專題28圓的方程及直線、圓的位置關(guān)系（核心考點(diǎn)精講精練）1.近幾年真題考點(diǎn)分布圓錐曲線近幾年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年全國(guó)乙（文科），第11題,5分直線與圓的位置關(guān)系，參數(shù)方程2023年全國(guó)乙（文科），第13題,5分根據(jù)拋物線上的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的定義2023年全國(guó)乙（理科），第3題,5分2023年全國(guó)乙（文科），第3題,5分通過(guò)三視圖求幾何體的表面積2023年全國(guó)乙（理科），第5題,5分2023年全國(guó)乙（文科），第7題,5分根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓的圓心和半徑幾何概型2023年全國(guó)乙（理科），第11題,5分2023年全國(guó)乙（文科），第12題,5分直線與雙曲線的位置關(guān)系，求線段的中點(diǎn)坐標(biāo)2023年全國(guó)乙（理科），第12題,5分直線與圓的位置關(guān)系向量的數(shù)量積2023年全國(guó)乙（理科），第20題,12分2023年全國(guó)乙（文科），第21題,12分1、根據(jù)離心率求橢圓方程；2、橢圓中的定點(diǎn)問(wèn)題；2023年全國(guó)甲（文科），第7題,5分橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積問(wèn)題2023年全國(guó)甲（理科），第8題,5分2023年全國(guó)甲（文科），第9題,5分雙曲線的漸近線、離心率、圓的中點(diǎn)弦2023年全國(guó)甲（理科），第12題,5分橢圓的定義、焦點(diǎn)三角形2023年全國(guó)甲（理科），第20題,12分2023年全國(guó)甲（文科），第20題,12分1、根據(jù)直線與拋物線相交所得弦長(zhǎng)求拋物線方程；2、拋物線中的三角形面積問(wèn)題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】1.本節(jié)內(nèi)容為高考?？純?nèi)容，常考選填題；2.考查圓的方程，判斷圓心與半徑；3.考查直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系；4.考查與圓相關(guān)的最值問(wèn)題【備考策略】1.理解確定圓的幾何要素,在平面直角坐標(biāo)系中,掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想.3.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系,能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系.4.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.5.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想.【命題預(yù)測(cè)】1.考查圓的方程，判斷圓心與半徑；2.考查直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系；3.考查與圓相關(guān)的最值問(wèn)題知識(shí)講解一、圓的定義和圓的方程定義平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)標(biāo)準(zhǔn)方程圓心:,半徑:一般方程,即x+D22+y+E22=D2+E2圓心:,半徑:1.幾種特殊位置的圓的方程標(biāo)準(zhǔn)方程的設(shè)法一般方程的設(shè)法圓心在原點(diǎn)過(guò)原點(diǎn)圓心在軸上圓心在軸上與軸相切與軸相切2.以為直徑端點(diǎn)的圓的方程為.二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系:1.若點(diǎn)在圓外,則;

2.若點(diǎn)在圓上,則;

3.若點(diǎn)在圓內(nèi),則.

求圓的方程的兩種方法(1)幾何法:根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心的坐標(biāo)和半徑,進(jìn)而寫出方程.(2)待定系數(shù)法:①若已知條件與圓心和半徑有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,求出的值;②選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于的方程組,進(jìn)而求出的值.求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí),根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法:①直接法:直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.②定義法:根據(jù)圓與直線的定義列出方程.③幾何法:利用圓的幾何性質(zhì)列出方程.④相關(guān)點(diǎn)代入法:找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系,代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式.把有關(guān)式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化或利用所給式子的幾何意義解題,充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,其中以下幾類轉(zhuǎn)化較為常見(jiàn):(1)形如的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題.(2)形如的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題.(3)形如的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離的平方的最值問(wèn)題.求解形如(其中均為動(dòng)點(diǎn))且與圓有關(guān)的折線段的最值問(wèn)題的基本思路:(1)“動(dòng)化定”,把與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離;(2)“曲化直”,即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和,一般要通過(guò)對(duì)稱性解決.利用已知或隱含的不等關(guān)系,先構(gòu)建以待求量為元的不等式,再借助基本不等式求最值.三、判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法1.三種位置關(guān)系:、、.

2.兩種研究方法(1)Δ>0?(2)d<r圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓,圓.位置關(guān)系幾何法:圓心距與的關(guān)系代數(shù)法:兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況外離

外切

相交

內(nèi)切

內(nèi)含

1.與圓的切線有關(guān)的結(jié)論(1)過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程為;(2)過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程為;(3)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為,則過(guò)兩點(diǎn)的直線方程為.2.直線被圓截得的弦長(zhǎng)弦心距,弦長(zhǎng)的一半及圓的半徑構(gòu)成一直角三角形,且有.3.兩圓相交時(shí)公共弦所在直線的方程設(shè)圓,①圓.②若兩圓相交,則有一條公共弦,其公共弦所在直線的方程由①-②得到,即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.4.常用的圓系方程(1)圓心為定點(diǎn)的同心圓系方程為,其中為定值,是參數(shù).(2)半徑為定值的圓系方程為,其中為參數(shù),是定值.(3)過(guò)圓與直線的交點(diǎn)的圓系方程為.(4)過(guò)圓與圓交點(diǎn)的圓系方程為,此圓系中不含圓.判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見(jiàn)方法(1)幾何法:利用與的關(guān)系.(2)代數(shù)法:聯(lián)立方程之后利用Δ判斷.(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法:若直線恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi),可判斷直線與圓相交.上述方法中最常用的是幾何法,點(diǎn)與圓的位置關(guān)系適用于動(dòng)直線問(wèn)題.圓的切線方程的求法(1)幾何法:設(shè)切線方程為,利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離,然后令,進(jìn)而求出.(2)代數(shù)法:設(shè)切線方程為,與圓的方程組成方程組,消元后得到一個(gè)一元二次方程,然后令其根的判別式,進(jìn)而求得.注意:若點(diǎn)在圓上(即為切點(diǎn)),則過(guò)該點(diǎn)的切線只有一條;若點(diǎn)在圓外,則過(guò)該點(diǎn)的切線有兩條(若通過(guò)上述方法只求出一個(gè),則說(shuō)明另一條切線的斜率一定不存在,此時(shí)另一條切線的方程為).求解圓的弦長(zhǎng)的3種方法1.幾何法:根據(jù)半徑、弦心距、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形,求解.2.公式法:根據(jù)公式求解.3.距離法:聯(lián)立直線與圓的方程,解方程組求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo),用兩點(diǎn)間距離公式求解.幾何法判斷圓與圓的位置的步驟(1)確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng).(2)利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距和,的值.(3)比較,,的大小,寫出結(jié)論.若兩圓相交,則兩圓的公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去項(xiàng)得到.同時(shí)與兩個(gè)圓相切的直線稱為兩圓的公切線.當(dāng)兩圓的位置關(guān)系不同時(shí),公切線的條數(shù)也不同.具體情況如下表:位置關(guān)系切線條數(shù)外離4外切3相交2內(nèi)切1內(nèi)含0考點(diǎn)一、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程1．圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程是（

）A． B．C． D．2．與圓同圓心，且過(guò)點(diǎn)的圓的方程是（

）A． B．C． D．3．（2022年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)點(diǎn)M在直線上，點(diǎn)和均在上，則的方程為．1．若圓與圓C關(guān)于直線對(duì)稱，則圓C的方程為（

）A． B． C． D．2．若方程表示一個(gè)圓，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2022年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）過(guò)四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為．考點(diǎn)二、與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題1．若圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，且過(guò)點(diǎn)C（－a，a）的圓P與y軸相切，則圓心P的軌跡方程為（）A．B．C．D．2．（2023年河北省模擬數(shù)學(xué)試題）點(diǎn)A是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的中點(diǎn)P的軌跡方程為.3．已知圓C1：（x＋3）2＋y2＝1和圓C2：（x－3）2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為.4．（2023-2024學(xué)年湖北省模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知圓O的直徑，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則點(diǎn)M的軌跡與圓O的相交弦長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．1．（2023年廣東省模擬數(shù)學(xué)試題）點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．2．已知兩條直線，，有一動(dòng)圓（圓心和半徑都在變動(dòng)）與都相交，并且被截在圓內(nèi)的兩條線段的長(zhǎng)度分別是定值26，24，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．3．（2023年山東省模擬數(shù)學(xué)試題）兩定點(diǎn)A，B的距離為3，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則M點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．4．已知點(diǎn)是圓上的定點(diǎn)，點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，、為圓上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求線段AP的中點(diǎn)的軌跡方程．(2)若，求線段中點(diǎn)的軌跡方程．

考點(diǎn)三、與圓有關(guān)的最值問(wèn)題1．若x，y滿足，則的最小值是（

）A．5 B． C． D．無(wú)法確定2．（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅰ））已知⊙M：，直線：，為上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作⊙M的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（

）A． B． C． D．3．（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅰ））已知圓，過(guò)點(diǎn)（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值為（

）A．1 B．2C．3 D．44．（2018年全國(guó)卷Ⅲ理數(shù)高考試題）直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（）A． B． C． D．5．若圓）與圓交于A、B兩點(diǎn)，則tan∠ANB的最大值為（

）A． B． C． D．1．已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C．6 D．52．已知圓的方程為，點(diǎn)在直線上，線段為圓的直徑，則的最小值為（）A．2 B． C．3 D．3．（2021年北京市高考數(shù)學(xué)試題）已知直線（為常數(shù)）與圓交于點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，若的最小值為2，則（）

A． B． C． D．4．已知邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則三角形面積的最小值是（

）A． B． C． D．5．已知圓：與圓：相外切，則的最大值為（）A．2 B． C． D．4考點(diǎn)四、直線與圓的位置關(guān)系1．（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅲ））若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+2．若直線?與圓?相交于?兩點(diǎn)，且?(其中?為原點(diǎn))，則?的值為（

）A．?或? B．? C．?或? D．?3．（2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬數(shù)學(xué)試題）已知拋物線上三點(diǎn)，直線是圓的兩條切線，則直線的方程為（

）A． B．C． D．4．若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C． D．1．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，則的方程為（

）A． B． C． D．2．設(shè)為實(shí)數(shù)，若直線與圓相交于M，N兩點(diǎn)，且，則（

）A．3 B．-1 C．3或-1 D．-3或13．（2023屆廣東省二模數(shù)學(xué)試題）若斜率為1的直線與曲線和圓都相切，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．0 C．2 D．0或24．已知直線l：與圓C：交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為（

）．A． B． C． D．考點(diǎn)五、圓與圓的位置關(guān)系1．已知兩圓分別為圓和圓，這兩圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切2．設(shè)圓，圓，則圓，的公切線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條3．已知圓，，則這兩圓的公共弦長(zhǎng)為（

）A．4 B． C．2 D．11．（2023屆廣西階段性聯(lián)合檢測(cè)數(shù)學(xué)（文）試題）圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．內(nèi)切 C．外切 D．相離2．已知圓：與圓：，若圓與圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a等于（

）A．14 B．34 C．14或45 D．34或143．已知圓與圓的公共弦所在直線恒過(guò)點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．4．設(shè)與相交于兩點(diǎn)，則．考點(diǎn)六、圓在情景中的應(yīng)用1．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約前262—前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.已知，，圓上有且僅有一個(gè)點(diǎn)P滿足，則r的取值為（

）A．1 B．5 C．1或5 D．不存在2．19世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學(xué)，推動(dòng)了空間幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展.提出了著名的蒙日?qǐng)A定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同心的圓上，稱為蒙日?qǐng)A，且該圓的半徑等于橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的平方和的算術(shù)平方根.若圓上有且只有一個(gè)點(diǎn)在橢圓的蒙日?qǐng)A上，則的值為（

）A． B． C． D．1．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯(約公元前262~公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0且k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.已知O(0，0)，A(3，0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿，則動(dòng)點(diǎn)P軌跡與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相離 C．內(nèi)切 D．外切2．19世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學(xué)，推動(dòng)了空間幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展，提出了著名的蒙日?qǐng)A定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同心的圓上，稱為蒙日?qǐng)A，且該圓的半徑等于橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的平方和的算術(shù)平方根．若圓與橢圓的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則b的值為（

）A． B． C． D．【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】1．已知圓的圓心在直線x－2y－3＝0上，且過(guò)點(diǎn)A(2，－3)，B(－2，－5)，則圓的一般方程為.2．（2023年四川省模擬數(shù)學(xué)試題）自引圓的割線ABC，則弦中點(diǎn)P的軌跡方程.3．過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為（

）A． B． C． D．或4．（2022年北京市高考數(shù)學(xué)試題）若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則（

）A． B． C．1 D．5．圓的圓心和半徑分別是（

）A．， B．， C．， D．，6．已知點(diǎn)A（1，2）在圓C：外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．7．若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（

）A． B．C． D．8．已知直線：恒過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．2 C．4 D．9．（2020年北京市高考數(shù)學(xué)試題）已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（

）．A．4 B．5 C．6 D．710．（2023屆廣東省調(diào)研數(shù)學(xué)試題）已知圓關(guān)于直線（，）對(duì)稱，則的最小值為（

）A． B．9 C．4 D．811．直線分別與x軸，y軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓，則面積的取值范圍是（

）A． B．C． D．12．（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅱ））若過(guò)點(diǎn)（2，1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．13．已知直線與圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則當(dāng)弦最短時(shí)，圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)切 B．相離 C．外切 D．相交14．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元首262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓．已知，，圓上有且僅有一個(gè)點(diǎn)P滿足，則r的取值可以為（）A．1 B．2 C．3 D．4【能力提升】1．求過(guò)兩圓和的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程（

）A． B．C． D．2．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，△的面積的最大值為（

）A． B． C． D．3．已知為正方體表面上的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的周長(zhǎng)為.4．（2024屆河北省調(diào)研監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題）過(guò)圓：上一點(diǎn)作圓：的兩切線，切點(diǎn)分別為，，設(shè)兩切線的夾角為，當(dāng)取最小值時(shí)，.5．（2023屆湖北省調(diào)研數(shù)學(xué)試題）若兩條直線與圓的四個(gè)交點(diǎn)能構(gòu)成矩形，則.6．直線被圓O；截得的弦長(zhǎng)最短，則實(shí)數(shù)m=.7．已知拋物線，圓，直線與交于A、B兩點(diǎn)，與交于M、N兩點(diǎn)，若，則(

)A． B． C． D．8．已知圓的面積被直線平分，圓，則圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．外離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切9．已知過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C：交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作C的切線，兩切線交于點(diǎn)N．若動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．910．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元首262~公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，已知點(diǎn)，，圓，在圓上存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．11．已知：，直線：，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，，切點(diǎn)為，，當(dāng)四邊形的面積取最小值時(shí)，直線AB的方程為．12．（2022年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程．13．平面上兩點(diǎn)A、B，則所有滿足且k不等于1的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)