無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)

（3）多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

雖然對單自由度系統(tǒng)的分析能揭示振動(dòng)系統(tǒng)的很多基本特性，但是無人機(jī)系統(tǒng)可不是簡單的單自由度系統(tǒng)，而是一種復(fù)雜的機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)，其質(zhì)量與剛度連續(xù)分布，理論上具有無限多個(gè)自由度，嚴(yán)格來講需要用連續(xù)模型才能加以描述，但是連續(xù)體的振動(dòng)分析涉及偏微分方程理論，求解十分困難。

因此工程實(shí)踐中包括無人機(jī)系統(tǒng)在內(nèi)的許多連續(xù)彈性體，通常都是采用適當(dāng)?shù)姆椒▽⑵浜喕癁橛邢薅鄠€(gè)自由度的模型來分析計(jì)算。二自由度系統(tǒng)振動(dòng)的定義二自由度系統(tǒng)是最簡單的多自由度系統(tǒng)，采用兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)能完全確定系統(tǒng)在空間的幾何位置，任意初始條件下的自由振動(dòng)是這兩個(gè)不同頻率的主振動(dòng)的疊加，疊加后的振動(dòng)不一定是簡諧振動(dòng)。當(dāng)外界激擾為簡諧激擾時(shí)，二自由度系統(tǒng)對其響應(yīng)是與激擾頻率相同的簡諧振動(dòng)。當(dāng)激擾頻率接近系統(tǒng)的任意一固有頻率時(shí)，就會(huì)發(fā)生共振。共振時(shí)的振型就是與固有頻率相對應(yīng)的主振型。二自由度系統(tǒng)振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)用牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，可得有阻尼的雙質(zhì)量彈簧系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程組式中：[M]為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，[C]為系統(tǒng)的阻尼矩陣，[K]為系統(tǒng)的剛度矩陣，{x}為系統(tǒng)的位移列陣，{F(t)}為系統(tǒng)的激振力列陣。無阻尼二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)無阻尼二自由度系統(tǒng)有兩個(gè)固有頻率，運(yùn)動(dòng)微分方程：

設(shè)其一組解為：無阻尼二自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)無阻尼二自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為

方程式的解由齊次方程的通解與非齊次方程的特解疊加而成。系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)頻率與激振頻率ω相同，特解可取為

x1=B1sinωt

，x2=B2sinωt有阻尼二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)有阻尼二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程

該方程的解有以下形式當(dāng)阻尼很大時(shí)，特征方程的根全為負(fù)的實(shí)數(shù)根，其解不是周期性振動(dòng)，很快就衰減為零。有阻尼二自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)有阻尼二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程

該方程的全解應(yīng)包括兩部分，即自由衰減振動(dòng)部分和強(qiáng)迫振動(dòng)部分。系統(tǒng)存在阻尼，使響應(yīng)和激振之間落后一相角差，多自由度系統(tǒng)振動(dòng)簡介多自由度（n>2）系統(tǒng)與二自由度系統(tǒng)并沒有本質(zhì)的區(qū)別，只是由于自由度數(shù)的增加，在分析和計(jì)算時(shí)需要更有效的處理方法。

對于多自由度系統(tǒng)耦合的二階常微分方程組，可以采用直接求其解析解或數(shù)值解方法進(jìn)行研究，也可采用另一種更便于分析的解法，那就是振型疊加法（模態(tài)分析法）。這種方法是通過坐標(biāo)變換，使一組互相耦合的二階常微分方程組變成一組互相獨(dú)立的二階常微分方程組，其中每個(gè)方程就如單自由度系統(tǒng)那樣求解，這不僅在系統(tǒng)受有更復(fù)雜載荷情況下，可以簡化運(yùn)動(dòng)分析的過程，而且各階固有頻率對整個(gè)振動(dòng)的參與情況也一目了然。多自由度系統(tǒng)作用力方程

在多自由度系統(tǒng)中，引入多個(gè)自由度就意味著系統(tǒng)的固有頻率不再是一個(gè)單一值，每一個(gè)自由度都對應(yīng)著一有阻尼的多自由度系統(tǒng)用矩陣符號(hào)表示的運(yùn)動(dòng)微分方程

有阻尼和無阻尼的自由振動(dòng)微分方程分別為位移方程與柔度系數(shù)振動(dòng)系統(tǒng)還可以通過受力后產(chǎn)生的變形來建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，稱為位移方程。柔度的概念是指在單位力作用下，彈簧常數(shù)為k的彈簧所產(chǎn)生位移δ稱為彈簧的柔度，[δ]表示柔度矩陣。線性系統(tǒng)的柔度矩陣總是對稱的，即。

結(jié)構(gòu)動(dòng)力系統(tǒng)位移等于柔度矩陣與作用力的乘積，所施加的作用力和慣性作用力均包括在右邊的括號(hào)內(nèi)。對大多數(shù)振動(dòng)系統(tǒng)，運(yùn)用帶有剛度系數(shù)的作用力方程是比較容易分析的，但在有些情況下，用柔度系數(shù)的位移方程更為方便。拉格朗日方程的應(yīng)用

多自由度系統(tǒng)動(dòng)能和勢能：

對動(dòng)能和勢能分別進(jìn)行全微分，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，運(yùn)用拉格朗日方程：式中是除有勢力以外的所有外力，其中包括阻尼力多自由度系統(tǒng)固有頻率和主振動(dòng)無阻尼n自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程的解為

得到一組的n元線性齊次方程組，其非零解的條件為系數(shù)行列式必須等于零。

可解得的n個(gè)大于零的正實(shí)根，也就是多自由度系統(tǒng)各階固有頻率的平方值，在大多數(shù)情況下，這n個(gè)頻率值是不相等的。

如果多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程是通過柔度系統(tǒng)來建立的，系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程具有下列形式多自由度系統(tǒng)主振型的正交性一個(gè)n自由度系統(tǒng)有n個(gè)固有頻率和n組主振型

不相等的兩個(gè)固有頻率對應(yīng)的兩個(gè)主振型之間，既存在著對質(zhì)量矩陣[M]的正交性，又存在著對剛度矩陣[K]的正交性，統(tǒng)稱主振型的正交性。

（1）對應(yīng)于兩個(gè)或幾個(gè)彼此相等固有頻率的特征矢量與相應(yīng)于非重根的特征矢量是相互正交的。

（2）若系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣[M]和剛度矩陣[K]是對稱的，則這些與重根相對應(yīng)的特征矢量間也是相互正交的。主質(zhì)量矩陣和主剛度矩陣將相互間存在正交性的各階主振型列陣依次排成各列，構(gòu)成一個(gè)n×n階的振型矩陣，得到式中是一個(gè)對角陣，稱為主質(zhì)量矩陣。同理可得到式中也是一個(gè)對角陣，稱為主剛度矩陣。由于主振型列陣只表示系統(tǒng)作主振動(dòng)時(shí)各坐標(biāo)間幅值的相對大小，只要選定該列陣中的任一個(gè)元素值，其余各元素值就相應(yīng)地確定了正則振型矩陣和正則剛度矩陣如果適當(dāng)?shù)剡x取元素，使之滿足。則給計(jì)算帶來很大的方便，這組特定的主振型稱為正則振型。

正則振型可以用任意主振型求出，將所有n個(gè)正則振型列陣依次排列在一起，就構(gòu)成了一個(gè)n×n階的正則振型矩陣。

正則剛度矩陣對角線元素分別是各階固有頻率平方值，即主坐標(biāo)與正則坐標(biāo)如果事先已求出系統(tǒng)的固有頻率和主振型，利用振型矩陣可將系統(tǒng)原有坐標(biāo){x}變換成一組新的坐標(biāo)，稱為主坐標(biāo)。

由于正則振型也是一組（特定的）主振型，因此也可以用正則振型矩陣，將系統(tǒng)原有坐標(biāo)變換成一組新的坐標(biāo)，稱為正則坐標(biāo)。采用正則坐標(biāo)來描述系統(tǒng)的自由振動(dòng)，可以得到最簡單的運(yùn)動(dòng)方程的形式。

多自由度系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)多自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)微分方程是n個(gè)二階常微分方程組成的方程組。給定了2n個(gè)初始條件，就完全確定了方程的一組特解，這組特解就是系統(tǒng)在此初始條件下的響應(yīng)。對于正定系統(tǒng)，可求出各正則坐標(biāo)的一般解為利用初始條件求出待定常數(shù)后，可求得正則坐標(biāo)的初始值為

兩邊求導(dǎo)數(shù)，得到系統(tǒng)響應(yīng)為

多自由度系統(tǒng)的阻尼引進(jìn)正則坐標(biāo)，兩邊乘以，可得

式中是正則坐標(biāo)中的阻尼矩陣（1）比例阻尼

式中a、b均為常數(shù)，稱這種阻尼為比例阻尼。

（2）模態(tài)阻尼：以近似阻尼代替以簡化計(jì)算。

這種阻尼稱為模態(tài)阻尼。無阻尼多自由度系統(tǒng)對簡諧激振的響應(yīng)當(dāng)激振力是同頻率、同相位的簡諧力時(shí)，無阻尼多自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)的作用力方程變換為主坐標(biāo)寫成

按正則坐標(biāo)，可寫為n個(gè)獨(dú)立方程

上式具有與單自由度相同的形式，因而可以用單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)果求出每個(gè)正則坐標(biāo)的振幅。進(jìn)行坐標(biāo)變換，然后求出原坐標(biāo)的響應(yīng)。這種求系統(tǒng)響應(yīng)的方法稱為振型疊加法。無阻尼多自由度系統(tǒng)對一般激振響應(yīng)激振力為隨時(shí)間非周期性變化時(shí)，無阻尼多自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程用正則坐標(biāo)表示

對應(yīng)于正則坐標(biāo)的非周期激振力列陣：上式表示n個(gè)獨(dú)立的方程，具有與單自由度相同的形式，因此可以采用杜哈梅積分式，對于第i個(gè)正則坐標(biāo)的響應(yīng)，重復(fù)使用該式，即可算出正則坐標(biāo)中的位移響應(yīng)。然后再變換為原坐標(biāo)。有阻尼多自由度系統(tǒng)對簡諧激振的響應(yīng)在各階振型阻尼系數(shù)值較小的情況下，采用正則坐標(biāo)代替原有坐標(biāo)，變換成互不耦合的正則坐標(biāo)的強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程

利用單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)的結(jié)果，得到每個(gè)正則坐標(biāo)的響應(yīng)

然后通過坐標(biāo)變換，將正則坐標(biāo)的位移向量變換為原坐標(biāo)的位移向量，從而求得對原坐標(biāo)的位移響應(yīng)。有阻尼多自由度系統(tǒng)對一般激振的響應(yīng)

當(dāng)多自由度有阻尼系統(tǒng)各坐標(biāo)上作用有與一般周期函數(shù)成比例的激振時(shí)，振動(dòng)方程變換成正則坐標(biāo)后，得出n個(gè)獨(dú)立方程

按正則坐標(biāo)，第i階的有阻尼穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為

當(dāng)激振力是非周期函數(shù)時(shí)，可用杜哈梅積分求出正則坐標(biāo)下的響應(yīng)，然后再通過坐標(biāo)變換，求出原坐標(biāo)下的響應(yīng)。固有頻率及振型計(jì)算：矩陣迭代法無阻尼多自由度系統(tǒng)：式中方陣[D]稱為動(dòng)力矩陣。矩陣迭代法：首先假定任意一個(gè)主振型向量，然后計(jì)算，若，則為主振型；若不等于，代替為主振型向量，迭代計(jì)算，直到滿足

的條件，迭代過程結(jié)束，

即為主