第七章立體幾何與空間向量（測試）時(shí)間：120分鐘分值：150分第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓臺(tái)上下底面半徑之比為，母線與底面所成的角的正弦值為，圓臺(tái)體積為，則該圓臺(tái)的側(cè)面面積為（）A． B． C． D．2．（2023·甘肅天水·高三校考階段練習(xí)）設(shè)，向量，，且，則（）A． B． C．3 D．43．（2023·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)，則V的體積為（）A． B． C． D．4．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）如圖，球面上有、、三點(diǎn)，，，球心到平面的距離是，則球的體積是（）

A． B． C． D．5．（2023·廣東廣州·高三華南師大附中?？奸_學(xué)考試）以下什么物體能被放進(jìn)底面半徑為，高為的圓柱中（

）A．底面半徑為，母線長為的圓錐B．底面半徑為，高為的圓柱C．邊長為的立方體D．底面積為，高為的直三棱柱6．（2023·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）在正方體中，動(dòng)點(diǎn)M在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)且滿足，則動(dòng)點(diǎn)M在底面內(nèi)的軌跡為（）A．圓的一部分 B．橢圓的一部分C．雙曲線一支的一部分 D．前三個(gè)答案都不對7．（2023·四川·校聯(lián)考一模）如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．平面B．C．異面直線AP與所成的角的最小值為D．三棱錐的體積為定值8．（2023·四川綿陽·高三綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CD，AD的中點(diǎn)，現(xiàn)有如下結(jié)論：①過點(diǎn)E，F(xiàn)，G作四面體ABCD的截面，則該截面的面積為2；②四面體ABCD的體積為；③過作球的截面，則截面面積的最大值與最小值的比為5：4.則上述說法正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．10．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，四棱錐的底面為梯形，底面，，，為棱的中點(diǎn)，則（）

A．與平面所成的角的余弦值為B．C．平面D．三棱錐的體積為11．（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)P為正方體底面ABCD的中心，用與直線垂直的平面截此正方體，所得截面可能是（）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形12．（2023·湖南長沙·高三周南中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知正方體的棱長為為空間中任一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．若為線段上任一點(diǎn)，則與所成角的范圍為B．若在正方形內(nèi)部，且，則點(diǎn)軌跡的長度為C．若為正方形的中心，則三棱錐外接球的體積為D．若三棱錐的體積為恒成立，點(diǎn)的軌跡為橢圓或部分橢圓第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（2023·廣東揭陽·高三?？奸_學(xué)考試）一個(gè)球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直徑被截后的線段叫做球缺的高.球缺的體積公式為，其中為球的半徑，為球缺的高.2022北京冬奧會(huì)的吉祥物“冰墩墩”（如圖1）深受廣大市民的喜愛，它寓意著創(chuàng)造非凡、探索未來，體現(xiàn)了追求卓越、引領(lǐng)時(shí)代，以及面向未來的無限可能它的外形可近似抽象成一個(gè)球缺與一個(gè)圓臺(tái)構(gòu)成的組合體（如圖2），已知該圓臺(tái)的底面半徑分別和，高為，球缺所在球的半徑為，則該組合體的體積為．

14．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知四棱錐的底面為平行四邊形，點(diǎn)，分別是、的中點(diǎn)，過，，三點(diǎn)的平面與棱的交點(diǎn)為，若，則．15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）毛澤東在《七律二首?送瘟神》中有句詩為“坐地日行八萬里，巡天遙看一千河.”前半句的意思是：人坐在地面上不動(dòng)，由于地球的自轉(zhuǎn)，每晝夜會(huì)隨著地面經(jīng)過八萬里路程.詩中所提到的八萬里，指的是人坐在赤道附近所得到的數(shù)據(jù).設(shè)某地所在緯度為北緯（即地球球心和該地的連線與赤道平面所成的角為），且.若將地球近似看作球體，則某人在該地每晝夜隨著地球自轉(zhuǎn)而經(jīng)過的路程約為萬里.16．（2023·廣東河源·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）在長方體中，，，，為，的中點(diǎn)，在上，且.過，，三點(diǎn)的平面與長方體的六個(gè)面相交得到六邊形，則點(diǎn)到直線的距離為.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）（2023·貴州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，直四棱柱的底面為菱形，且，，E，F(xiàn)分別為BC，的中點(diǎn)．

(1)證明：平面平面．(2)求平面和平面的夾角的余弦值．18．（12分）（2023·四川瀘州·?？既＃┤鐖D，已知直四棱柱的底面是邊長為2的正方形，，分別為，的中點(diǎn)．

(1)求證：直線、、交于一點(diǎn)；(2)若，求多面體的體積．19．（12分）（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測）在梯形中，，，，，如圖1.沿對角線將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，為的中點(diǎn)，如圖2.

(1)證明：.(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？既＃﹫D1是直角梯形，四邊形是邊長為2的菱形，并且，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且，如圖2.(1)求證：平面平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得到平面的距離為？若存在，求出直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑.陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也.合兩鱉臑三而一，驗(yàn)之以棊，其形露矣.”劉徽注：“此術(shù)臑者，背節(jié)也，或曰半陽馬，其形有似鱉肘，故以名云.中破陽馬，得兩鱉臑，鱉臑之起數(shù)，數(shù)同而實(shí)據(jù)半，故云六而一即得.”如圖，在鱉臑ABCD中，側(cè)棱AB⊥底面BCD；

(1)若，，，試求異面