立體幾何中的向量方法lAP１．直線的方向向量直線ｌ的向量式方程換句話說(shuō),直線上的非零向量叫做直線的一、方向向量與法向量22、平面的法向量

AlP平面α的向量式方程換句話說(shuō),與平面垂直的非零向量叫做平面的法向量3oxyzABCO1A1B1C1例1.如圖所示,正方體的棱長(zhǎng)為1直線OA的一個(gè)方向向量坐標(biāo)為_(kāi)__________平面OABC的一個(gè)法向量坐標(biāo)為_(kāi)__________平面AB1C的一個(gè)法向量坐標(biāo)為_(kāi)__________(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)4例256練習(xí)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1,E是PC的中點(diǎn)，求平面EDB的一個(gè)法向量.ABCDPE解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.XYZ設(shè)平面EDB的法向量為7

因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直、夾角、距離等位置關(guān)系.用向量方法解決幾何問(wèn)題8大家有疑問(wèn)的，可以詢問(wèn)和交流可以互相討論下，但要小聲點(diǎn)9二、立體幾何中的向量方法——平行關(guān)系10ml一.平行關(guān)系：11α12αβ13例1四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中點(diǎn)，DF:FB=CG:GP=1:2

.求證：AE//FG.ABCDPGXYZFEA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE//FG證：如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系.//AE與FG不共線幾何法呢？14例2四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，(1)求證：PA//平面EDB.ABCDPEXYZG解1立體幾何法15ABCDPEXYZG解2：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1(1)證明：連結(jié)AC,AC交BD于點(diǎn)G,連結(jié)EG16ABCDPEXYZ解3：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1(1)證明：設(shè)平面EDB的法向量為17ABCDPEXYZ解4：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1(1)證明：解得x＝－２,ｙ＝１18練習(xí)如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，點(diǎn)分別在對(duì)角線上，且求證：ABCEFDMN幾何法呢？19三、立體幾何中的向量方法——垂直關(guān)系20二、垂直關(guān)系：lm21lABC22αβ23例1四面體ABCD的六條棱長(zhǎng)相等,AB、CD的中點(diǎn)分別是M、N,求證MN⊥AB,MN⊥CD.證1幾何法24例1四面體ABCD的六條棱長(zhǎng)相等,AB、CD的中點(diǎn)分別是M、N,求證MN⊥AB,MN⊥CD.證2如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2.xyZxy25例1四面體ABCD的六條棱長(zhǎng)相等,AB、CD的中點(diǎn)分別是M、N,求證MN⊥AB,MN⊥CD.證3MN⊥AB,同理MN⊥CD.26練習(xí)棱長(zhǎng)為a的正方體中,E、F分別是棱AB,OA上的動(dòng)點(diǎn)，且AF=BE,求證：

O’C’B’A’OABCEFZxy解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AF=BE=b.27ABCDPEFXYZ證1：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DC=1.例228ABCDPEFXYZ證2：例229A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中點(diǎn)，求證：D1F練習(xí)正方體中，E、F分別平面ADE.

證明：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，為單位正交基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz，所以30A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中點(diǎn)，求證：D1F練習(xí)正方體中，E、F分別平面ADE.

證明2：31,E是AA1中點(diǎn)，例3正方體平面C1BD.

證明：E求證：平面EBD設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,建立如圖所示坐標(biāo)系平面C1BD的一個(gè)法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)設(shè)平面EBD的一個(gè)法向量是平面C1BD.

平面EBD32證明2：E,E是AA1中點(diǎn)，例3正方體平面C1BD.

求證：平面EBD33ABCDPXYZG練習(xí)：343.2.4立體幾何中的向量方法——夾角問(wèn)題35夾角問(wèn)題：lmlm36夾角問(wèn)題：ll37夾角問(wèn)題：38夾角問(wèn)題：39解1：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)則：

所以與所成角的余弦值為例140解3、補(bǔ)形：例1解2①補(bǔ)成長(zhǎng)方體②重一個(gè)同樣的三棱柱41

練習(xí)空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD，AB⊥BC，BC⊥CD，AB與CD成600角，求AD與BC所成的角大小.42例：

的棱長(zhǎng)為1.解1建立直角坐標(biāo)系.A1xD1B1ADBCC1yzEF例243例：的棱長(zhǎng)為1.解2

A1xD1B1ADBCC1yzEF例244例3如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEF45例3如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEFXYZ平面PBC的一個(gè)法向量為解1如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DC=1.平面PBD的一個(gè)法向量為G46ABCDPEFXYZ(3)解建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DC=1.4748例3如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEF解3設(shè)DC=1.49練習(xí)的棱長(zhǎng)為1.解1建立直角坐標(biāo)系.A1xD1B1ADBCC1yz平面PBD1的一個(gè)法向量為平面CBD1的一個(gè)法向量為50的棱長(zhǎng)為1.解2A1D1B1ADBCC1513.2.4立體幾何中的向量方法——距離問(wèn)題52距離問(wèn)題：(1)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則53距離問(wèn)題：(2)點(diǎn)P與直線l的距離為d,則54距離問(wèn)題：(3)點(diǎn)P與平面α的距離為d,則d55距離問(wèn)題：(4)平面α與β的距離為d,則mDCPA56

例1如圖1：一個(gè)結(jié)晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)

的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此的夾角都是60°，那么以這

個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對(duì)角線的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系？A1B1C1D1ABCD圖1解：如圖1，所以答:這個(gè)晶體的對(duì)角線AC1

的長(zhǎng)是棱長(zhǎng)的倍。57

例1如圖1：一個(gè)結(jié)晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)

的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此的夾角都是60°，那么以這

個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對(duì)角線的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系？A1B1C1D1ABCD圖1解2：如圖1，58練習(xí).(P107.2)如圖，60°的二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi),且都垂直AB,已知AB＝4,AC＝6，BD＝8，求CD的長(zhǎng).BACD解159練習(xí).(P107.2)如圖，60°的二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi),且都垂直AB,已知AB＝4,AC＝6，BD＝8，求CD的長(zhǎng).BACD解260例

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為1，E為D1C1的中點(diǎn)，求點(diǎn)E到直線A1B的距離.點(diǎn)E到直線A1B的距離為61例

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為1，E為D1C1的中點(diǎn)，求點(diǎn)E到直線A1B的距離.解262例

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為1，E為D1C1的中點(diǎn)，求B1到面A1BE的距離.63例

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為1，E為D1C1的中點(diǎn)，求B1到面A1BE的距離.等體積法解264例

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為1，E為D1C1的中點(diǎn)，求D1C到面A1BE的距離.解1:∵D1C∥面A1BE∴D1到面A1BE的距離即為D1C到面A1BE的距離.仿上例求得D1C到

面A1BE的距離為65例

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為1，E為D1C1的中點(diǎn)，求D1C到面A1BE的距離.等體積法解266例

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為1，求面A1DB與面D1CB1的距離.解1:∵面D1CB1∥面A1BD∴D1到面A1BD的距離即為面D1CB1到面A1BD的距離67例

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為1，求面A1DB與面D1CB1的距離.等體積法解268例

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為1，求面A1DB與面D1CB1的距離.解369例

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為1，E為D1C1的中點(diǎn)，求異面直線D1B與A1E的距離.70作業(yè)P1112P1125A1E71作業(yè)

1.在