微專題17圓錐曲線壓軸小題秒殺總結(jié)1.求的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有以下方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．③幾何法：尋找?guī)缀侮P(guān)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化④坐標(biāo)法：一般套路將坐標(biāo)代入曲線求解2.解析幾何中與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值問(wèn)題一般的求解思路：①幾何法：利用圖形作出對(duì)應(yīng)的線段，利用幾何法求最值；②代數(shù)法：把待求量的函數(shù)表示出來(lái)，利用函數(shù)求最值.典型例題例1．（2022·新疆·烏市八中高三階段練習(xí)（文））雙曲線的焦距為4，圓與雙曲線及的一條漸近線在第一象限的交點(diǎn)分別為，，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)是點(diǎn)縱坐標(biāo)的2倍，則的方程為（

）.A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由題意得到，分別用圓的方程和雙曲線的方程及漸近線，聯(lián)立方程組，求得的坐標(biāo)，結(jié)合，求得，進(jìn)而求得雙曲線的方程.【詳解】由題意，雙曲線的焦距為4，可得，即，即，又由雙曲線的一條漸近線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，即，可得，又由方程組，整理得，即，可得，因?yàn)辄c(diǎn)的縱坐標(biāo)是點(diǎn)縱坐標(biāo)的2倍，可得，解得，所以，所以雙曲線的方程為.故選：D.例2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，橢圓上的兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)你，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，由已知條件知四邊形為矩形，利用橢圓的定義和勾股定理化簡(jiǎn)得到，再根據(jù)，得到的范圍，然后利用對(duì)勾函數(shù)的值域得到的范圍，然后由求解.【詳解】如圖所示：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓的對(duì)稱性可知，四邊形為平行四邊形，又，即，所以四邊形為矩形，，設(shè)，，在直角中，，，得，所以，令，得，又，得，所以，所以，即，所以所以橢圓的離心率的取值范圍為，故選：B例3．（2022·河南·南陽(yáng)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知圓為圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且為弦AB的中點(diǎn)，，，當(dāng)A，B在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】先確定點(diǎn)是在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，根據(jù)當(dāng)A，B在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有為銳角，可知點(diǎn)應(yīng)在以的中點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓外，由此可列出關(guān)于參數(shù)的不等式，即可求得答案.【詳解】連接,則,所以點(diǎn)M在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，設(shè)的中點(diǎn)為，則，且,因?yàn)楫?dāng)A，B在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有為銳角，所以以為圓心，1為半徑的圓與以為圓心，2為半徑的圓相離，故，解得或，即，故選:A.例4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.若對(duì)于圖象上的任意一點(diǎn)，在的圖象上總存在一點(diǎn)，滿足，且.則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，分類討論和兩種情況，結(jié)合已知條件可以得到的關(guān)系式，分析化簡(jiǎn)知，代入化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，此時(shí)，顯然滿足條件；當(dāng)，，由，知，即，即（*）又，知，即將（*）式代入，得由于，有因此有，即，即由于，所以（*）式可知不滿足條件，則有代入（*）式得所以，故故選：B例5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若雙曲線：，，分別為左?右焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是在雙曲線上且在第一象限的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為△的內(nèi)心，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．雙曲線的漸近線方程為B．點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為雙曲線的一部分C．若，，則D．不存在點(diǎn)，使得取得最小值【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的方程直接寫出漸近線方程判定A；由圓的切線長(zhǎng)定理和雙曲線的定義可求得的橫坐標(biāo)，可判定B；由雙曲線的定義和余弦定理，利用等面積法求得的縱坐標(biāo)，由正弦和求交點(diǎn)，求得的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示，可得，可判定C；若與關(guān)于y軸對(duì)稱，結(jié)合雙曲線的定義及對(duì)稱性可得，可判定D.【詳解】由題意，雙曲線，可知其漸近線方程為，A錯(cuò)誤；設(shè)，△的內(nèi)切圓與、、分別切于、、，可得，由雙曲線的定義可得：，即，又，解得，則的橫坐標(biāo)為，由與的橫坐標(biāo)相同，即的橫坐標(biāo)為，故在定直線上運(yùn)動(dòng)，B錯(cuò)誤；由且，解得：，∴，則，∴，同理可得：，設(shè)直線，直線，聯(lián)立方程得，設(shè)△的內(nèi)切圓的半徑為，則，解得，即，∴，由，可得，解得，故，C正確；若與關(guān)于y軸對(duì)稱，則且，而，∴，故要使的最小，只需三點(diǎn)共線即可，易知：，故存在使得取最小值，D錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：D選項(xiàng)求動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離最值，應(yīng)用雙曲線的定義及對(duì)稱性將動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移到兩定點(diǎn)之間的某條曲線上，結(jié)合兩定點(diǎn)間的線段最短求最小值．例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，直線與交于兩點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．32 B．48 C．64 D．72【答案】C【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，可以先利用方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式，借助韋達(dá)定理求出，由于直線，求時(shí)只需要將k換成即可，然后利用基本不等式求最值即得．【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，因?yàn)?，所以直線，斜率存在，且均不為0．設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得．則，所以．因?yàn)椋实男甭蕿?，同理可得，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即是取等號(hào)，故的最小值是64，故選：C例7．（2022·全國(guó)·高三開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為A，拋物線E的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，若直線與拋物線E交于P，Q兩點(diǎn)，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由題設(shè)可得拋物線E為，直線為，聯(lián)立方程應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式求，由求，結(jié)合得到橢圓參數(shù)的齊次方程求離心率即可.【詳解】由題設(shè)知：，，且拋物線E為，∴直線為，聯(lián)立拋物線方程有，整理得：，則，即，令且，則，∴，∴，令，如上圖易知：，即，可得，∴，又，∴，整理得，而，∴，則.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由，應(yīng)用弦長(zhǎng)公式求，根據(jù)求，進(jìn)而得到齊次方程求離心率.例8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，.點(diǎn)在上且位于第一象限，圓與線段的延長(zhǎng)線，線段以及軸均相切，的內(nèi)切圓為圓.若圓與圓外切，且圓與圓的面積之比為4，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】設(shè)圓、與軸的切點(diǎn)分別為，，圓心、在的角平分線上，從而切點(diǎn)也在的角平分線上，所以，由切線的性質(zhì)求得，，由圓面積比得半徑比，然后由相似形得出的關(guān)系式，從而求得離心率．【詳解】由已知及平面幾何知識(shí)可得圓心、在的角平分線上.如圖，設(shè)圓、與軸的切點(diǎn)分別為，，由平面幾何知識(shí)可得，直線為兩圓的公切線，切點(diǎn)也在的角平分線上，所以，由橢圓的定義知，則，所以，所以，所以，.又圓與圓的面積之比為4，所以圓與圓的半徑之比為2，因?yàn)椋?，即，整理得，故橢圓的離心率.故選：B.例9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F作直線l，且直線l與雙曲線C的一條漸近線垂直，垂足為A，直線l與另一條漸近線交于點(diǎn)B.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OAB的內(nèi)切圓的半徑為，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．或4 D．或2【答案】D【解析】【分析】需分為A，B在y軸同側(cè)或A，B在y軸異側(cè)分類討論，畫出對(duì)應(yīng)圖形，同側(cè)時(shí)，結(jié)合，由幾何關(guān)系表示出，再結(jié)合離心率公式即可求解；異側(cè)時(shí)，結(jié)合內(nèi)切圓半徑公式得，化簡(jiǎn)可得，聯(lián)立勾股定理|OB|2=|AB|2+a2求出，|OB|，求出，再由離心率公式即可求解.【詳解】若A，B在y軸同側(cè)，不妨設(shè)A在第一象限，如圖，設(shè)△OAB內(nèi)切圓的圓心為M，則M在∠AOB的平分線Ox上，過(guò)點(diǎn)M分別作MN⊥OA于N，MT⊥AB于T，由FA⊥OA得四邊形MTAN為正方形，由焦點(diǎn)到漸近線的距離為b得|FA|=b，又|OF|=c，所以|OA|=a，又，所以，所以，從而可得；若A，B在y軸異側(cè)，不妨設(shè)A在第一象限如圖，易知|FA|=b，|OF|=c，|OA|=a，所以△OAB的內(nèi)切圓半徑為，所以，又因?yàn)閨OB|2=|AB|2+a2，所以，|OB|=2a，所以∠BOA=60°，∠AOF=60°，則，從而可得.綜上，雙曲線C的離心率為或2.故選：D例10．（2022·陜西渭南·一模（文））已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且平分，則的離心率為(

)A．2 B． C．3 D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件求出P點(diǎn)坐標(biāo)和直線PA方程，平分，則O到PM的距離等于到AP的距離，列式可求離心率﹒【詳解】如圖，雙曲線的漸近線取，則，由，∴P()，，故，∴，即∵平分，∴O到PM的距離等于O到AP的距離|OM|，即，化簡(jiǎn)整理得，解得e=2，故選：A﹒過(guò)關(guān)測(cè)試1．（2022·重慶市天星橋中學(xué)一模）已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，圓上有一動(dòng)點(diǎn)P，P不同于A，B兩點(diǎn)，直線PA與橢圓C交于點(diǎn)Q，，分別為直線BP，QF的斜率，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得，設(shè)，則可以求出，然后設(shè)，則，進(jìn)而求出范圍.【詳解】對(duì)橢圓C，，右焦點(diǎn)，易知，則，，設(shè)，則，設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，易知，于是?故選：D.【點(diǎn)睛】本題運(yùn)算量較大，但圓錐曲線題目的思路一定要直接，點(diǎn)在圓上，我們可以借助參數(shù)方程的方法來(lái)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行換元法來(lái)進(jìn)行處理.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先討論和兩種情況，解出；進(jìn)而討論且時(shí)，利用直線的到角公式結(jié)合基本不等式即可求得.【詳解】根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)，若，則，，，所以；若，則，，，所以；若且，此時(shí)且，，所以，因?yàn)?所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，而，所以.綜上：的最大值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題核心的地方在“”這一步，首先分式“”的處理，上下同除以y（一次）；其次在用基本不等式時(shí)，“”這一步的拆分，三個(gè)式子一定要相同（），否則不能取得“=”.3．（2022·河南信陽(yáng)·高三階段練習(xí)（理））已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為、，是上一點(diǎn)，為等腰三角形，且外接圓面積為，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【答案】C【解析】【詳解】分析：不妨設(shè)在第二象限，由外接圓面積得其半徑，設(shè)，利用正弦定理求出，從而可得，然后求得點(diǎn)坐標(biāo)，把點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程可得關(guān)系式，化簡(jiǎn)后可求得離心率．詳解：不妨設(shè)在第二象限，則在等腰中，，設(shè)，則，為銳角．外接圓面積為，則其半徑為，∴，∴，，∴，，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，即點(diǎn)坐標(biāo)為，由點(diǎn)在雙曲線上，得，整理得，∴．故選C．點(diǎn)睛：本題將解三角形和雙曲線的幾何性質(zhì)結(jié)合在一起考查，綜合性較強(qiáng)，解題時(shí)要抓住問(wèn)題的關(guān)鍵和要點(diǎn)，從所要求的離心率出發(fā)，尋找雙曲線中之間的數(shù)量關(guān)系，其中通過(guò)解三角形得出點(diǎn)的坐標(biāo)，是解題的突破點(diǎn)，在得到點(diǎn)坐標(biāo)后，根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上得出間的關(guān)系，最后根據(jù)可求得離心率．4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上且滿足，若取最大值時(shí)，點(diǎn)恰好在以為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【答案】B【解析】【詳解】過(guò)P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|

∴，設(shè)PA的傾斜角為，則，當(dāng)m取得最大值時(shí)，最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切，設(shè)直線PA的方程為y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，

∴P（2，1），∴雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為PA﹣PB=2（﹣1），∴雙曲線的離心率為．故選B．點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是探究m的最大值，先利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化得到，m取得最大值時(shí)，最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切，得到△=0，得到k的值.轉(zhuǎn)化是高中數(shù)學(xué)很重要的一個(gè)數(shù)學(xué)思想，在解題過(guò)程中要注意靈活運(yùn)用.5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，則的內(nèi)切圓半徑的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【解析】【詳解】如圖所示，設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，內(nèi)切圓與三邊分別相切于點(diǎn)，根據(jù)圓的切線可知：，，，又根據(jù)雙曲線定義，即，所以，即，又因?yàn)?，所以，，所以點(diǎn)為右頂點(diǎn)，即圓心，考慮點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，直線的斜率趨近于，此時(shí)方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，解得，因此內(nèi)切圓半徑，所以選擇A.6．（2022·吉林白山·一模（理））已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，以實(shí)軸為直徑的圓與其中一條漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為，若直線與另一條漸近線平行，則的離心率為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【解析】【分析】將一條漸近線方程與以實(shí)軸為直徑的圓方程聯(lián)立可得出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線的斜率，通過(guò)直線與另一條漸近線斜率相等即可得出的關(guān)系，從而求得雙曲線的離心率.【詳解】不妨設(shè)為第一象限的交點(diǎn).聯(lián)立方程組可得的坐標(biāo)為，所以直線的斜率.因?yàn)橹本€與另一條漸近線平行，所以，所以，則，故的離心率.故選：D.【點(diǎn)睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．7．（2022·江西南昌·一模（理））已知，，是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】設(shè)，分別表示出，由余弦定理得到：，利用求出最大值.【詳解】設(shè)，則，其中.因?yàn)?，，所?由余弦定理得：，因?yàn)?，所?所以.記.則所以令，解得：；令，解得：；所以.故選：D【點(diǎn)睛】解析幾何中與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值問(wèn)題一般的求解思路：①幾何法：利用圖形作出對(duì)應(yīng)的線段，利用幾何法求最值；②代數(shù)法：把待求量的函數(shù)表示出來(lái)，利用函數(shù)求最值.8．（2022·廣東江門·模擬預(yù)測(cè)）已知是圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線相交于點(diǎn)P，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件確定出點(diǎn)P的軌跡，再借助圓與圓的位置關(guān)系及圓的幾何性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】依題意，直線恒過(guò)定點(diǎn)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，顯然直線，因此，直線與交點(diǎn)P的軌跡是以線段AB為直徑的圓，其方程為：，圓心，半徑，而圓C的圓心，半徑，如圖：，兩圓外離，由圓的幾何性質(zhì)得：，，所以的取值范圍是：.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法.9．（2022·安徽·蕪湖一中一模（理））設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓C：=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，延長(zhǎng)PF2交橢圓C于點(diǎn)Q，且|PF1|=|PQ|，若PF1F2的面積為，則=（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用焦點(diǎn)三角形的面積公式及橢圓的定義可得，進(jìn)一步得F1PQ為等邊三角形，且軸，從而可得解.【詳解】由橢圓的定義，，由余弦定理有：，化簡(jiǎn)整理得：，又，由以上兩式可得：由，得，∴，又，所以F1PQ為等邊三角形，由橢圓對(duì)稱性可知軸，所以.故選：B.10．（2022·黑龍江·哈爾濱三中一模（理））已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，A為雙曲線右支上一點(diǎn)，設(shè)，，若，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】在中，利用正弦定理求得，再根據(jù)，可得，化簡(jiǎn)可得，再根據(jù)，結(jié)合二倍角得正余弦公式求得，從而可求得，即可的解.【詳解】解：在中，由正弦定理得，所以，因?yàn)锳為雙曲線右支上一點(diǎn)，所以，即，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，解得，即，所以，則，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：B.11．（2022·福建莆田·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線：，直線交于，兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，過(guò)，分別作的切線，它們的交點(diǎn)為，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用點(diǎn)差法結(jié)合條件可得直線方程，聯(lián)立拋物線方程可求切點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程，進(jìn)而可得交點(diǎn)，再利用面積公式即求.【詳解】設(shè)，則，又為弦的中點(diǎn)，∴，∴，即，∴直線的方程為，即，由，解得或，即，又拋物線：的焦點(diǎn)為，在直線上，∴，由可得，∴直線PA的方程為：，同理可得，直線PB的方程為：，兩方程聯(lián)立可得，，即，∴P到直線AB的距離為，∴的面積為.故選：B.12．（2022·新疆·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，已知，為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，分別作直線，交雙曲線于，，，四點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形，且以為直徑的圓過(guò)，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用雙曲線的定義，幾何關(guān)系以及對(duì)稱性，再利用平行四邊形的特點(diǎn)，以及點(diǎn)在圓周上的向量垂直特點(diǎn)，列方程可解.【詳解】設(shè)，則，由雙曲線的對(duì)稱性和平行四邊形的對(duì)稱性可知：，連接，則有，由于在以AD為直徑的圓周上，，∵ABCD為平行四邊形，，，在直角三角形中，，，解得：，；在直角三角形中，，，得，，故選：D.13．（2022·河南省淮陽(yáng)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知雙曲線，直線與C交于A、B兩點(diǎn)（A在B的上方），，點(diǎn)E在y軸上，且軸．若的內(nèi)心到y(tǒng)軸的距離為，則C的離心率為（

）.A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題目信息畫出準(zhǔn)確圖像，本題重難點(diǎn)在于合理利用三角形內(nèi)心性質(zhì)，以及角平分線定理，得到關(guān)系后即可求出離心率.【詳解】因?yàn)锳在B的上方，且這兩點(diǎn)都在C上，所以，則．因?yàn)?，所以A是線段的中點(diǎn)，又軸，所以，，所以的內(nèi)心G在線段上．因?yàn)镚到y(tǒng)軸的距離為，所以，所以，因此，即．故．故選：B14．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，P為直線上一點(diǎn)，過(guò)P作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則的最小值為（

）A． B．-1 C． D．-2【答案】A【解析】【分析】設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求直線，，進(jìn)而可得，然后利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】設(shè)，.由求導(dǎo)得，則直線，直線，聯(lián)立方程可得，由P在直線上，得，且，即.因而.故選：A.15．（2022·浙江·寧波市鄞州高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線與圓在第二象限相交于點(diǎn)分別為該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為(

)A． B． C． D．2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦定理得，結(jié)合雙曲線定義可求，可判斷為直角三角形，故可求M點(diǎn)坐標(biāo)，將M點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程即可求得a與b關(guān)系，故而求出離心率的值.【詳解】在中，∵，∴由正弦定理知，，又∵，∴，，∴在中，，，，∴，∴.設(shè)，則由等面積得：，即，∵在上，∴，∵在上，∴，即，即，即，即，即，即，即，∴.故選：C.16．（2022·安徽·合肥一中高三階段練習(xí)（理））已知拋物線，點(diǎn)P為直線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則點(diǎn)到直線AB的距離的最大值為（

）A．1 B．4 C．5 D．【答案】D【解析】【分析】先求得直線AB的方程，再去求點(diǎn)到直線AB的距離的最大值即可解決.【詳解】設(shè)，切點(diǎn)，由題意知在點(diǎn)A處的切線斜率存在且不為0，設(shè)在點(diǎn)A處切線斜率為在點(diǎn)A處切線方程可設(shè)為由，可得由，可得則在點(diǎn)A處切線方程可化為，即由題意知在點(diǎn)B處的切線斜率存在且不為0，設(shè)在點(diǎn)B處切線斜率為在點(diǎn)B處切線方程可設(shè)為由，可得由，可得則在點(diǎn)B處切線方程可化為，即又兩條切線均過(guò)點(diǎn)P，則，則直線AB的方程為，即則直線AB恒過(guò)定點(diǎn)點(diǎn)到直線AB的距離的最大值即為點(diǎn)到的距離故點(diǎn)到直線AB的距離的最大值為.故選：D17．（2022·江西上饒·高三階段練習(xí)（文））設(shè)分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上的一點(diǎn)，若的重心和內(nèi)心的連線與x軸垂直，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先求出的重心坐標(biāo)，再根據(jù)雙曲線定義及切線長(zhǎng)定理求出的內(nèi)心橫坐標(biāo)，根據(jù)重心與內(nèi)心橫坐標(biāo)相同得到方程，求出離心率.【詳解】將代入，解得：，即，不妨令，則，，所以重心坐標(biāo)為，設(shè)的內(nèi)心為D，內(nèi)切圓與，的切點(diǎn)分別為A，B，與x軸切點(diǎn)為C，則PA=PB，，，且點(diǎn)D與點(diǎn)C橫坐標(biāo)相同，又由雙曲線定義知：，從而，設(shè)，則，解得：，故點(diǎn)C為雙曲線的右頂點(diǎn)，故D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，因?yàn)榈闹匦暮蛢?nèi)心的連線與x軸垂直，所以，解得：，即，解得：.故選：A18．（2022·江西吉安·高三期末（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且傾斜角為的直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，交于點(diǎn)Q．下列說(shuō)法正確的是(

)A．B．(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為C．D．若，P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【答案】A【解析】【分析】設(shè)l的方程，和拋物線方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)關(guān)系，求出，根據(jù)求出p的值.A：用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，驗(yàn)證兩斜率之積是否為－1；B：利用三角形面積公式即可求解；C：根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)可判斷；D：數(shù)形結(jié)合，利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為P到準(zhǔn)線的距離即可求出最值.【詳解】∵l過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為，∴直線l的方為，與拋物線方程聯(lián)立，得，設(shè)，則，，∴，，又，∴，∴；不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)，，∴過(guò)A的切線斜率為，同理可得過(guò)B的切線斜率為，∴，∴，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；設(shè)點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為d，若，則，則D錯(cuò)誤．故選：A．19．（2022·浙江溫州·高三開(kāi)學(xué)考試），分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，B是橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率是（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】B【解析】【分析】依據(jù)設(shè)而不求列出a、c的關(guān)系式，即可求得橢圓的離心率.【詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線為，令，由可得則，由，可得，則故，則有，代入整理得又直線，，則，代入整理得可化為，解之得或故選：B20．（2022·江西景德鎮(zhèn)·模擬預(yù)測(cè)（理））點(diǎn)F是雙曲線的左焦點(diǎn)，斜率為的直線l過(guò)點(diǎn)F且與雙曲線C的右支交于點(diǎn)P，過(guò)切點(diǎn)P的切線與x軸交于點(diǎn)M.若，則雙曲線C的離心率e的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件列出關(guān)于的齊次方程，化簡(jiǎn)求出離心率【詳解】如上圖所示，過(guò)作軸，設(shè)，則，根據(jù)題意得：，所以，即，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)處的切線方程為：，聯(lián)立，令可得：，化簡(jiǎn)得點(diǎn)處的切線方程為，斜率，，所以，由①②得：，，且，代入③化簡(jiǎn)得：，同除得：，所以或（舍）所以故選：A21．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知圓與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)是A，B．過(guò)點(diǎn)A，B分別作圓和拋物線的切線，，則（

）A．存在兩個(gè)不同的b使得兩個(gè)交點(diǎn)均滿足B．存在兩個(gè)不同的b使得僅一個(gè)交點(diǎn)滿足C．僅存在唯一的b使得兩個(gè)交點(diǎn)均滿足D．僅存在唯一的b使得僅一個(gè)交點(diǎn)滿足【答案】D【解析】【分析】利用拋物線方程設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，再由直線與垂直及交點(diǎn)在圓上求出b，p的關(guān)系，然后逐項(xiàng)分析作答.【詳解】依題意，設(shè)圓與拋物線的交點(diǎn)，，顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)方程為：，由消去x并整理得：，而，則，解得，由及圓的性質(zhì)知，直線過(guò)圓心及點(diǎn)，于是得：，整理得：，又，即，因此有，解得，而，即，于是有滿足的兩曲線交點(diǎn)只有點(diǎn)，選項(xiàng)A，C不正確；顯然，即正數(shù)p值確定，b值也隨之確定，并且唯一，選項(xiàng)B不正確，D正確.故選：D【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：拋物線在點(diǎn)處的切線斜率；拋物線在點(diǎn)處的切線斜率.22．（2022·江西宜春·高三期末（理））設(shè)點(diǎn)分別為雙曲線C的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在雙曲線C的左、右支上，若，，且，則雙曲線C漸近線的斜率為（

）A． B．± C．± D．±【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件得到，由雙曲線定義及勾股定理得到，再使用余弦定理得到，進(jìn)而求出漸近線方程.【詳解】，故，即，由勾股定理得：，設(shè)，則，，由雙曲線定義及勾股定理得：，即，整理得：，解得：或，因?yàn)?，即，解得：，從而（舍去），?dāng)時(shí)，，，所以，在三角形中，，解得：，即，雙曲線漸近線方程為：故選：A23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：的左，右焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)．其中M在第一象限．，則橢圓C的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由題設(shè)易知四邊形為矩形，可得，結(jié)合已知條件有即可求橢圓C的離心率的取值范圍.【詳解】由橢圓的對(duì)稱性知：，而，又，即四邊形為矩形，所以，則且M在第一象限，整理得，所以，又即，綜上，，整理得，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由橢圓的對(duì)稱性及矩形性質(zhì)可得，由已知條件得到，進(jìn)而得到橢圓參數(shù)的齊次式求離心率范圍.24．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為?，直線與交于A?兩點(diǎn)，若，，當(dāng)時(shí)，的離心率的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】結(jié)合題干條件得到，表達(dá)出，，利用橢圓定義得到關(guān)系，結(jié)合的范圍求出離心率的最小值.【詳解】連接，由題知點(diǎn)A?關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，，，則，，又，即，，由得，所以，D正確.故選：D25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F分別作兩條直線，直線與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，直線與拋物線C交于D、E兩點(diǎn)，若與的斜率的平方和為2，則的最小值為（

）A．24 B．20 C．16 D．12【答案】C【解析】【分析】設(shè)兩條直線方程，與拋物線聯(lián)立，求出弦長(zhǎng)的表達(dá)式，根據(jù)基本不等式求出最小值【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線：，直線：，聯(lián)立得：，所以，所以焦點(diǎn)弦，同理得：，所以，因?yàn)?，所以，故選：C26．（2022·重慶·高三階段練習(xí)）已知雙曲線，的左右焦點(diǎn)記為，，直線過(guò)且與該雙曲線的一條漸近線平行，記與雙曲線的交點(diǎn)為P，若所得的內(nèi)切圓半徑恰為，則此雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件探求出的內(nèi)切圓圓心坐標(biāo)，再借助點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算作答.【詳解】令雙曲線的半焦距為c，則，由對(duì)稱性不妨令與平行的漸近線為，直線方程為：，即，令的內(nèi)切圓與三邊相切的切點(diǎn)分別為A，B，C，令點(diǎn)，如圖，由切線長(zhǎng)定理及雙曲線定義得：，即，而軸，圓半徑為，則有，點(diǎn)到直線的距離：，整理得，即，而，解得，所以雙曲線的離心率為2.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②根據(jù)給定條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍).27．（2022·安徽阜陽(yáng)·高三期末（理））閔