專題08導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（核心考點精講精練）1.近幾年真題考點分布導(dǎo)數(shù)的概念、運算及簡單應(yīng)用近幾年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2022年全國乙（理科），第21題,12分求切線方程根據(jù)零點求參分類討論思想2022年全國乙（理科），第16題,5分求切線，根據(jù)極值點求參2022年全國甲（理科），第21題,12分函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)取值范圍雙變量問題、極值點偏移問題2022年全國甲（理科），第6題,5分求某點處的導(dǎo)函數(shù)值已知最值求參2023年全國甲（文科），第8題,5分求切線方程2023年全國乙（文科），第8題,5分利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點2023年全國甲（理科），第21題,12分1、判斷函數(shù)的單調(diào)性2、函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)取值范圍三角函數(shù)2023年全國乙（理科），第21題,12分1、求切線方程2、根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求參根據(jù)極值求參數(shù)取值范圍2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】1.本節(jié)內(nèi)容為高考必考內(nèi)容，各種題型都有涉及，且多年來均出現(xiàn)解答題壓軸位置；2.?？碱}型：求一點處的切線；判斷函數(shù)的單調(diào)性；判斷函數(shù)的極值和最值；通過導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的零點等；解答題常有：函數(shù)不等式恒成立求參、極值點偏移、隱零點、雙變量、數(shù)列不等式、與三角函數(shù)的綜合問題等?！緜淇疾呗浴?.了解導(dǎo)數(shù)的概念,掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；2.通過函數(shù)圖象,理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3.能夠用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),能求簡單的復(fù)合函數(shù)(形如f(ax+b))的導(dǎo)數(shù)；4.利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；5.利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的極值與最值；6.利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的零點；7.利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)不等式恒成立問題。【命題預(yù)測】1.求一點處的切線問題；通過導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性（含參與不含參）；2.根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的極值和最值、通過極值、最值求參；通過導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的零點；3.通過導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的零點問題；4.根據(jù)函數(shù)不等式恒成立問題求參、極值點偏移、隱零點、雙變量、數(shù)列不等式、與三角函數(shù)的綜合問題等知識講解一、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式1、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟（1）作差或變形；（2）構(gòu)造新的函數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題．二、導(dǎo)數(shù)中分離參數(shù)問題分離參數(shù)法基本步驟為：第一步：首先對待含參的不等式問題在能夠判斷出參數(shù)的系數(shù)正負的情況下，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達式的不等式，第二步：先求出含變量一邊的式子的最值，通常使用導(dǎo)函數(shù)或基本不等式進行求解.第三步：由此推出參數(shù)的取值范圍即可得到結(jié)論.三、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題1、導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立，轉(zhuǎn)化為.2、本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，總有成立，故；（2）若，總有成立，故；（3）若，使得成立，故；（4）若，使得，故.3、對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．四、利用導(dǎo)數(shù)研究數(shù)列不等式問題利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).五、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點問題已知函數(shù)零點（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：（1）直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍；（2）分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見同構(gòu)模型①，構(gòu)造函數(shù)（或，構(gòu)造函數(shù)）；②，構(gòu)造函數(shù)（或，構(gòu)造函數(shù)）；③，構(gòu)造函數(shù)（或，構(gòu)造函數(shù)）.六、利用導(dǎo)數(shù)研究隱零點問題1、隱零點是指一個函數(shù)在某個區(qū)間上有一個零點，但是這個零點具體等于多少卻無法計算。隱零點問題指的是一個函數(shù)的零點存在但無法直接求解出來的問題。2、隱零點問題的8種解決策略如下

（1）直接觀察

（2）虛設(shè)零點

（3）分類討論

（4）拆分函數(shù)

（5）等價轉(zhuǎn)化

（6）降次代換

（7）巧妙放縮

（8）反客為主

這些解決策略可以幫助我們解決導(dǎo)函數(shù)存在隱零點的情況，其中包括形式上虛設(shè)、運算上代換、數(shù)值上估算、策略上等價轉(zhuǎn)化、方法上分離函數(shù)(參數(shù))、技巧上反客為主等方法。通過這些方法，我們可以更好地解決隱零點問題。七、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題關(guān)于同一函數(shù)中的兩個變量的問題，又可以分成兩類題型，一是求參數(shù)取值范圍類問題，二是沒有參數(shù)的雙變量證明問題，這兩類題型在解法上不同，但是思想上均為構(gòu)造函數(shù)的范疇。

方法一：構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為單調(diào)性問題

在高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念里面涉及雙變量的有兩個地方，一是函數(shù)專題中關(guān)于單調(diào)性的介紹，而是雙參數(shù)引出導(dǎo)數(shù)的概念，由于導(dǎo)數(shù)概念僅作為理解的參考，因此我們解決很多雙變量問題的時候用到最多的是單調(diào)性：

如果讓證明，我們可以構(gòu)造函數(shù)，并且令，若能判斷出函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，則根據(jù)同增異減原則就可以證明出，這是解決問題最基礎(chǔ)最核心的東西。

若證明，同理我們可以根據(jù)單調(diào)性同增異減，構(gòu)造新函數(shù)，若令，若能證明出是增函數(shù)，則也能得證，因此此類問題的關(guān)鍵在于能夠構(gòu)造出所需要的函數(shù)并且能證明的出來單調(diào)性。

解讀：注意分子正負未定，因此做題之前要人為設(shè)定出兩變量的大小，變成多項式之后就能看出需要構(gòu)造的函數(shù)。

總結(jié)：無論是證明題還是求參數(shù)范圍問題，解題思路均相同，設(shè)定兩個未知量的大小關(guān)系，然后構(gòu)造出所需要的函數(shù)，進而使用單調(diào)性來判斷不等式成立或?qū)握{(diào)性轉(zhuǎn)化為參數(shù)恒成立問題。

方法二：構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題

如果函數(shù)無法用單調(diào)性來求解，則兩個變量顯然不能直接求最值，因此最常見的做法是找兩個變量之間的關(guān)系，然后將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量即可，另外還有一種可以轉(zhuǎn)化為單變量的方法就是雖不知道兩變量之間的關(guān)系，但是可以試著用其中一個變量作為自變量而另外一個變量作為常數(shù)來用，這樣題目也可以轉(zhuǎn)化為單變量問題，另外也可以試著將兩個變量的和或商作為一個新的變量，方法大致有三種，如下：

類型一：可以找到兩個未知量的關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化為一個變量。

類型二：可將兩變量的和，差，積，商作為一個整體設(shè)為新變量的。

類型三：將雙變量指定主變量

雙變量指定主變量即把其中一個設(shè)為自變量，另外一個看成常數(shù)，然后構(gòu)造新函數(shù)就可以將雙變量函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)。

解讀：至于把誰看作自變量都可，題目轉(zhuǎn)化為恒成立問題，即新函數(shù)的最小值大于零即可，這里需要注意將其中一個變量設(shè)為自變量，另外一個設(shè)為常數(shù)之后需要注意新的自變量的取值范圍。八、利用導(dǎo)數(shù)研究極值點偏移問題1、極值點偏移是指函數(shù)在極值點左右的增減速度不一樣，導(dǎo)致函數(shù)的圖像不具有對稱性。2、極值點偏移問題包括含參數(shù)的和不含參數(shù)的兩種情況。（1）對于含參數(shù)的情況，可以通過消去參數(shù)或構(gòu)造新函數(shù)來轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的問題。常用的解法有換元、構(gòu)造、化齊次、使用對數(shù)平均不等式和構(gòu)造對稱函數(shù)等方法。其中，構(gòu)造對稱函數(shù)是最常用的方法之一，可以從指數(shù)或?qū)?shù)的角度出發(fā)，利用單調(diào)性來解決問題。（2）對于不含參數(shù)的情況，可以通過求導(dǎo)數(shù)方程的根來求得極值點，并判斷其是否在定義域內(nèi)。同時，需要注意端點位置的點，以及比較各值的函數(shù)值的大小來確定最大值和最小值3、證明極值點偏移的相關(guān)問題，一般有以下幾種方法：（1）證明（或）：①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；②確定兩個零點，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進行大小比較；③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問題；（2）證明（或）（、都為正數(shù)）：①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；②確定兩個零點，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進行大小比較；③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問題；（3）應(yīng)用對數(shù)平均不等式證明極值點偏移：①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；②將所得含對數(shù)的等式進行變形得到；③利用對數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.九、導(dǎo)數(shù)在情景中的運用1、利潤最大問題2、面積、體積最大問題3、成本最小問題4、用料最省問題考點一、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式1．已知函數(shù)，證明：.2．已知函數(shù)，當(dāng)時，證明：.3．已知函數(shù)，，設(shè)函數(shù)，證明：的圖象在的圖象的上方．1．設(shè)函數(shù)，，求證：．2．函數(shù)，，當(dāng)時，證明：．3．設(shè)函數(shù)，，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，若，求證：．考點二、導(dǎo)數(shù)中的分離參數(shù)1．已知函數(shù)，設(shè)，若在區(qū)間內(nèi)恒成立，求k的最小值．2．（2023·山東省德州市名校模擬）任給兩個正數(shù)x，y，使得不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2023·北京市名校模擬）已知函數(shù)，若存在，使，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．1．已知，且恒成立，則k的值不可以是（

）A．－2 B．0 C．2 D．42．已知函數(shù)，若，求c的取值范圍.3．若在上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是為（

）A． B． C． D．考點三、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題1．（2023·江蘇省蘇州名校模擬）已知函數(shù)，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.2．（2023·甘肅省寧夏回族自治州名校模擬）設(shè)函數(shù)，．若當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍．3．（2023·河北省石家莊名校模擬）已知函數(shù)，若恒成立，求的取值范圍.1．設(shè)，，．證明：當(dāng)時，恒成立．2．已知函數(shù)若不等式對一切恒成立，則正整數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)（）．當(dāng)時，不等式恒成立，求的取值范圍．考點四、利用導(dǎo)數(shù)研究數(shù)列不等式1．（2023·河南省南陽市名校模擬）已知，證明：時，.2．已知函數(shù)，對任意的，求證：.3．（2023·廣東省廣州市名校模擬）已知函數(shù)，證明：對任意的且，都有：.1．設(shè)在上恒成立，證明：當(dāng)時，．2．已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞增，求的值；(2)證明：（且）.3．已知函數(shù)，當(dāng)時，證明：.考點五、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點1．（2023·陜西省榆林市名校模擬）已知函數(shù)的圖象與軸有且僅有兩個交點，則實數(shù)的值是（

）A． B． C．-1 D．02．（2023·四川省眉山市名校模擬）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，當(dāng)時，求函數(shù)零點個數(shù)．3．（2023·湖南省名校模擬）已知函數(shù)，若方程有3個零點，求實數(shù)的取值范圍．1．已知函數(shù)，，當(dāng)時，判斷的零點個數(shù).2．給定函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．已知函數(shù)，若存在零點，求a的取值范圍．考點六、利用導(dǎo)數(shù)研究隱零點問題1．（2023·河北省滄州市名校模擬）已知函數(shù)，當(dāng)時，證明：不等式恒成立．2．（2023·貴州省銅仁市名校模擬）已知函數(shù)，若恒成立，求的取值范圍．3．（2019·新課標Ⅰ高考真題（文科））已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)．（1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點；（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．1．已知函數(shù)，證明：當(dāng)時，．2．設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間(2)若，k為整數(shù)，且當(dāng)時，求k的最大值3．設(shè)函數(shù).（Ⅰ）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點的個數(shù)；（Ⅱ）證明：當(dāng)時.考點七、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題1．（2023·黑龍江省哈爾濱市名校模擬）已知，函數(shù)，當(dāng)時，若，求證：.2．（上海師范大學(xué)附屬外國語中學(xué)2023屆試題）已知函數(shù)，若函數(shù)有三個不同的極值點、、，且，求實數(shù)a的取值范圍.3．（2023·福建省福州名校模擬）已知函數(shù)，若，且，，則（

）A． B． C． D．1．已知函數(shù)，對任意，存在，使，則的最小值為（

）．A．1 B．C． D．2．已知函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個不同的零點，，證明：．3．已知函數(shù)（a為常數(shù)），設(shè)函數(shù)的兩個極值點分別為，（），求的范圍．考點八、利用導(dǎo)數(shù)研究極值點偏移問題1．（2023·廣東省廣州市名校模擬）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：(2)若是方程的兩不等實根，求證：；2．（新疆維吾爾自治區(qū)名校模擬）已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)若有兩個極值點，求的取值范圍；(2)記有兩個極值點為、，試證明：．3．（2023·河北省石家莊名校模擬）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個零點、，證明.1．已知函數(shù)，若，，，證明：．2．已知，若存在，，使，求證：．3．已知函數(shù)，a為實數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在處取得極值，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，，證明：．考點九、導(dǎo)數(shù)在情景中的應(yīng)用1．現(xiàn)有一個帳篷，它下部分的形狀是高為的正六棱柱，上部分的形狀是側(cè)棱長為的正六棱錐（如圖所示）當(dāng)帳篷的體積最大時，帳篷的頂點O到底面中心的距離為（

）

A． B． C． D．2．（2023·廣東省汕尾市名校模擬）某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，一個瓶子的制造成本是分，其中（單位：）是瓶子的半徑．已知每出售的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為，則使得每瓶飲料的利潤最大時的瓶子的半徑為（

）A． B． C． D．3．（2023·河南省南陽市名校模擬）給出新定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為的“拐點”，已知函數(shù)的一個拐點是，且，則（

）A． B． C． D．1．已知正三棱錐的高為，且，其各個頂點在同一球面上，且該球的表面積為，則該三棱錐體積的最大值為（

）A． B． C． D．2．如圖所示，ABCD是邊長為的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點．設(shè)，當(dāng)cm時，包裝盒的容積最大，最大容積為．

3．定義方程的實數(shù)根叫做函數(shù)的“奮斗點”.若函數(shù)，的“奮斗點”分別為，，則，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【基礎(chǔ)過關(guān)】1．證明：.2．已知．（1）若對任意，有，求實數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)時，的值域為，求實數(shù)a的取值范圍；（3），，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍．（4），使得成立，求實數(shù)a的取值范圍．3．設(shè)實數(shù)，若對不等式恒成立，則m的取值范圍為．4．若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．已知，如圖是一張邊長為的正方形硬紙板，先在它的四個角上裁去邊長為的四個小正方形，再折疊成無蓋紙盒．

(1)試把無蓋紙盒的容積表示成裁去邊長的函數(shù)；(2)當(dāng)取何值時，容積最大？最大值是多少？（紙板厚度忽略不計）6．（2023·浙江省麗水市名校模擬）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若函數(shù)有三個零點，求的取值范圍．7．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)，若存在使得，則稱是的一個“巧值點”，下列選項中沒有“巧值點”的函數(shù)是（

）A． B．C． D．8．已知函數(shù)，．當(dāng)，時，求證：．9．已知函數(shù)．(1)若是函數(shù)的極值點，求的值；(2)若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍．10．（2023·安徽省名校模擬）已知函數(shù)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)已知函數(shù)，存在，證明：．11．（2023·河南省洛陽市名校模擬）已知函數(shù)（a為常數(shù)）．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)函數(shù)的兩個極值點分別為，（），求的范圍．【能力提升】1．已知正三棱錐的外接球半徑R為1，則該正三棱錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．2．（2023·四川省自貢市名校模擬）已知函數(shù)，，，恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．3．（2023·陜西省咸陽市名校模擬）已知函數(shù)，若方程恰有四個不等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．若關(guān)于的方程有兩個解，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點定理是拓撲學(xué)里一個非常重要的不動點定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成了一般不動點定理的基石.簡單來說就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，下列為“不動點”函數(shù)的是（

）A． B．C． D．6．已知函數(shù)有兩個零點，且，(1)求的取值范圍；(2)證明：.7.（2023·河南省開封市名校模擬）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2