第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2025-2026學(xué)年山東省德州市夏津一中高二（上）9月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，若AE=xAB+yAD+zA.32

B.1

C.52

2.若平面α的法向量為u=(?1,2,4)，平面β的法向量為v=(m,?1,?2)，直線l的方向向量為t=(n,?2,?4)，則A.若α//β，則m=1 B.若l⊥α，則n=2

C.若n=?20，則l//α D.若m=?10，則α⊥β3.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，平面AA.2

B.1

C.224.在正方體ABCD?A1B1A.AD1⊥A1C B.AD1與BD所成角為π3

C.A5.直線mx+(3m?1)y+1=0必過(guò)定點(diǎn)(

)A.(3,1) B.(?3,1) C.(13,1)6.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1A.12 B.22 C.17.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0,?1)作直線l，若直線l與連接A(1,?2)，B(2,1)A.[?1,1] B.(?18.如圖，已知正方體A1A2A3A4?A5A6A7A8，空間中一點(diǎn)PA.3 B.6 C.7 D.8二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.如圖，在底面為正方形的四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AP=AB=1，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.異面直線PB與AC所成的角為60°

B.直線PD與平面PAC所成的角為30°

C.平面PBD與平面PAB的夾角為30°

D.點(diǎn)C到面PBD的距離為310.已知直線l過(guò)點(diǎn)(0,2)，(3,1)，則A.點(diǎn)C(2,?1)在直線l上

B.直線l的兩點(diǎn)式方程為y?12?1=x?30?3

C.直線l11.在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=2A.A1D⊥B1C

B.B1C⊥平面A1BD

C.AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.過(guò)點(diǎn)A(2,1)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為______．13.如圖，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面邊長(zhǎng)為2，直線CC1與平面AC14.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)M為棱AA1的中點(diǎn)，若N為底面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)(四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式．

(1)直線l的一個(gè)方向向量為a=(2,?3)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2)；

(2)過(guò)點(diǎn)(1,3)16.(本小題15分)

在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱AA1的長(zhǎng)為2，且∠A117.(本小題15分)

如圖所示，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，若F是DD1的中點(diǎn)，

(1)求異面直線AD與BF18.(本小題17分)

四棱錐P?ABCD底面為菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD=60°，PA=AB=2，點(diǎn)E在PB上，PE：EB=1：2．

(1)證明：PC⊥DB；

(2)求二面角A?DE?B的余弦值．19.(本小題17分)

如圖，四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為長(zhǎng)方形，側(cè)面△SAD是等邊三角形，平面SAD⊥平面ABCD

(1)若E為棱SB的中點(diǎn)，P為棱AD的中點(diǎn)，求證：PE//平面SCD

(2)AB=1，異面直線SB，AD夾角的余弦為55．

①求棱AD的長(zhǎng)度；

②在棱SA上是否存在點(diǎn)M，使得平面PBM與平面SAD的夾角的余弦值為30

參考答案1.A

2.D

3.A

4.D

5.B

6.D

7.A

8.A

9.ABD

10.BD

11.AC

12.x?2y=0或x?y?1=0

13.4

14.215.(1)由直線l的方向向量為a=(2,?3)，可得直線的斜率為?32，

又因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2)，

故所求的直線方程為y?2=?32(x?1)，即3x+2y?7=0．

(2)當(dāng)直線的截距不為0時(shí)，設(shè)所求直線方程為xa+ya=1，

代入點(diǎn)(1,3)，得1a+3a=1?a=4，

故所求的直線方程為16.(1)如圖，

連接BD1，BD，設(shè)BA=a，BC=b，DD1=c，

依題意，b?c=1×2×cos60°=1,a?b=0,a?c=1×2×cos120°=?1，

BD1=BD+DD1=BA+BC+DD1=a+b+c，

所以BD12=(a+b+c)17.解：(1)以點(diǎn)D1為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(1,0,1)，B(1,1,1)，F(xiàn)(0,0,12)，D(0,0,1)，B1(1,1,0)，

所以DA=(1,0,0)，F(xiàn)B=(1,1,12)，

所以cos?DA,FB?=DA?FB|DA|?|FB|=11×32=23，

所以異面直線AD與BF所成角的余弦值為23．

18.(1)證明：連接AC與BD交于點(diǎn)O，

∴在菱形ABCD中，AC⊥BD，

∵PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD，

∵PA，AC?平面PAC，PA∩AC=A，

∴BD⊥平面PAC，

∵PC?平面PAC，

∴PC⊥BD；

(2)取PC的中點(diǎn)G，連接OG，

∵O為AC中點(diǎn)，∴△PAC中，OG//PA，

∵PA⊥底面ABCD，∴OG⊥底面ABCD，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OG所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

∵PA=AB=AD=2，∠BAD=60°，

∴A(3,0,0),B(0,1,0),D(0,?1,0),P(3,0,2)，

設(shè)E(x,y,z)，∵PE：EB=1：2，

BE=23BP，即(x,y?1,z)=23(3,?1,2)，由此可求E(233,13,43)，

設(shè)平面ADE，平面BDE的法向量分別為m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z219.解：(1)證明：取SC的中點(diǎn)F，連接DF、EF，

因?yàn)镋、F分別為SB、SC的中點(diǎn)，所以，EF//BC且EF=12BC，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以BC//AD且BC=AD，

因?yàn)镻為棱AD的中點(diǎn)，則PD//BC且PD=12BC，

所以EF//PD且EF=PD，

所以四邊形PDFE為平行四邊形，

所以PE//FD，

又因?yàn)镕D?平面SCD，PE?平面SCD，

所以PE//平面SCD．

(2)①假設(shè)在棱SA上存在點(diǎn)M滿足題意，如圖，連接SP、MP、MB，

在等邊△SAD中，P為AD的中點(diǎn)，所以SP⊥AD，

又平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，SP?平面SAD，

所以SP⊥平面ABCD，則SP是四棱錐S?ABCD的高，

設(shè)AD=2m(m>0)，則SP=3m，

以點(diǎn)P為原點(diǎn)，PA、AB、PS的方向分別為x、y、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則P(0,0,0)、A(m,0,0)、B(m,m,0)、S(0,0,3m)，D(?m,0,0)，

SB=(m,m,?3m)，AD=(?2m,0,0)，

則|cos<SB,