小學(xué)數(shù)學(xué)擴(kuò)展題教學(xué)設(shè)計(jì)案例一、案例背景與設(shè)計(jì)理念在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，基礎(chǔ)知識(shí)的掌握固然重要，但學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，尤其是創(chuàng)新意識(shí)和解決復(fù)雜問題能力的提升，同樣是我們教學(xué)目標(biāo)的核心組成部分。擴(kuò)展題作為常規(guī)教學(xué)的延伸與補(bǔ)充，其價(jià)值在于激發(fā)學(xué)生的探究欲望，拓展其認(rèn)知邊界，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維的靈活性與深刻性。本教學(xué)設(shè)計(jì)案例聚焦于小學(xué)中年級“長方形和正方形的周長”這一核心知識(shí)點(diǎn)。在學(xué)生已經(jīng)掌握了長方形和正方形周長的基本計(jì)算公式（長方形周長=（長+寬）×2，正方形周長=邊長×4）之后，通過一系列精心設(shè)計(jì)的擴(kuò)展題，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度理解周長的概念，探索周長計(jì)算的變式，體驗(yàn)“變與不變”的數(shù)學(xué)思想，并嘗試運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決生活中的實(shí)際問題。設(shè)計(jì)理念強(qiáng)調(diào)“以生為本”，通過情境創(chuàng)設(shè)、問題驅(qū)動(dòng)、小組合作、動(dòng)手操作等方式，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)參與，積極思考，在“做數(shù)學(xué)”的過程中提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。二、教學(xué)內(nèi)容分析與學(xué)情分析教學(xué)內(nèi)容分析：本次擴(kuò)展教學(xué)內(nèi)容源于教材，又高于教材。它不僅僅是周長公式的簡單應(yīng)用，而是涉及到：1.周長公式的逆向運(yùn)用（已知周長求邊長或長、寬）。2.圖形的“剪”、“拼”過程中周長的變化規(guī)律。3.利用周長知識(shí)解決更復(fù)雜的組合圖形周長問題（非重疊、簡單重疊）。4.在固定周長下，探究長方形長與寬的關(guān)系及面積變化（為后續(xù)學(xué)習(xí)做鋪墊）。學(xué)情分析：授課對象為小學(xué)三年級下學(xué)期或四年級上學(xué)期學(xué)生。*已有知識(shí)基礎(chǔ)：學(xué)生已經(jīng)理解了周長的含義，掌握了長方形和正方形周長的計(jì)算公式，并能熟練運(yùn)用公式解決基本的周長計(jì)算問題。*思維特點(diǎn)：此階段學(xué)生正處于具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的關(guān)鍵時(shí)期。他們對直觀、具體的事物更容易理解和接受，同時(shí)也開始具備一定的獨(dú)立思考和初步的邏輯推理能力。*潛在困難：對于圖形經(jīng)過“剪”、“拼”后周長的變化，以及逆向思考已知周長求邊長等問題，部分學(xué)生可能會(huì)感到困惑。對于“固定周長，長方形長和寬的變化對面積的影響”這類規(guī)律性探究問題，學(xué)生的抽象概括能力尚顯不足。三、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能：*進(jìn)一步鞏固長方形和正方形周長的計(jì)算方法，并能靈活運(yùn)用公式解決逆向問題及簡單的組合圖形周長問題。*初步感知圖形經(jīng)過“剪”、“拼”操作后周長的變化規(guī)律。*在探究活動(dòng)中，初步體會(huì)“周長一定時(shí)，長方形長與寬的關(guān)系”。2.過程與方法：*通過觀察、比較、操作、討論等數(shù)學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、動(dòng)手操作能力和初步的邏輯思維能力。*引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“猜想—驗(yàn)證—結(jié)論—應(yīng)用”的探究過程，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：*感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性。*在探究活動(dòng)中體驗(yàn)成功的喜悅，培養(yǎng)克服困難的勇氣和合作交流的意識(shí)。四、教學(xué)重難點(diǎn)*教學(xué)重點(diǎn)：靈活運(yùn)用長方形和正方形周長公式解決逆向問題和簡單的變式問題。*教學(xué)難點(diǎn)：理解圖形“剪”、“拼”過程中周長的變化規(guī)律；在固定周長條件下，探究長方形長、寬與面積的關(guān)系。五、教學(xué)準(zhǔn)備教師：多媒體課件（PPT）、可拼接的小正方形卡片（或邊長為1分米的正方形學(xué)具若干）、直尺、不同形狀的圖形卡片。學(xué)生：直尺、練習(xí)本、鉛筆、橡皮、相同規(guī)格的小正方形紙片（每人至少10個(gè)）。六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)(一)溫故知新，情境導(dǎo)入(約5分鐘)1.基礎(chǔ)回顧：*師：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了長方形和正方形的周長，誰能說說什么是周長？長方形和正方形的周長計(jì)算公式分別是什么？（指名回答，教師板書公式）*師：一個(gè)長方形長5厘米，寬3厘米，它的周長是多少？一個(gè)正方形邊長4分米，周長是多少？（學(xué)生口答，強(qiáng)調(diào)書寫格式和單位）2.情境激趣，引出擴(kuò)展：*師：看來大家對基本的周長計(jì)算已經(jīng)掌握得很扎實(shí)了！今天，老師遇到了一個(gè)小難題，想請大家?guī)兔鉀Q一下。我們學(xué)校想在一塊空地上圍一個(gè)長方形的花圃，用來種植鮮花。園丁叔叔說，他準(zhǔn)備了24米長的柵欄。你們能不能幫園丁叔叔想一想，這個(gè)長方形花圃的長和寬可以是多少米呢？（不考慮柵欄的寬度）*師：這個(gè)問題和我們之前做的有什么不一樣？（引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：之前是已知長和寬求周長，現(xiàn)在是已知周長求長和寬）*師：這就是我們今天要一起探索的“周長的奧秘”——長方形和正方形周長擴(kuò)展應(yīng)用。（板書課題）(二)探究新知，合作解疑(約20-25分鐘)活動(dòng)一：逆向思考，我能行——已知周長求邊長1.自主嘗試，初步感知：*師：對于“用24米柵欄圍長方形花圃，長和寬可以是多少米？”這個(gè)問題，你打算怎么思考？請同學(xué)們先獨(dú)立思考，把你的想法在練習(xí)本上寫一寫、畫一畫。（給學(xué)生3-5分鐘時(shí)間）2.小組討論，交流碰撞：*師：完成的同學(xué)可以在小組內(nèi)交流一下你的想法，看看你們組有多少種不同的圍法。（教師巡視指導(dǎo)，關(guān)注學(xué)生是否考慮到長和寬的和與周長的關(guān)系）3.全班交流，歸納方法：*師：哪個(gè)小組愿意分享你們的成果？（教師根據(jù)學(xué)生回答，有序板書不同的長和寬組合，如：長11米、寬1米；長10米、寬2米……）*師：大家是怎么想到這些長和寬的？（引導(dǎo)學(xué)生說出：因?yàn)殚L方形周長=（長+寬）×2，所以長+寬=周長÷2=24÷2=12米。只要找出兩個(gè)數(shù)相加等于12，就可以作為長和寬。）*師：說得非常好！那么，這里的長和寬可以是小數(shù)嗎？可以是負(fù)數(shù)嗎？為什么？（結(jié)合實(shí)際情境，理解長和寬應(yīng)為正數(shù)，且在小學(xué)階段我們先考慮整數(shù)米的情況，若有學(xué)生提出小數(shù)，可簡要肯定，但說明今天主要研究整數(shù)情況）*師：如果我們圍成的是一個(gè)正方形花圃，那么邊長是多少呢？（學(xué)生口答：24÷4=6米）活動(dòng)二：動(dòng)手操作，探究規(guī)律——“剪”、“拼”中的周長變化1.“一分為二”后的周長：*師：（出示一個(gè)邊長為4厘米的正方形卡片）這是一個(gè)邊長4厘米的正方形，它的周長是多少？（學(xué)生計(jì)算：4×4=16厘米）*師：如果老師沿著它的一條邊的中點(diǎn)把這個(gè)正方形剪成兩個(gè)一樣的長方形，（教師演示或PPT展示剪的過程）每個(gè)小長方形的周長是多少呢？請同學(xué)們先猜一猜，再用你手中的正方形紙片（或畫圖）剪一剪、算一算。*學(xué)生活動(dòng)，教師巡視指導(dǎo)。*交流反饋：*師：誰來說說你得到的小長方形的周長是多少？你是怎么算的？*預(yù)設(shè)學(xué)生可能的方法：*方法一：小長方形的長是4厘米，寬是4÷2=2厘米，周長是（4+2）×2=12厘米。*方法二：原正方形周長16厘米，剪成兩個(gè)長方形后，周長總和比原來多了兩條邊長（或兩個(gè)寬）？（引導(dǎo)學(xué)生觀察：剪一刀，增加了兩條邊的長度，即兩個(gè)寬的長度，4厘米×2=8厘米，16+8=24厘米，每個(gè)小長方形周長24÷2=12厘米。）*師：通過計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)每個(gè)小長方形的周長是12厘米。那么，它的周長和原來正方形的周長相比，是增加了還是減少了？為什么？（引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：單個(gè)小長方形周長比原正方形周長小，但兩個(gè)小長方形周長之和比原正方形周長大，因?yàn)榧羟刑幵黾恿诵碌倪?。?.“拼合圖形”的周長：*師：剛才我們把一個(gè)圖形剪開了，如果我們把幾個(gè)相同的小正方形拼起來，周長又會(huì)發(fā)生什么變化呢？*師：請同學(xué)們拿出4個(gè)邊長為1分米的小正方形，把它們拼成一個(gè)大的長方形或正方形，看看有幾種拼法，并分別算出它們的周長。（學(xué)生小組合作，動(dòng)手拼擺，記錄不同拼法的長、寬和周長）*學(xué)生匯報(bào)，教師板書：*拼法一：拼成一行（長方形）：長4分米，寬1分米，周長（4+1）×2=10分米。*拼法二：拼成2行2列（正方形）：邊長2分米，周長2×4=8分米。*師：觀察這兩種拼法，同樣是4個(gè)小正方形，為什么拼成正方形時(shí)周長更短呢？（引導(dǎo)學(xué)生觀察：拼成的圖形越“緊湊”，重合的邊就越多，露在外面的周長就越短。）*師：如果用6個(gè)這樣的小正方形拼長方形，有幾種拼法？哪種拼法周長最短？（留作課后思考或快速挑戰(zhàn)）(三)鞏固應(yīng)用，拓展提升(約10-15分鐘)1.基礎(chǔ)變式練習(xí)：*一個(gè)長方形的周長是30厘米，長是10厘米，寬是多少厘米？*一個(gè)正方形的周長是28米，它的邊長是多少米？2.綜合拓展練習(xí)：*題1（組合圖形周長）：課件出示一個(gè)由兩個(gè)相同的長方形拼成的圖形（例如：長5厘米，寬2厘米的長方形，拼成一個(gè)大長方形，可以左右拼或上下拼），讓學(xué)生計(jì)算拼成后的大長方形的周長。（強(qiáng)調(diào)：看清是怎樣拼的，重合的邊不再是周長的一部分）*題2（生活中的數(shù)學(xué)）：一塊長方形的菜地，長10米，寬6米。農(nóng)民伯伯想給這塊菜地的四周圍上籬笆，但是其中一面靠墻（墻足夠長），最少需要準(zhǔn)備多少米的籬笆？（引導(dǎo)學(xué)生思考：要使籬笆最少，應(yīng)該讓哪一面靠墻？）(四)課堂小結(jié)，深化認(rèn)識(shí)(約3-5分鐘)*師：同學(xué)們，今天這節(jié)課我們一起探索了周長的哪些奧秘？你有哪些新的收獲？（引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)、方法、情感等方面進(jìn)行總結(jié)）*師：我們知道了已知周長可以求長方形的長和寬（強(qiáng)調(diào)長加寬的和是周長的一半），也發(fā)現(xiàn)了圖形在剪拼過程中周長會(huì)發(fā)生變化，還能用周長知識(shí)解決更復(fù)雜的實(shí)際問題。數(shù)學(xué)的世界非常奇妙，只要我們善于觀察，勤于思考，就能發(fā)現(xiàn)更多有趣的規(guī)律。(五)分層作業(yè)，延伸探究(約2分鐘)1.基礎(chǔ)作業(yè)（必做）：*一個(gè)長方形的周長是20厘米，它的長和寬可能是多少厘米？（至少寫出3種）*用兩個(gè)邊長為3厘米的正方形拼成一個(gè)長方形，這個(gè)長方形的周長是多少厘米？2.拓展作業(yè)（選做）：*用12個(gè)邊長為1厘米的小正方形拼成長方形，有幾種不同的拼法？它們的周長分別是多少？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？*思考：為什么在周長相等的情況下，正方形的面積比長方形的面積大？（可以用今天學(xué)的24米柵欄圍長方形和正方形花圃的例子，算算它們的面積進(jìn)行比較）七、板書設(shè)計(jì)長方形和正方形周長擴(kuò)展應(yīng)用基本公式：長方形周長=（長+寬）×2正方形周長=邊長×4探究一：已知周長求長、寬例：周長24米的長方形花圃。長+寬=24÷2=12(米)可能：長11米、寬1米；長10米、寬2米；...；長7米、寬5米。正方形：邊長=24÷4=6(米)探究二：剪、拼中的周長1.正方形（邊長4cm）→2個(gè)小長方形小長方形：長4cm，寬2cm周長：(4+2)×2=12(cm)（剪切后，周長總和增加）2.4個(gè)小正方形（邊長1dm）拼圖形拼法一：長4dm，寬1dm→周長(4+1)×2=10(dm)拼法二：邊長2dm→周長2×4=8(dm)（重合邊越多，周長越短）關(guān)鍵：靈活運(yùn)用公式，關(guān)注圖形變化，聯(lián)系生活實(shí)際。八、教學(xué)反思本教學(xué)設(shè)計(jì)案例旨在通過一系列有層次、有梯度的擴(kuò)展題，引導(dǎo)學(xué)生從正向應(yīng)用公式到逆向思考，從簡單圖形到組合圖形，從靜態(tài)計(jì)算到動(dòng)態(tài)變化，逐步深化對周長概念的理解和周長公式的靈活運(yùn)用。在實(shí)際教學(xué)過程中，應(yīng)特別注意以下幾點(diǎn)：1.充分放手，鼓勵(lì)探究：對于“已知周長求長和寬”以及“剪拼圖形周長變化”等環(huán)節(jié)，要給予學(xué)生充足的時(shí)間和空間進(jìn)行獨(dú)立思考和動(dòng)手操作，教師不宜過早介入或給出標(biāo)準(zhǔn)答案。2.關(guān)注差異，因材施教：學(xué)生的思維水平存在差異，在小組討論和作業(yè)布置中要體現(xiàn)層次性，確保不同層次的學(xué)生都能有所收獲。對于理解有困難的學(xué)生，可以通過畫圖、實(shí)物操作等方式降低難度。3.聯(lián)系生活，激發(fā)興趣：創(chuàng)設(shè)的問題情境應(yīng)盡可能貼近學(xué)生的生活實(shí)際，讓學(xué)生感