎo),則稱f(x)在點x=x0的導(dǎo)數(shù)為f(x)在點x=x0的二階導(dǎo)數(shù),記作f”(x0(,同時稱f(x)在點x=x0為二階可導(dǎo).定義2:若f(x)在區(qū)間M上每一點都二階可導(dǎo),則得到一個定義在M上的二階可導(dǎo)函數(shù),記作f”若f(x)在x=x0附近有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)fⅡ(x),且f/(x0(=0,fⅡ(x0(≠0(1)若fⅡ(x0(<0,則f(x)在點x0處取極大值;(2)若fⅡ(x0(>0,則f(x)在點x0處取極小值設(shè)函數(shù)y=f(x(在區(qū)間(a,b(內(nèi)可導(dǎo),如果對應(yīng)的曲線段位于其每一點的切線的上方,則稱曲線設(shè)函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),如果在(a,b)內(nèi)fn(x0(>0,那么對應(yīng)的曲線在(a,b)內(nèi)是凹的,如果在(a,b))內(nèi)fn(x0(<0,那么對應(yīng)的曲線在(a,b)內(nèi)是凸的設(shè)y=f(x)在區(qū)間M上連續(xù),如果對M上任意兩點x1,x2,恒有ff(x1(+f(x2([則稱y=f(x)在M上的圖形是凹的,簡稱為凹弧;如果恒有ff(x1(+f(x2([則稱y=f(x)在M上的圖形是凸的,或簡稱為凸弧。曲線上凸部和凹部的分界點叫做拐點。因此拐點一定是使fn(x0(=0的點,但是使fn(x0(=0的點設(shè)y=ex上任一點P的橫坐標(biāo)為m，則過該點的切線方程為y-em=em(x-m(，即y=em(x+1(-memx≥ex．設(shè)y=lnx上任一點Q的橫坐標(biāo)為n，則過該點的切線方程為y-lnnx-n(，即yx-1+由圖2可得lnx≥-；x≥ex(x∈R)．(1)f(x(的值域為[m,M[①?x∈D,g(a(≤f(x(，則只需要g(a(≤f(x(min=m?x∈D,g(a(<f(x(，則只需要g(a(<f(x(min=m②?x∈D,g(a(≥f(x(，則只需要g(a(≥f(x(max=M?x∈D,g(a(>f(x(，則只需要g(a(>f(x(max=M(2)若f(x(的值域為(m,M(①?x∈D,g(a(≤f(x(，則只需要g(a(≤m?x∈D,g(a(<f(x(，則只需要g(a(≤m(注意與(1)中對應(yīng)情況進(jìn)行對比)②?x∈D,g(a(≥f(x(，則只需要g(a(≥M?x∈D,g(a(>f(x(，則只需要g(a(≥M(注意與(1)中對應(yīng)情況進(jìn)行對比)(1)若f(x(的值域為[m,M[①?x∈D,g(a(≤f(x(，則只需要g(a(≤f(x(max=M?x∈D,g(a(<f(x(，則只需要g(a(<f(x(max=M②?x∈D,g(a(≥f(x(，則只需要g(a(≥f(x(min=m?x∈D,g(a(>f(x(，則只需要g(a(>f(x(min=m(2)若f(x(的值域為(m,M(①?x∈D,g(a(≤f(x(，則只需要g(a(<M(注意與(1)中對應(yīng)情況進(jìn)行對比)?x∈D,g(a(<f(x(，則只需要g(a(<M②?x∈D,g(a(≥f(x(，則只需要g(a(>m(注?x∈D,g(a(>f(x(，則只需要g(a(>m1.如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上,f(x)≥0恒成立,則f(a)≥0或f(b)≥0.2.如果函數(shù)f(x)在區(qū)問[a,b]上,f(x)≥0恒成立,且f(a)=0(或f(b)=0),則f’(a)≥0(或f’(b)≤0(.3.如果函數(shù)f(x)在區(qū)問[a,b]上,f(x)≥0恒成立,且f(a)=0,f’(a)=0(或f(b)=0,f’(b)≤0(則f”(a)法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：法則2若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：sinx<x<tanx,x∈(0,lnx>-x2+2x-(x>1)，lnx<-x2+2x-(0<x<1)1-<-x2+2x-<<lnx<x-<x-<x-1(1<x<2)x+1<exx+1<ex(2)ln(1+x(=x-+-…+(-1(n-1+Rn，其中Rn=(-1(nn+1；(8)、1+x=1+x-x2+x3+...+o(xn(．x≥1+x，ex≥1+x+x2(x≥0(，sinx≥x-x3(x≥0(，cosx≥1-x2，lnx≤x-1，ex-1≥x，tanx≥x+x3(x≥0(，、1+x≤1+x，ln(1+x(≤x．結(jié)論1ln(1+x)≤x(x>-1)．結(jié)論2lnx≤x-1(x>0)．結(jié)論lnx結(jié)論lnln(1+x(．xxln(1+x(≤x(x>-1(．結(jié)論7e-x≥1-x(x∈R)x(x<1(．x(x>1(．眾所周知，函數(shù)f(x)滿足定義域內(nèi)任意自變量x都有f(x)=f(2m-x)，則函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=m對側(cè)的任意自變量x都有f(x)>f(2m-x)或f(x)<f(2m-x)，則函數(shù)f(x)極值點m左右側(cè)變化快慢不同.故單峰函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意不同的實數(shù)x1,x2滿左偏.<x1<x2<b，(2)若f(x1)>f(2x0-x2)，則>(<)x0，即函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(x1,x2)上極(小)大值點x0右<x2<b1<x0左快右慢(極值點左偏?m<)左慢右快(極值點右偏?m>)ab≤L(a,b)≤(此式記為對數(shù)平均不等式①?lna-lnb?ln?2lnx<x構(gòu)造函數(shù)f(x)=2lnx-(x-,(x>1)，則f/(x)=-1-1-2．(II)再證：L(a,b)<……②不等式②?lna-lnb?ln?lnx(2)構(gòu)造一元差函數(shù)F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)；(3)確定函數(shù)F(x)的單調(diào)性；若函數(shù)f(x)滿足如下條件：拉格朗日中值定理沒有逆定理,即對曲線的任一切線,并不一定存在割線,使割線斜率等于切線斜率,如f(x(=x3在x=0處的切線斜率為0,但f(x(不存在割線使割線斜率等于0f(b(-f(a(=fl(ξ((b-a((a<ξ<b(，f(b(-f(a(=fl(a+θ(b-a(((b-a((0<θ<1(，f(a+h(-f(a(=fl(a+θh(h(0<θ<1(．Sm+n=Sm+Sn+mndSm+n=Sm+qm.Sn定義：方程f(x)=x的根稱為函數(shù)f(x)的不動點利用遞推數(shù)列f(x)的不動點，可將某些遞推關(guān)系an=f(an-1)所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通定理1：若f(x)=ax+b(a≠0,a≠1(，p是f(x)的不動點，an滿足遞推關(guān)系an=f(an-1)，(n>1(，則an-p=a(an-1-p(，即{an-p{是公比為a的等比數(shù)列.定理2：設(shè)f(x)=(c≠0,ad-bc≠0(，{an{滿足遞推關(guān)系an=f(an-1)2n>1，初值條件a1≠f(a1((2)若f(x)只有唯一不動點p，則=+k(這里k=)定理3：設(shè)函數(shù)f(x)=(a≠0,e≠0(有兩個不同的不動點x1，x2，且由un+1=f(un(確定著數(shù)------{an{為公差為d的等差數(shù)列，{bn{為公比為q的等比數(shù)列，若數(shù)列{cn{滿足cn=an.bn，則數(shù)列{cn{的(2)已知an+1=pan+f(n(用an+An+B=p[an-1+A(n-1(+B[求通項(4)已知an+2=pan+1+qan用an+2-kan+1=h(an+1-kan(求通項公式，其本質(zhì)是待定系數(shù)法(5)已知an-1-an=pan-1an用-=p求通項公式，其本質(zhì)是除以an-1an(7)已知an+1=pa(p>0,an>0(用lgan+1=qlgan+lgp求通項公式，其本質(zhì)是取對數(shù)任意的簡單n面體內(nèi)切球半徑為(V是簡單n面體的體積，S表是簡單n面體的表面積)凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影是θ,則有sin2?sin2θ=sin2θ1d=h2+m2+n2-2mncos?(?=E-AA-F).=m,AF=n,EF=d).V+F-E=2(簡單多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F).(1)E=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個面的邊數(shù)正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長,正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長,正方體的點(x,y)關(guān)于直線Ax+By+C=0的對稱點坐標(biāo)為(x-,y-若圓的直徑端點A(x1,y1(,B(x2,y2(，則圓的方程為(x-x1((x-x2(+(y-y1((y-y2(=0①過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上任意一點P(x0,y0)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2②過橢圓+=1(a>0,b>0)上任意一點P(x0,y0)的切線方程為③過雙曲線1(a>0,b>0)上任意一點P(x0,y0)的切線方程為④設(shè)P(x0,y0(為拋物線y2=2px上的點,則過該點的切線方程為yy0=p(x+x0(④拋物線y2=2px(p>0)的切點弦方程為y0y=p(x0+x)⑤二次曲線的切點弦方程為Ax0x+BCy0y+D②雙曲線a>0,b>0)與直線Ax+By+C=0(A·B≠0)相切的條件是A2a2-B2b2=C2直線AC、BD的斜率存在且不等于零,并有kAC+kBD=0,(kAC,kBD分別表示AC和BD的斜率)-(a>b>0)焦點F1(-c,0(,F2(c,0(-=1(a>0,b>0(焦點F1(-c,0(,F2(c,0(PF=a+ex0,PF2=a-ex0PF,PF2=|ex0-a|a-c≤PF≤a+cPF≥a-c點.則F2A+F2B-AB=4a.于A,B兩點.(a2-b2(sin2α+b2A,B兩點.焦點弦長ABAF與BF直線l過焦點F與橢圓相交于A,B兩點，則b≤PO≤a.則PO≥a.∠PF2F1=2tan；FkOMkAB=-.如圖，已知直線l與雙曲線相交于A,B兩點，(注：直線l與雙曲線的漸近線相交于A,B兩如圖，已知點A,B橢圓長軸端點(短軸端則kPAkPB=-.kPAkPB=-對稱的兩點，P是雙曲線上異于A,B的一點，若直線PA,PB的斜率存在且不為零，直線l過焦點F(c,0(與橢圓相交于A,B則∠APF=∠BPF(即kPA+kPB=0).直線l過焦點F(c,0(與雙曲線相交于A,B兩則∠APF=∠BPF(即kPA+kPB=0).點P處的切線方程為點P處的切線方程為x0x-y0設(shè)斜率為k的直線l過定點P(0,t((t≠0(，雙曲線方程為-=1(a>0,b>0(，過點P與雙曲線相3．點P是雙曲線-=1(a>0,b>0(上任意一點，則點P到雙曲線的漸近線的距離之積為定值 4．點P是雙曲線-=1(a>0,b>0(上任意一點，過點P作雙曲線的漸近線的平行線分別與漸8．點A,O,N三點共線；點B,O,M三點共線.5.與有相同焦點的雙曲線方程為：---=1,(λ≠0,a2-λ>0,λ-b2>0(n-1n+1n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n，即C+C二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即C+C+C+…=C+C+C+…=2n-1.以下各條的大前提是從n個元素中取m個元素的排列.①某(特)元必在某位有A-1種；②某(特)元不在某位有A-A-1(補(bǔ)集思想)=A-1A-1(著眼位置)=A-1+A-1A-1(著眼元素)種.①定位緊貼：k(k≤m≤n)個元在固定位的排列有AA-k種.有排列數(shù)有AA+1種.(3)兩組元素各相同的插空(1)(平均分組有歸屬問題)將相異的m、n個物件等分給m個人，各得n件，其分配方法數(shù)共有N=(3)(非平均分組有歸屬問題)將