正態(tài)分布的應用指南一、概述

正態(tài)分布，又稱高斯分布，是統(tǒng)計學中最重要的概率分布之一。它在自然科學、社會科學、工程學等領域具有廣泛的應用。正態(tài)分布的特點是數(shù)據(jù)呈對稱分布，中間值（均值）處達到峰值，兩側(cè)逐漸衰減，符合“中間大、兩頭小”的特征。本指南將介紹正態(tài)分布的基本概念、應用場景及計算方法，幫助讀者理解和應用正態(tài)分布。

二、正態(tài)分布的基本概念

（一）定義與特性

1.正態(tài)分布是一種連續(xù)型概率分布，其概率密度函數(shù)呈鐘形曲線。

2.曲線關于均值對稱，均值、中位數(shù)和眾數(shù)重合。

3.標準差決定曲線的寬度，標準差越大，曲線越扁平。

（二）數(shù)學表達

1.概率密度函數(shù)公式：

\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)

其中，μ為均值，σ為標準差。

2.標準正態(tài)分布：均值為0，標準差為1的正態(tài)分布，記作N(0,1)。

三、正態(tài)分布的應用場景

（一）自然科學

1.測量誤差：實驗測量誤差通常服從正態(tài)分布。

-示例：某實驗室測量長度，誤差范圍在±2mm內(nèi)的概率約為95%。

2.生物學：群體特征的分布，如身高、體重等。

-示例：某地區(qū)成年男性身高服從N(175cm,7cm2)分布。

（二）社會科學

1.考試成績：標準化考試分數(shù)（如IQ測試）常假設為正態(tài)分布。

-示例：某次考試平均分80分，標準差10分，90分以上的考生占比約16%。

2.經(jīng)濟學：股票價格波動在一定范圍內(nèi)的概率分析。

（三）工程學

1.產(chǎn)品質(zhì)量：零件尺寸、重量等指標的分布。

-示例：某零件重量服從N(50g,0.5g2)分布，99.7%的零件重量在49.5g至50.5g之間。

2.可靠性分析：系統(tǒng)故障率的統(tǒng)計預測。

四、正態(tài)分布的計算方法

（一）概率計算

1.標準正態(tài)分布表：通過Z分數(shù)（標準差單位）查表獲取概率。

-計算公式：\(Z=\frac{x-\mu}{\sigma}\)

2.例：N(100,16)分布中，P(X>110)=P(Z>2)≈0.0228。

（二）數(shù)據(jù)標準化

1.將任意正態(tài)分布轉(zhuǎn)換為標準正態(tài)分布。

-步驟：

(1)計算原始數(shù)據(jù)的均值和標準差。

(2)應用Z分數(shù)公式轉(zhuǎn)換。

（三）區(qū)間估計

1.置信區(qū)間計算：

-95%置信區(qū)間：均值±1.96×標準差。

-示例：樣本均值80，標準差10，95%區(qū)間為[68.4,91.6]。

五、注意事項

（一）適用條件

1.數(shù)據(jù)需近似對稱分布，避免極端異常值影響。

2.大樣本量（>30）可近似視為正態(tài)分布（中心極限定理）。

（二）異常處理

1.檢測異常值：3σ原則，超出均值±3個標準差的可能為異常值。

2.數(shù)據(jù)變換：對偏態(tài)數(shù)據(jù)采用對數(shù)變換等使其近似正態(tài)。

（三）軟件工具

1.Excel：使用NORM.DIST函數(shù)計算概率。

2.R語言：rnorm函數(shù)生成正態(tài)分布隨機數(shù)。

六、總結(jié)

正態(tài)分布在多個領域具有實用價值，通過理解其定義、特性及計算方法，可以有效分析數(shù)據(jù)、預測趨勢。實際應用中需注意數(shù)據(jù)質(zhì)量和適用條件，結(jié)合統(tǒng)計工具提高分析效率。

---

（接上文）

五、注意事項（續(xù)）

（一）適用條件（續(xù)）

1.數(shù)據(jù)需近似對稱分布，避免極端異常值影響。

-具體說明：正態(tài)分布的核心特征是對稱性。如果數(shù)據(jù)分布嚴重偏斜（例如，大量數(shù)據(jù)集中在某一端，另一端有少量極端值），則直接應用正態(tài)分布模型可能產(chǎn)生誤導?？梢酝ㄟ^繪制直方圖或Q-Q圖來直觀判斷數(shù)據(jù)的對稱性。直方圖應呈現(xiàn)明顯的鐘形曲線輪廓；Q-Q圖中的點應大致落在一條直線上。

2.大樣本量（>30）可近似視為正態(tài)分布（中心極限定理）。

-具體說明：中心極限定理指出，無論原始總體分布形態(tài)如何，從該總體中抽取足夠大的樣本（通常n≥30），樣本均值的分布將趨近于正態(tài)分布，其均值等于總體均值，標準差為總體標準差除以樣本量平方根（即標準誤）。因此，在樣本量較大時，即使原始數(shù)據(jù)不完全符合正態(tài)分布，其樣本均值的分布也常?？梢越瓶醋髡龖B(tài)分布，這為許多基于正態(tài)分布的推斷統(tǒng)計方法提供了應用基礎。

（二）異常處理（續(xù)）

1.檢測異常值：3σ原則，超出均值±3個標準差的可能為異常值。

-具體說明：3σ原則是一種簡單的異常值篩選方法。其邏輯基于正態(tài)分布的特性，約99.7%的數(shù)據(jù)點落在均值±3個標準差范圍內(nèi)。因此，那些距離均值超過3個標準差的數(shù)據(jù)點，在正態(tài)分布假設下，其發(fā)生的概率非常低（約0.3%）。雖然并非所有異常值都嚴格符合此原則（特別是當樣本量較小時），但它是初步識別潛在異常值的實用工具。檢測步驟如下：

(1)計算數(shù)據(jù)的均值（μ）和標準差（σ）。

(2)確定閾值：上限=μ+3σ，下限=μ-3σ。

(3)識別所有低于下限或高于上限的數(shù)據(jù)點。

-注意：3σ原則對正態(tài)分布適用，若數(shù)據(jù)分布偏離正態(tài)，則此方法可能不精確。此外，對于小樣本，少數(shù)極端值可能導致計算出的標準差偏大，從而使得3σ范圍過寬，掩蓋真正的異常值。

2.數(shù)據(jù)變換：對偏態(tài)數(shù)據(jù)采用對數(shù)變換等使其近似正態(tài)。

-具體說明：當數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯的偏態(tài)（如右偏或左偏）時，直接應用正態(tài)分布模型效果不佳。數(shù)據(jù)變換是一種常用的預處理方法，旨在改變數(shù)據(jù)的分布形態(tài)，使其更接近正態(tài)分布。常見的數(shù)據(jù)變換方法包括：

(1)對數(shù)變換（LogTransformation）：適用于右偏數(shù)據(jù)（多數(shù)大值，少數(shù)小值）。計算數(shù)據(jù)的自然對數(shù)（ln(x)）或常用對數(shù)（log10(x)）。

(2)平方根變換（SquareRootTransformation）：適用于輕度右偏數(shù)據(jù)或計數(shù)數(shù)據(jù)。計算數(shù)據(jù)的平方根（√x）。

(3)反正弦變換（ArcsineTransformation）：適用于比例或百分比數(shù)據(jù)，且數(shù)據(jù)值均小于0.5或大于0.5。計算反正弦的平方根（arcsin(√p)），其中p為原始比例。

-評估：變換后，應重新檢查數(shù)據(jù)的分布形態(tài)（如使用直方圖或Q-Q圖），判斷是否已改善。同時，要注意變換后的數(shù)據(jù)可能不再具有原始的量綱，分析時需考慮這一點。

（三）軟件工具（續(xù)）

1.Excel：使用NORM.DIST函數(shù)計算概率。

-具體說明：Excel提供了內(nèi)置函數(shù)用于計算正態(tài)分布的概率。NORM.DIST函數(shù)用于計算給定值在特定正態(tài)分布下的累積概率密度或累積分布函數(shù)（CDF）。

-使用方法（累積分布函數(shù)CDF）：=NORM.DIST(x,mean,standard_dev,cumulative)

-x：需要計算其概率的值。

-mean：正態(tài)分布的均值（μ）。

-standard_dev：正態(tài)分布的標準差（σ）。

-cumulative：邏輯值，TRUE表示計算累積分布函數(shù)（小于或等于x的概率），F(xiàn)ALSE表示計算概率密度函數(shù)。

-示例：計算均值為100，標準差為15的正態(tài)分布中，值小于110的概率：=NORM.DIST(110,100,15,TRUE)≈0.8413。

2.R語言：rnorm函數(shù)生成正態(tài)分布隨機數(shù)。

-具體說明：R語言是統(tǒng)計分析和數(shù)據(jù)科學中常用的語言，其內(nèi)置函數(shù)rnorm用于生成指定數(shù)量、符合特定正態(tài)分布的隨機數(shù)。

-使用方法：rnorm(n,mean,sd)

-n：要生成的隨機數(shù)數(shù)量。

-mean：正態(tài)分布的均值（μ）。

-sd：正態(tài)分布的標準差（σ）。

-示例：生成10個均值為50，標準差為5的隨機數(shù)：rnorm(10,50,5)。

-應用：這些隨機數(shù)可以用于模擬實驗、蒙特卡洛模擬等場景。

六、正態(tài)分布的綜合應用案例詳解

（一）案例一：產(chǎn)品質(zhì)量檢驗

1.背景：某工廠生產(chǎn)一批零件，其長度目標值為100mm，要求長度波動盡可能小。已知歷史數(shù)據(jù)表明，零件長度服從正態(tài)分布N(100mm,0.8mm2)。

2.目標：計算單件零件長度在99mm至101mm之間的概率，以及長度超出±1.5mm范圍的概率。

3.分析步驟：

(1)確定分布參數(shù)：均值μ=100mm，標準差σ=√0.8mm≈0.894mm。

(2)計算P(99mm≤X≤101mm)：

-轉(zhuǎn)換為Z分數(shù)：Z?=(99-100)/0.894≈-1.12，Z?=(101-100)/0.894≈1.12。

-查標準正態(tài)分布表或使用軟件：P(Z≤1.12)-P(Z≤-1.12)≈0.8686-0.1314=0.7372。

-結(jié)論：單件零件長度在99mm至101mm之間的概率約為73.72%。

(3)計算P(|X-100|>1.5mm)=P(X<98.5或X>101.5)：

-轉(zhuǎn)換為Z分數(shù)：Z?=(98.5-100)/0.894≈-1.69，Z?=(101.5-100)/0.894≈1.69。

-查表或使用軟件：P(Z<-1.69)+P(Z>1.69)≈0.0455+0.0455=0.0910。

-結(jié)論：單件零件長度超出±1.5mm范圍的概率約為9.10%。

（二）案例二：考試成績分析

1.背景：某次標準化考試，已知考生成績服從正態(tài)分布N(75分,12分2)，即均值為75分，標準差為√12≈3.46分。

2.目標：分析不同分數(shù)段考生的比例。

3.分析步驟：

(1)計算特定分數(shù)的Z分數(shù)：

-例如，分數(shù)80分的Z分數(shù)：Z=(80-75)/3.46≈1.45。

(2)計算通過率（成績≥60分）：

-轉(zhuǎn)換Z分數(shù)：Z=(60-75)/3.46≈-3.41。

-查表或使用軟件：P(Z≥-3.41)=1-P(Z≤-3.41)≈1-0.0003=0.9997。

-結(jié)論：成績在60分以上的考生比例約為99.97%。

(3)計算優(yōu)秀率（成績≥90分）：

-轉(zhuǎn)換Z分數(shù)：Z=(90-75)/3.46≈2.90。

-查表或使用軟件：P(Z≥2.90)=1-P(Z≤2.90)≈1-0.0019=0.9981。

-結(jié)論：成績在90分以上的考生比例約為99.81%。

(4)計算及格率（60分≤成績<80分）：

-P(60≤X<80)=P(X<80)-P(X<60)=P(Z<2.90)-P(Z<-3.41)≈0.9981-0.0003=0.9978。

-結(jié)論：成績在60分至80分之間的考生比例約為99.78%。

（三）案例三：實驗誤差分析

1.背景：在重復測量某物理量時，假設真實值未知，測量誤差服從正態(tài)分布N(0,0.5mm2)，即均值為0，標準差為0.5mm。

2.目標：評估測量結(jié)果的可信度。

3.分析步驟：

(1)應用3σ原則：

-上限=0+3×0.5mm=1.5mm，下限=0-3×0.5mm=-1.5mm。

-根據(jù)原則，超過±1.5mm的測量結(jié)果可視為潛在異常值。

(2)計算測量結(jié)果在±1mm范圍內(nèi)的概率：

-轉(zhuǎn)換Z分數(shù)：Z?=(1-0)/0.5=2，Z?=(-1-0)/0.5=-2。

-查表或使用軟件：P(-2≤Z≤2)=P(Z≤2)-P(Z≤-2)≈0.9772-0.0228=0.9544。

-結(jié)論：約95.44%的測量結(jié)果會落在±1mm的范圍內(nèi)。

(3)計算測量結(jié)果絕對值大于1mm的概率：

-P(|X|>1mm)=P(X>1)+P(X<-1)=2×P(X>1)=2×P(Z>2)≈2×(1-0.9772)=0.0456。

-結(jié)論：約4.56%的測量結(jié)果會偏離真實值±1mm之外。

七、總結(jié)與拓展

（一）總結(jié)

正態(tài)分布在科學研究、工程實踐、商業(yè)分析等領域扮演著核心角色。理解其定義、特性，掌握概率計算、標準化、區(qū)間估計等方法，能夠有效地處理和分析數(shù)據(jù)，為決策提供支持。同時，必須注意正態(tài)分布的適用條件，學會處理非正態(tài)數(shù)據(jù)，并合理使用統(tǒng)計軟件提高效率。

（二）拓展學習方向

1.抽樣分布：理解樣本均值、樣本方差等統(tǒng)計量的分布特性，特別是樣本均值的分布（中心極限定理）。

2.參數(shù)估計：學習點估計（如均值、方差的樣本值）和區(qū)間估計的原理與方法。

3.假設檢驗：基于正態(tài)分布進行均值、方差的假設檢驗，判斷樣本數(shù)據(jù)是否支持特定假設。

4.相關分布：了解與正態(tài)分布相關的其他分布，如t分布（小樣本）、χ2分布（卡方分布，與正態(tài)分布方差相關）、F分布。

5.多元正態(tài)分布：學習涉及多個變量的正態(tài)分布（高斯分布），應用于多元統(tǒng)計分析。

---

一、概述

正態(tài)分布，又稱高斯分布，是統(tǒng)計學中最重要的概率分布之一。它在自然科學、社會科學、工程學等領域具有廣泛的應用。正態(tài)分布的特點是數(shù)據(jù)呈對稱分布，中間值（均值）處達到峰值，兩側(cè)逐漸衰減，符合“中間大、兩頭小”的特征。本指南將介紹正態(tài)分布的基本概念、應用場景及計算方法，幫助讀者理解和應用正態(tài)分布。

二、正態(tài)分布的基本概念

（一）定義與特性

1.正態(tài)分布是一種連續(xù)型概率分布，其概率密度函數(shù)呈鐘形曲線。

2.曲線關于均值對稱，均值、中位數(shù)和眾數(shù)重合。

3.標準差決定曲線的寬度，標準差越大，曲線越扁平。

（二）數(shù)學表達

1.概率密度函數(shù)公式：

\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)

其中，μ為均值，σ為標準差。

2.標準正態(tài)分布：均值為0，標準差為1的正態(tài)分布，記作N(0,1)。

三、正態(tài)分布的應用場景

（一）自然科學

1.測量誤差：實驗測量誤差通常服從正態(tài)分布。

-示例：某實驗室測量長度，誤差范圍在±2mm內(nèi)的概率約為95%。

2.生物學：群體特征的分布，如身高、體重等。

-示例：某地區(qū)成年男性身高服從N(175cm,7cm2)分布。

（二）社會科學

1.考試成績：標準化考試分數(shù)（如IQ測試）常假設為正態(tài)分布。

-示例：某次考試平均分80分，標準差10分，90分以上的考生占比約16%。

2.經(jīng)濟學：股票價格波動在一定范圍內(nèi)的概率分析。

（三）工程學

1.產(chǎn)品質(zhì)量：零件尺寸、重量等指標的分布。

-示例：某零件重量服從N(50g,0.5g2)分布，99.7%的零件重量在49.5g至50.5g之間。

2.可靠性分析：系統(tǒng)故障率的統(tǒng)計預測。

四、正態(tài)分布的計算方法

（一）概率計算

1.標準正態(tài)分布表：通過Z分數(shù)（標準差單位）查表獲取概率。

-計算公式：\(Z=\frac{x-\mu}{\sigma}\)

2.例：N(100,16)分布中，P(X>110)=P(Z>2)≈0.0228。

（二）數(shù)據(jù)標準化

1.將任意正態(tài)分布轉(zhuǎn)換為標準正態(tài)分布。

-步驟：

(1)計算原始數(shù)據(jù)的均值和標準差。

(2)應用Z分數(shù)公式轉(zhuǎn)換。

（三）區(qū)間估計

1.置信區(qū)間計算：

-95%置信區(qū)間：均值±1.96×標準差。

-示例：樣本均值80，標準差10，95%區(qū)間為[68.4,91.6]。

五、注意事項

（一）適用條件

1.數(shù)據(jù)需近似對稱分布，避免極端異常值影響。

2.大樣本量（>30）可近似視為正態(tài)分布（中心極限定理）。

（二）異常處理

1.檢測異常值：3σ原則，超出均值±3個標準差的可能為異常值。

2.數(shù)據(jù)變換：對偏態(tài)數(shù)據(jù)采用對數(shù)變換等使其近似正態(tài)。

（三）軟件工具

1.Excel：使用NORM.DIST函數(shù)計算概率。

2.R語言：rnorm函數(shù)生成正態(tài)分布隨機數(shù)。

六、總結(jié)

正態(tài)分布在多個領域具有實用價值，通過理解其定義、特性及計算方法，可以有效分析數(shù)據(jù)、預測趨勢。實際應用中需注意數(shù)據(jù)質(zhì)量和適用條件，結(jié)合統(tǒng)計工具提高分析效率。

---

（接上文）

五、注意事項（續(xù)）

（一）適用條件（續(xù)）

1.數(shù)據(jù)需近似對稱分布，避免極端異常值影響。

-具體說明：正態(tài)分布的核心特征是對稱性。如果數(shù)據(jù)分布嚴重偏斜（例如，大量數(shù)據(jù)集中在某一端，另一端有少量極端值），則直接應用正態(tài)分布模型可能產(chǎn)生誤導?？梢酝ㄟ^繪制直方圖或Q-Q圖來直觀判斷數(shù)據(jù)的對稱性。直方圖應呈現(xiàn)明顯的鐘形曲線輪廓；Q-Q圖中的點應大致落在一條直線上。

2.大樣本量（>30）可近似視為正態(tài)分布（中心極限定理）。

-具體說明：中心極限定理指出，無論原始總體分布形態(tài)如何，從該總體中抽取足夠大的樣本（通常n≥30），樣本均值的分布將趨近于正態(tài)分布，其均值等于總體均值，標準差為總體標準差除以樣本量平方根（即標準誤）。因此，在樣本量較大時，即使原始數(shù)據(jù)不完全符合正態(tài)分布，其樣本均值的分布也常?？梢越瓶醋髡龖B(tài)分布，這為許多基于正態(tài)分布的推斷統(tǒng)計方法提供了應用基礎。

（二）異常處理（續(xù)）

1.檢測異常值：3σ原則，超出均值±3個標準差的可能為異常值。

-具體說明：3σ原則是一種簡單的異常值篩選方法。其邏輯基于正態(tài)分布的特性，約99.7%的數(shù)據(jù)點落在均值±3個標準差范圍內(nèi)。因此，那些距離均值超過3個標準差的數(shù)據(jù)點，在正態(tài)分布假設下，其發(fā)生的概率非常低（約0.3%）。雖然并非所有異常值都嚴格符合此原則（特別是當樣本量較小時），但它是初步識別潛在異常值的實用工具。檢測步驟如下：

(1)計算數(shù)據(jù)的均值（μ）和標準差（σ）。

(2)確定閾值：上限=μ+3σ，下限=μ-3σ。

(3)識別所有低于下限或高于上限的數(shù)據(jù)點。

-注意：3σ原則對正態(tài)分布適用，若數(shù)據(jù)分布偏離正態(tài)，則此方法可能不精確。此外，對于小樣本，少數(shù)極端值可能導致計算出的標準差偏大，從而使得3σ范圍過寬，掩蓋真正的異常值。

2.數(shù)據(jù)變換：對偏態(tài)數(shù)據(jù)采用對數(shù)變換等使其近似正態(tài)。

-具體說明：當數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯的偏態(tài)（如右偏或左偏）時，直接應用正態(tài)分布模型效果不佳。數(shù)據(jù)變換是一種常用的預處理方法，旨在改變數(shù)據(jù)的分布形態(tài)，使其更接近正態(tài)分布。常見的數(shù)據(jù)變換方法包括：

(1)對數(shù)變換（LogTransformation）：適用于右偏數(shù)據(jù)（多數(shù)大值，少數(shù)小值）。計算數(shù)據(jù)的自然對數(shù)（ln(x)）或常用對數(shù)（log10(x)）。

(2)平方根變換（SquareRootTransformation）：適用于輕度右偏數(shù)據(jù)或計數(shù)數(shù)據(jù)。計算數(shù)據(jù)的平方根（√x）。

(3)反正弦變換（ArcsineTransformation）：適用于比例或百分比數(shù)據(jù)，且數(shù)據(jù)值均小于0.5或大于0.5。計算反正弦的平方根（arcsin(√p)），其中p為原始比例。

-評估：變換后，應重新檢查數(shù)據(jù)的分布形態(tài)（如使用直方圖或Q-Q圖），判斷是否已改善。同時，要注意變換后的數(shù)據(jù)可能不再具有原始的量綱，分析時需考慮這一點。

（三）軟件工具（續(xù)）

1.Excel：使用NORM.DIST函數(shù)計算概率。

-具體說明：Excel提供了內(nèi)置函數(shù)用于計算正態(tài)分布的概率。NORM.DIST函數(shù)用于計算給定值在特定正態(tài)分布下的累積概率密度或累積分布函數(shù)（CDF）。

-使用方法（累積分布函數(shù)CDF）：=NORM.DIST(x,mean,standard_dev,cumulative)

-x：需要計算其概率的值。

-mean：正態(tài)分布的均值（μ）。

-standard_dev：正態(tài)分布的標準差（σ）。

-cumulative：邏輯值，TRUE表示計算累積分布函數(shù)（小于或等于x的概率），F(xiàn)ALSE表示計算概率密度函數(shù)。

-示例：計算均值為100，標準差為15的正態(tài)分布中，值小于110的概率：=NORM.DIST(110,100,15,TRUE)≈0.8413。

2.R語言：rnorm函數(shù)生成正態(tài)分布隨機數(shù)。

-具體說明：R語言是統(tǒng)計分析和數(shù)據(jù)科學中常用的語言，其內(nèi)置函數(shù)rnorm用于生成指定數(shù)量、符合特定正態(tài)分布的隨機數(shù)。

-使用方法：rnorm(n,mean,sd)

-n：要生成的隨機數(shù)數(shù)量。

-mean：正態(tài)分布的均值（μ）。

-sd：正態(tài)分布的標準差（σ）。

-示例：生成10個均值為50，標準差為5的隨機數(shù)：rnorm(10,50,5)。

-應用：這些隨機數(shù)可以用于模擬實驗、蒙特卡洛模擬等場景。

六、正態(tài)分布的綜合應用案例詳解

（一）案例一：產(chǎn)品質(zhì)量檢驗

1.背景：某工廠生產(chǎn)一批零件，其長度目標值為100mm，要求長度波動盡可能小。已知歷史數(shù)據(jù)表明，零件長度服從正態(tài)分布N(100mm,0.8mm2)。

2.目標：計算單件零件長度在99mm至101mm之間的概率，以及長度超出±1.5mm范圍的概率。

3.分析步驟：

(1)確定分布參數(shù)：均值μ=100mm，標準差σ=√0.8mm≈0.894mm。

(2)計算P(99mm≤X≤101mm)：

-轉(zhuǎn)換為Z分數(shù)：Z?=(99-100)/0.894≈-1.12，Z?=(101-100)/0.894≈1.12。

-查標準正態(tài)分布表或使用軟件：P(Z≤1.12)-P(Z≤-1.12)≈0.8686-0.1314=0.7372。

-結(jié)論：單件零件長度在99mm至101mm之間的概率約為73.72%。

(3)計算P(|X-100|>1.5mm)=P(X<98.5或X>101.5)：

-轉(zhuǎn)換為Z分數(shù)：Z?=(98.5-100)/0.894≈-1.69，Z?=(101.5-100)/0.894≈1.69。

-查表或使用軟件：P(Z<-1.69)+P(Z>1.69)≈0.0455+0.0455=0.0910。

-結(jié)論：單件零件長度超出±1.5mm范圍的概率約為9.10%。

（二）案例二：考試成績分析

1.背景：某次標準化考試，已知考生成績服從正態(tài)分布N(75分,12分2)，即均值為75分，標準差為√12≈3.46分。

2.目標：分析不同分數(shù)段考生的比例。

3.分析步驟：

(1)計算特定分數(shù)的Z分數(shù)：

-例如，分數(shù)80分的Z分數(shù)：Z=(80-75)/3.46≈1.45。

(2)計算通過率（成績≥60分）：

-轉(zhuǎn)換Z分數(shù)：Z=(60-75)/3.46≈-3.41。

-查表或使用軟件：P(Z≥-3.41)=1-P(Z≤-3.41)≈1-0.0003=0.9997。

-結(jié)論：成績在60分以上的考生比例約為99.97%。

(3)計算優(yōu)秀率（成績≥90分）：

-轉(zhuǎn)換Z分數(shù)：Z=(90-75)/3.46≈2.90。

-查表或使用軟件：P(Z≥2.90)=1-P(Z≤2.90)≈1-0.0019=0.9981。

-結(jié)論：成績在90分以上的考生比例約為99.