2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義及高頻考點(diǎn)歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第09講二次函數(shù)與冪函數(shù)（精講）①冪函數(shù)的定義與圖像②冪函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用③二次函數(shù)單調(diào)性問題④二次函數(shù)最值與值域問題⑤二次函數(shù)根的分布與韋達(dá)定理一、必備知識(shí)整合一、必備知識(shí)整合一、冪函數(shù)的定義一般地，(為有理數(shù))的函數(shù)，即以\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"底數(shù)為\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"自變量，冪為\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"因變量，\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù).二、冪函數(shù)的特征：同時(shí)滿足一下三個(gè)條件才是冪函數(shù)①的系數(shù)為1； ②的底數(shù)是自變量； ③指數(shù)為常數(shù).(3)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)三、常見的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)：函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減公共點(diǎn)四、二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，二次項(xiàng)系數(shù)a的正負(fù)決定圖象的開口方向，對(duì)稱軸方程為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為.1.冪函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象的畫法如下：①當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫出；②當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫出；③當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫出．2．實(shí)系數(shù)一元二次方程的實(shí)根符號(hào)與系數(shù)之間的關(guān)系（1）方程有兩個(gè)不等正根（2）方程有兩個(gè)不等負(fù)根（3）方程有一正根和一負(fù)根，設(shè)兩根為二、考點(diǎn)分類精講二、考點(diǎn)分類精講【題型一冪函數(shù)的定義與圖像】若冪函數(shù)y＝xα(α∈Z)是偶函數(shù)，則α必為偶數(shù)．當(dāng)α是分?jǐn)?shù)時(shí)，一般將其先化為根式，再判斷．【典例1】（單選題）（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則＝（）A． B．2 C．4 D．【典例2】（單選題）（2024·四川南充·二模）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（

）A． B． C． D．一、單選題1．（23-24高一上·廣東廣州·期中）下圖給出個(gè)冪函數(shù)的圖象，則圖象與函數(shù)大致對(duì)應(yīng)的是（

）

A．①，②，③，④B．①，②，③，④C．①，②，③，④D．①，②，④，④2．（23-24高一上·廣東深圳·期中）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則該冪函數(shù)在第一象限的大致圖象是（

）A． B． C． D．3．（22-23高一·全國(guó)·課堂例題）冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象依次是如圖中的曲線（

）A． B．C． D．二、填空題4．（23-24高三上·上海普陀·期中）若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則此冪函數(shù)的表達(dá)式為.5．（23-24高三上·新疆克孜勒蘇·期中）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的值等于.6．（23-24高三上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則.7．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且的圖像恒過定點(diǎn)P，且P在冪函數(shù)的圖像上，則．8．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知冪函數(shù)的圖像與兩條坐標(biāo)軸都沒有交點(diǎn)，且不經(jīng)過第三象限，則（寫出一個(gè)滿足條件的函數(shù)即可）.【題型二冪函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用】(1)緊扣冪函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)，特別注意它的單調(diào)性在不等式中的作用，這里注意為奇數(shù)時(shí)，為奇函數(shù)，為偶數(shù)時(shí)，為偶函數(shù).(2)若冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則α＞0；若在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則α＜0．(3)在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較．【典例1】（23-24高一上·安徽阜陽·期中）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.一、單選題1．（2024·山東日照·二模）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024·廣西·二模）下列函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．二、多選題3．（23-24高三上·河北石家莊·期中）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．三、填空題4．（23-24高三上·上海靜安·期中）函數(shù)的定義域?yàn)?5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知.若冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上遞減，則.6．（23-24高三上·廣東佛山·階段練習(xí)）當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，則．7．（23-24高三上·遼寧大連·期中）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且，則a的取值范圍是．8．（22-23高一下·江蘇南京·階段練習(xí)）請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件①和②的冪函數(shù)，條件：①是偶函數(shù)；②為上的減函數(shù)．則．9．（22-23高三下·上?！るA段練習(xí)）已知函數(shù)，則關(guān)于的表達(dá)式的解集為.【題型三二次函數(shù)單調(diào)性問題】(1)對(duì)于二次函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是開口方向與對(duì)稱軸的位置，若開口方向或?qū)ΨQ軸的位置不確定，則需要分類討論求解．(2)利用二次函數(shù)的單調(diào)性比較大小，一定要將待比較的兩數(shù)通過二次函數(shù)的對(duì)稱性轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上比較．【典例1】（單選題）（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．一、單選題1．（2024·山東·二模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）．A． B．C． D．2．（23-24高三上·山東濟(jì)寧·期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．3．（2024·廣東揭陽·二模）已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題5．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）下列是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間的是（）A． B．C． D．6．（23-24高一上·福建莆田·期中）函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍可以是（

）A． B．C． D．三、填空題7．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）命題：存在，使得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，若的否定為真命題，則的取值范圍是.8．（23-24高三下·青海西寧·開學(xué)考試）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為．【題型四二次函數(shù)最值與值域問題】利用動(dòng)軸定區(qū)間和定軸動(dòng)區(qū)間思路分類討論(1)類型：①對(duì)稱軸、區(qū)間都是給定的；②對(duì)稱軸動(dòng)、區(qū)間固定；③對(duì)稱軸定、區(qū)間變動(dòng)．(2)解決這類問題的思路：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，“三點(diǎn)”是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，“一軸”指的是對(duì)稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想解決問題．【典例1】（單選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值或最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．一、單選題1．（23-24高一上·北京·期中）已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值6，最小值5.則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·河南·期中）若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的值可能為（

）A．1 B．2 C．4 D．53．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)的最小值為0，若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．9 B．8 C．6 D．44．（23-24高一上·全國(guó)·期末）如果函數(shù)且在區(qū)間上的最大值是，則的值為（

）A．3 B． C． D．3或二、填空題5．（23-24高一下·山東濱州·開學(xué)考試）已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，則的值為6．（23-24高三下·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M，當(dāng)實(shí)數(shù)a，b變化時(shí)，M最小值為．三、解答題7．（23-24高一上·江蘇無錫·期末）已知函數(shù)，.(1)若在區(qū)間上最大值為2，求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集.8．（23-24高一上·北京·期中）函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)當(dāng)時(shí)，f（x）的最小值為0，求a的值．【題型五二次函數(shù)根的分布與韋達(dá)定理】【典例1】（單選題）（23-24高一上·山東淄博·階段練習(xí)）已知方程有兩個(gè)不等正實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A．或 B．C． D．或一、填空題1．（23-24高一上·重慶·期末）關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)根小于，另一個(gè)根大于1，則a的取值范圍是.2．（23-24高一上·湖北·階段練習(xí)）命題“時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．3．（23-24高一上