不等式與不等關(guān)系單選題1．(2025·全國(guó)二卷)不等式的解集是（

）A． B．C． D．2.(2025·北京)已知，則（）A. B.C. D.3．(2025·上海)設(shè)．下列各項(xiàng)中，能推出的一項(xiàng)是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且4．(2025·全國(guó)一卷)若實(shí)數(shù)x，y，z滿足，則x，y，z的大小關(guān)系不可能是（

）A． B．C． D．填空題5．(2025·上海)不等式的解集為．6．(2025·上海)設(shè)，則的最小值為．7．(2025·天津)若，對(duì)，均有恒成立，則的最小值為解答題8．(2025·全國(guó)一卷)設(shè)函數(shù)．(1)求在的最大值；(2)給定，設(shè)a為實(shí)數(shù)，證明：存在，使得；(3)若存在使得對(duì)任意x，都有，求b的最小值．不等式與不等關(guān)系單選題1．(2025·全國(guó)二卷)不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】移項(xiàng)后轉(zhuǎn)化為求一元二次不等式的解即可.【詳解】即為即，故，故解集為，故選：C.2.(2025·北京)已知，則（）A. B.C. D.【答案】C【分析】由基本不等式結(jié)合特例即可判斷.【詳解】對(duì)于A,當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于BD，取，此時(shí)，，故BD錯(cuò)誤；對(duì)于C，由基本不等式可得，故C正確.故選：C.3．(2025·上海)設(shè)．下列各項(xiàng)中，能推出的一項(xiàng)是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】D【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分類討論與1的關(guān)系即可判定選項(xiàng).【詳解】∵，∴，當(dāng)時(shí)，定義域上嚴(yán)格單調(diào)遞減，此時(shí)若，則一定有成立，故D正確，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，定義域上嚴(yán)格單調(diào)遞增，要滿足，需，即A、B錯(cuò)誤.故選：D4．(2025·全國(guó)一卷)若實(shí)數(shù)x，y，z滿足，則x，y，z的大小關(guān)系不可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】法一：設(shè)，對(duì)討論賦值求出，即可得出大小關(guān)系，利用排除法求出；法二：根據(jù)數(shù)形結(jié)合解出.【詳解】法一：設(shè)，所以令，則，此時(shí)，A有可能；令，則，此時(shí)，C有可能；令，則，此時(shí)，D有可能；故選：B．法二：設(shè)，所以，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，易知各方程只有唯一的根，作出函數(shù)的圖象，以上方程的根分別是函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)縱坐標(biāo)，如圖所示：易知，隨著的變化可能出現(xiàn)：，，，，故選：B．填空題5．(2025·上海)不等式的解集為．【答案】【分析】轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，解出即可.【詳解】原不等式轉(zhuǎn)化為，解得，則其解集為.故答案為：.6．(2025·上海)設(shè)，則的最小值為．【答案】4【分析】靈活利用“1”將展開(kāi)利用基本不等式計(jì)算即可.【詳解】易知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值.故答案為：47．(2025·天津)若，對(duì)，均有恒成立，則的最小值為【答案】【分析】先設(shè)，根據(jù)不等式的形式，為了消可以取，得到，驗(yàn)證時(shí)，是否可以取到，進(jìn)而判斷該最小值是否可取即可得到答案.【詳解】設(shè)，原題轉(zhuǎn)化為求的最小值，原不等式可化為對(duì)任意的，，不妨代入，得，得，當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，即，觀察可知，當(dāng)時(shí)，對(duì)一定成立，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，此時(shí)，，說(shuō)明時(shí)，均可取到，滿足題意，故的最小值為.故答案為：解答題8．(2025·全國(guó)一卷)設(shè)函數(shù)．(1)求在的最大值；(2)給定，設(shè)a為實(shí)數(shù)，證明：存在，使得；(3)若存在使得對(duì)任意x，都有，求b的最小值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合三角變換得導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)，討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)后得單調(diào)性，從而可求最大值；或者利用均值不等式可求最大值.（2）利用反證法可證三角不等式有解；（3）先考慮時(shí)的范圍，對(duì)于時(shí)，可利用（2）中的結(jié)論結(jié)合特值法求得，從而可得的最小值；或者先根據(jù)函數(shù)解析特征得，再結(jié)合特值法可得，結(jié)合（1）的結(jié)果可得的最小值.【詳解】（1）法1：，因?yàn)椋?，故，?dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即，故在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故在上的最大值為.法2：我們有.所以：.這得到，同時(shí)又有，故在上的最大值為，在上的最大值也是.（2）法1：由余弦函數(shù)的性質(zhì)得的解為，，若任意與交集為空，則且，此時(shí)無(wú)解，矛盾，故無(wú)解；故存在，使得，法2：由余弦函數(shù)的性質(zhì)知的解為，若每個(gè)與交集都為空，則對(duì)每個(gè)，必有或之一成立.此即或，但長(zhǎng)度為的閉區(qū)間上必有一整數(shù)，該整數(shù)不滿足條件，矛盾.故存在，使得成立.（3）法1：記，因?yàn)?，故為周期函?shù)且周期為,故只需討論的情況.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，令，則，而，，故，當(dāng)，在（2）中取，則存在，使得，取，則，取即，故，故，綜上，可取，使得等號(hào)成立.綜上，.法2：設(shè).①一方面，若存在，使得對(duì)任意恒成立，則對(duì)這樣的，同樣有.所以對(duì)任意恒成立，這直接得到.設(shè)，則根據(jù)恒成立，有所以均不超過(guò)，再結(jié)合，就得到均不超過(guò).假設(shè)，則，故.但這是