訓(xùn)練22數(shù)列中的綜合問題一、單項選擇題1．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝2n－1，則a9等于()A．512B．511C．502D．503答案D解析因為a1＝1，an＋1－an＝2n－1，所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1－1)＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)－(n－1)＝2n－n，所以a9＝29－9＝503.2．定義[x]表示不超過x的最大整數(shù)，若數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n－1，則等式eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a1,5)))＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a2,5)))＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a3,5)))＋…＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a10,5)))等于()A．30B．29C．28D．27答案D解析eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a1,5)))＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a2,5)))＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a3,5)))＋…＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a10,5)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,5)))＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8,5)))＋…＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(29,5)))＝0＋(1×2)＋(2×2)＋(3×1)＋(4×2)＋(5×2)＝27.3．(2023·涼山模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))3＋1，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2024)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2024)))＋…＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2022,2024)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2023,2024)))的值為()A．2024B．2022C．2023D．2021答案C解析函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))3＋1，設(shè)m＋n＝1，則有m－eq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,2)))，所以f(m)＋f(n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,2)))3＋1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,2)))3＋1＝2，所以當(dāng)m＋n＝1時，f(m)＋f(n)＝2，令S＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2024)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2024)))＋…＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2022,2024)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2023,2024)))，所以2S＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2024)))＋f

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2023,2024)))))＋…＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2023,2024)))＋f

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2024)))))＝2×2023，故S＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2024)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2024)))＋…＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2022,2024)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2023,2024)))＝2023.4．(2023·黃山模擬)我們常把Fn＝＋1(n＝0,1,2…)叫作“費馬數(shù)”，設(shè)an＝log2(Fn－1)，n＝1,2，…，Sn表示數(shù)列{an}的前n項和，則使不等式eq\f(22,S1S2)＋eq\f(23,S2S3)＋…＋eq\f(2n＋1,SnSn＋1)<eq\f(7,15)成立的最大正整數(shù)n的值是()A．2B．3C．4D．5答案A解析an＝log2(Fn－1)＝log2(＋1－1)＝2n，Sn＝eq\f(21－2n,1－2)＝2n＋1－2，則eq\f(2n＋1,SnSn＋1)＝eq\f(2n＋1,2n＋1－22n＋2－2)＝eq\f(2n,22n－12n＋1－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1－1)))，所以eq\f(22,S1S2)＋eq\f(23,S2S3)＋…＋eq\f(2n＋1,SnSn＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,22－1)＋\f(1,22－1)－\f(1,23－1)＋…＋\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1－1)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n＋1－1)))<eq\f(7,15)，即有2n＋1－1<15，即2n＋1<24，解得n<3，又n＝1,2，…，則n的最大值為2.二、多項選擇題5．(2023·漳州質(zhì)檢)在數(shù)列{an}中，a2和a6是關(guān)于x的一元二次方程x2－bx＋4＝0的兩個根，下列說法正確的是()A．實數(shù)b的取值范圍是b≤－4或b≥4B．若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的前7項和為4bC．若數(shù)列{an}為等比數(shù)列且b>0，則a4＝±2D．若數(shù)列{an}為等比數(shù)列且b>0，則a2＋a6的最小值為4答案AD解析對于A，∵x2－bx＋4＝0有兩個根，∴Δ＝b2－4×1×4≥0，解得b≤－4或b≥4，故A正確；對于B，若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，∵a2和a6是關(guān)于x的一元二次方程x2－bx＋4＝0的兩個根，∴a2＋a6＝b，則S7＝eq\f(7a1＋a7,2)＝eq\f(7a2＋a6,2)＝eq\f(7b,2)，故B錯誤；對于C，若數(shù)列{an}為等比數(shù)列且b>0，由根與系數(shù)的關(guān)系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋a6＝b，,a2·a6＝4，))可得a2>0，a6>0，∴a4>0，由等比數(shù)列的性質(zhì)得aeq\o\al(2,4)＝a2·a6，即a4＝eq\r(a2·a6)＝eq\r(4)＝2，故C錯誤；對于D，由C可知，aeq\o\al(2,4)＝a2·a6＝4，且a2>0，a6>0，∴a2＋a6≥2eq\r(a2·a6)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a2＝a6＝2時，等號成立，故D正確．6．“提丟斯數(shù)列”是18世紀(jì)由德國物理學(xué)家提丟斯給出的，具體為：取0,3,6,12,24,48,96，…這樣一組數(shù)，容易發(fā)現(xiàn)，這組數(shù)從第3項開始，每一項是前一項的2倍，將這組數(shù)的每一項加上4，再除以10，就得到“提丟斯數(shù)列”：0.4,0.7,1.0,1.6,2.8,5.2，10.0，…，則下列說法中正確的是()A．“提丟斯數(shù)列”是等比數(shù)列B．“提丟斯數(shù)列”的第99項為eq\f(3×297＋4,10)C．“提丟斯數(shù)列”的前31項和為eq\f(3×230,10)＋eq\f(121,10)D．“提丟斯數(shù)列”中，不超過20的有8項答案BCD解析記“提丟斯數(shù)列”為數(shù)列{an}，則當(dāng)n≥3時，an＝eq\f(6×2n－3＋4,10)＝eq\f(3×2n－2＋4,10)，當(dāng)n＝2時，a2＝0.7，符合該式，當(dāng)n＝1時，a1＝0.4不符合該式，故an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.4，n＝1，,\f(3×2n－2＋4,10)，n≥2，))故A錯誤；a99＝eq\f(3×297＋4,10)，故B正確；“提丟斯數(shù)列”的前31項和為eq\f(2,5)＋eq\f(3,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20＋…＋229))＋eq\f(2,5)×30＝eq\f(3×230,10)＋eq\f(121,10)，故C正確；令eq\f(3×2n－2＋4,10)≤20，即2n－2≤eq\f(196,3)，得n＝2,3,4,5,6,7,8，又a1<20，故不超過20的有8項，故D正確．三、填空題7．(2023·揭陽模擬)已知數(shù)列{an}滿足an＝cos

eq\f(2n－1π,3)，則{an}的前100項和為______．答案1解析因為an＝coseq\f(2n－1π,3)，所以a1＝1，a2＝－eq\f(1,2)，a3＝－eq\f(1,2)，a4＝1，a5＝－eq\f(1,2)，a6＝－eq\f(1,2)，…，可知數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝0，所以S100＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a97＋a98＋a99＋a100＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋…＋(a97＋a98＋a99)＋a100＝a100＝a1＝1.8．(2024·蕪湖模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，且對任意的n∈N*，都有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2n＝log2\f(n,n＋1)＋an，,a2n＋1＝－an＋log2\f(n＋2,n)，))則S61＝__________.答案5解析∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2n＝log2\f(n,n＋1)＋an，,a2n＋1＝－an＋log2\f(n＋2,n)，))∴a2n＋a2n＋1＝log2eq\f(n,n＋1)＋log2eq\f(n＋2,n)＝log2eq\f(n＋2,n＋1)，∴S61＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a60＋a61)＝1＋log2eq\f(3,2)＋log2eq\f(4,3)＋…＋log2eq\f(32,31)＝1＋log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)×\f(4,3)×…×\f(32,31)))＝1＋log216＝5.四、解答題9．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＋2＝2an.(1)求a2及數(shù)列{an}的通項公式；(2)在an與an＋1之間插入n個數(shù)，使得這n＋2個數(shù)依次組成公差為dn的等差數(shù)列，求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,dn)))的前n項和Tn.解(1)由題意，當(dāng)n＝1時，S1＋2＝a1＋2＝2a1，解得a1＝2，當(dāng)n＝2時，S2＋2＝2a2，即a1＋a2＋2＝2a2，解得a2＝4，當(dāng)n≥2時，由Sn＋2＝2an，可得Sn－1＋2＝2an－1，兩式相減，可得an＝2an－2an－1，整理，得an＝2an－1，∴數(shù)列{an}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴an＝2·2n－1＝2n，n∈N*.(2)由(1)可得，an＝2n，an＋1＝2n＋1，在an與an＋1之間插入n個數(shù)，使得這n＋2個數(shù)依次組成公差為dn的等差數(shù)列，則有an＋1－an＝(n＋1)dn，∴dn＝eq\f(an＋1－an,n＋1)＝eq\f(2n,n＋1)，∴eq\f(1,dn)＝eq\f(n＋1,2n)，∴Tn＝eq\f(1,d1)＋eq\f(1,d2)＋…＋eq\f(1,dn)＝eq\f(2,21)＋eq\f(3,22)＋eq\f(4,23)＋…＋eq\f(n＋1,2n)，eq\f(1,2)Tn＝eq\f(2,22)＋eq\f(3,23)＋eq\f(4,24)＋…＋eq\f(n,2n)＋eq\f(n＋1,2n＋1)，兩式相減，可得eq\f(1,2)Tn＝eq\f(2,21)＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,23)＋…＋eq\f(1,2n)－eq\f(n＋1,2n＋1)＝1＋eq\f(\f(1,22)－\f(1,2n＋1),1－\f(1,2))－eq\f(n＋1,2n＋1)＝eq\f(3,2)－eq\f(n＋3,2n＋1)，∴Tn＝3－eq\f(n＋3,2n).10．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－2＋2，n為奇數(shù)