四川省廣元市川師大萬達中學(xué)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考（8月）數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.設(shè)a，，且，則（）A. B. C. D.3.已知函數(shù)，則“為冪函數(shù)”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過定點，則（）A B. C. D.35.設(shè)，若恒成立，則k的最小值為（）A.9 B.8 C.－1 D.－26.若，，則（）A.3 B.6 C.9 D.107.如圖，已知二次函數(shù)的圖象頂點在第一象限，且經(jīng)過、兩個點.則下列說法正確的是：①；②；③；④.（）A.①③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④8.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)定義域均為，記，已知和都是偶函數(shù)，且，則的值為（）A. B. C. D.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的四個選項中，有若干個選項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)是（）A.與 B.與C.與 D.與10.若，，則稱集合為幸福集合．對集合的所有非空子集，下列敘述正確的是（）A.幸福集合個數(shù)為8 B.含的幸福集合個數(shù)為4C.不含1的幸福集合個數(shù)為4 D.元素個數(shù)為3的幸福集合有2個11.已知正數(shù)、、滿足，則下列選項正確的是（

）A. B.C. D.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.______．13.已知A為拋物線（）上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則C的焦點坐標(biāo)為______.14.已知函數(shù)，若恒成立，其中，則取值范圍是__________．四、解答題（本題共5小題，共77分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知函數(shù)為偶函數(shù)．（1）求的值；（2）若函數(shù)，且恒成立，求的取值范圍．16.已知中，分別為內(nèi)角的對邊，且，（1）求角的大??；（2）設(shè)點為上一點，是的角平分線，且，求的長度．17.如圖，已知四棱錐中，頂點在底面上的射影落在線段上（不含端點），，，，.（1）求證：平面；（2）若二面角的大小為，直線與平面所成角為，求的值.18.已知函數(shù)有兩個不同的零點.（1）證明：；（2）當(dāng)時，求最大值；19.已知有兩個盒子，各裝有1個黑球、1個黃球和1個紅球，現(xiàn)從兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子，重復(fù)進行次這樣的操作后，記盒子中紅球的個數(shù)為，恰有1個紅球的概率為，恰有2個紅球的概率為．（1）證明是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）求的數(shù)學(xué)期望．四川省廣元市川師大萬達中學(xué)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考（8月）數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解分式不等式、一元一次不等式求集合，再由集合的交集運算求集合.【詳解】不等式，所以，又，所以故選：D2.設(shè)a，，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用不等式性質(zhì)判斷ABC，利用基本不等式判斷D.【詳解】對于A，因為，所以，故A錯誤；對于B，因為，所以，所以，又，所以，即，故B錯誤；對于C，因為，所以，，所以，故C錯誤；對于D，因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，又，所以，故D正確.故選：D.3.已知函數(shù)，則“為冪函數(shù)”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及充分必要條件的定義求解判斷即可.【詳解】由函數(shù)為冪函數(shù)，得，解得或，所以“為冪函數(shù)”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.已知函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過定點，則（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定定點坐標(biāo)，即可得.【詳解】令，得，此時，所以定點P的坐標(biāo)為，即，，所以.故選：C5.設(shè)，若恒成立，則k的最小值為（）A.9 B.8 C.－1 D.－2【答案】C【解析】【分析】用“1”代換及基本不等式求得的最小值為9，解不等式，求出范圍得最值.【詳解】因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，解得，所以的最小值為.故選：C.6.若，，則（）A.3 B.6 C.9 D.10【答案】C【解析】【分析】由換底公式可得與互為倒數(shù)，則可以換元解一元二次方程得到，再代入第二個方程進一步求解即可.【詳解】設(shè)，由換底公式可得，所以，解得或，由于題干中a、b地位等價，不妨設(shè)，則，代入可得，由于a在對數(shù)的底數(shù)上，所以且，由單調(diào)可得，解得，則，故選：C.7.如圖，已知二次函數(shù)的圖象頂點在第一象限，且經(jīng)過、兩個點.則下列說法正確的是：①；②；③；④.（）A.①③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④【答案】D【解析】【分析】由題易得，，，據(jù)此可判斷①；又函數(shù)過，可得，結(jié)合，，可得的范圍判斷②；又，結(jié)合，可得即可判斷③；由題知即可判斷④.【詳解】根據(jù)題意，，因為二次函數(shù)過點，所以，又頂點在第一象限，所以對稱軸，則，即，故①正確；二次函數(shù)圖像過，所以，則，又，，所以，則，故②正確；由，所以，又，所以，故③正確；，故④正確.故選：D.8.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，已知和都是偶函數(shù)，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由是偶函數(shù)，得關(guān)于點成中心對稱.再由函數(shù)是偶函數(shù)，得是函數(shù)的一個周期，進而得所求值.【詳解】由是偶函數(shù)，得，再對等式兩邊求導(dǎo)得.因，所以，即——①.故函數(shù)關(guān)于點成中心對稱，且定義域為，所以，.又函數(shù)是偶函數(shù)，得，即——②.故函數(shù)關(guān)于成軸對稱，所以.再由①②得，所以，故，所以是函數(shù)的一個周期，且.所以，所以.故選：B二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的四個選項中，有若干個選項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)的是（）A.與 B.與C.與 D.與【答案】AD【解析】【分析】分別求出函數(shù)的定義域，化簡其對應(yīng)關(guān)系，判斷其定義域和對應(yīng)關(guān)系是否相同即可.【詳解】對于A，的定義域為R，的定義域為R，定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，是同一個函數(shù)，故A正確；對于B，的定義域為R，的定義域為，定義域不相同，故不是同一函數(shù)，故B錯誤；對于C，的定義域為R，的定義域為，定義域不相同，故不是同一函數(shù)，故C錯誤；對于D，的定義域為R，的定義域為R，定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，是同一個函數(shù)，故D正確.故選：AD.10.若，，則稱集合為幸福集合．對集合的所有非空子集，下列敘述正確的是（）A.幸福集合個數(shù)為8 B.含的幸福集合個數(shù)為4C.不含1的幸福集合個數(shù)為4 D.元素個數(shù)為3的幸福集合有2個【答案】BD【解析】【分析】求出集合所有非空子集中“幸福關(guān)系”個數(shù)逐項判斷可得答案.【詳解】具有“幸福關(guān)系”的元素組有：1；，2；三組．含一組的幸福集合有，，，共3個；含兩組的幸福集合有，，，共3個；含三組的幸福集合有，共1個，所以的非空子集中幸福集合的個數(shù)為，故A錯誤；其中含的幸福集合個數(shù)為4，不含1的幸福集合個數(shù)為3，故B正確，C錯誤；元素個數(shù)為3的幸福集合有2個，故D正確.故選：BD.11.已知正數(shù)、、滿足，則下列選項正確的是（

）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】把指數(shù)式轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的對數(shù)式后，運用對數(shù)運算法則及換底公式及基本不等式即可.【詳解】令，可得，，，，故A正確；，故B正確；，，所以，得，又，所以，得，所以，，故C不正確；，故D正確；故選：ABD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)運算性質(zhì)計算【詳解】，故答案為：13.已知A為拋物線（）上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則C的焦點坐標(biāo)為______.【答案】【解析】【分析】利用拋物線的定義建立方程即可得到答案.【詳解】設(shè)拋物線的焦點為，由拋物線的定義知，又，，所以拋物線的焦點坐標(biāo)為.故答案為：.14.已知函數(shù)，若恒成立，其中，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖像特征，然后根據(jù)知道的圖像是圖像左移個單位長度，要使恒成立，通過分析圖像找到相切時的情況，從而確定的取值范圍.【詳解】易知函數(shù)圖象如圖所示，因為，所以函數(shù)圖象即為函數(shù)圖象左移個單位長度，當(dāng)曲線與直線相切時，令，即，則，解得：，故，恒成立時，由圖像可知，.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知函數(shù)為偶函數(shù)．（1）求的值；（2）若函數(shù)，且恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用偶函數(shù)的定義可求答案；（2）利用定義法判斷單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出在的最小值即得答案.【小問1詳解】由是偶函數(shù)得，即，解得．【小問2詳解】由（1）得，則，因為恒成立，即．當(dāng)時，，因為，所以，則，則，因此，即，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，則原不等式等價于，解得，故的取值范圍是．16.已知中，分別為內(nèi)角的對邊，且，（1）求角的大小；（2）設(shè)點為上一點，是的角平分線，且，求的長度．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）由正弦定理進行角化邊，然后利用余弦定理即可得到答案（2）利用三角形的面積關(guān)系解出即可小問1詳解】在中，由正弦定理及得：，化簡可得：，由余弦定理得，又，所以【小問2詳解】是的角平分線，則，由可得因為，，即有，故.17.如圖，已知四棱錐中，頂點在底面上的射影落在線段上（不含端點），，，，.（1）求證：平面；（2）若二面角的大小為，直線與平面所成角為，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系可得，即可結(jié)合線面垂直的判定求解，（2）由二面角的平面角和線面角知識結(jié)合銳角三角函數(shù)即可求解.【小問1詳解】由于平面平面故因為，所以底面為直角梯形，故，過，且與相交于，則，又，故,所以,由于平面，，所以平面，【小問2詳解】由題意可知，過作的垂線，垂足為,連接,由于平面平面故，平面，故平面，平面，故，故為二面角的平面角，所以從而.18.已知函數(shù)有兩個不同的零點.（1）證明：；（2）當(dāng)時，求的最大值；【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解最值，根據(jù)即可求解，（2）構(gòu)造和，求導(dǎo)，得函數(shù)單調(diào)性，求解最值得解.【小問1詳解】，由，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要使有2個零點，只需，得證；【小問2詳解】由已知，，設(shè)，由，則，將代入，則，結(jié)合，所以，設(shè)，則，設(shè)，則，，由，則，即在上單調(diào)遞增，，所以，則在上單調(diào)遞增，則，所以的最大值；19.已知有兩個盒子，各裝有1個黑球、1個黃球和1個紅球，現(xiàn)從兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子，重復(fù)進行次這樣的操作后，記盒子中紅球的個數(shù)為，恰有1個紅球的概率為，恰有2個紅球