專題34圓錐曲線大題專項(xiàng)訓(xùn)練題型一、橢圓中的定點(diǎn)、定值1．（2022年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過兩點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過定點(diǎn)．2．（2021年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）已知橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．3．（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅰ））已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點(diǎn).4．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．5．（2020年新高考全國(guó)卷Ⅰ數(shù)學(xué)高考試題（山東））已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求的方程：（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．6．（2017年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)1卷））已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)（1,1），（0,1），（–1，），（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線與直線的斜率的和為–1，證明：過定點(diǎn).7．已知橢圓C：（a>b>0）的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)滿足，且的面積為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓C的上頂點(diǎn)為P，不過點(diǎn)P的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，若，證明直線l恒過定點(diǎn).8．（2019年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科））已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P，Q，直線AP與x軸交于點(diǎn)M，直線AQ與x軸交于點(diǎn)N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經(jīng)過定點(diǎn).9．已知點(diǎn)在橢圓上，橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為，，的面積為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)A，B在橢圓C上，直線PA，PB均與圓相切，記直線PA，PB的斜率分別為，.（i）證明：；（ii）證明：直線AB過定點(diǎn).10．已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為(1)求橢圓的方程；(2)、是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，證明直線的斜率為定值，并求出這個(gè)定值.題型二、橢圓中的定直線1．已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過右焦點(diǎn)且不與軸重合的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，已知，過且與軸垂直的直線與直線交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在一定直線上，并求出此直線的方程.2．已知橢圓：（）過點(diǎn)，且離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)記橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，證明：直線與的交點(diǎn)在定直線上，并求出該定直線的方程．3．已知點(diǎn)是離心率為的橢圓：（）上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，過點(diǎn)引軸、軸的平行線，交軸、軸于，兩點(diǎn)，交直線于，兩點(diǎn)，記與的面積分別為，，且．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，證明：直線，的交點(diǎn)在一定直線上，并求出該直線方程．4．已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，原點(diǎn)到過點(diǎn)的直線距離是（1）求橢圓的方程（2）設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過作的垂線與直線交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上，并求出定直線的方程5．（2023屆華大新高考聯(lián)盟教學(xué)質(zhì)量測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試題）已知A，B為橢圓左右兩個(gè)頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)D是橢圓上異于A，B的一點(diǎn)，點(diǎn)F是右焦點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為時(shí)，．(1)求橢圓的方程．(2)已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為，直線CD與橢圓交于另一點(diǎn)E，判斷直線AD與直線BE的交點(diǎn)P是否在一定直線上，如果是，求出該直線方程；如果不是，請(qǐng)說明理由．6．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中．阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比，是一個(gè)常數(shù)，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線上．已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點(diǎn)分別為橢圓的右焦點(diǎn)與右頂點(diǎn)，且橢圓的離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，過右焦點(diǎn)斜率為的直線與橢圓相交于，（點(diǎn)在軸上方），點(diǎn)，是橢圓上異于，的兩點(diǎn)，平分，平分．①求的取值范圍；②將點(diǎn)、、看作一個(gè)阿波羅尼斯圓上的三點(diǎn)，若外接圓的面積為，求直線的方程．7．如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A與垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q，且恰是的中點(diǎn)，若過A，Q，三點(diǎn)的圓與直線相切．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M，N為橢圓C的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，直線m過點(diǎn)交C于不同兩點(diǎn)G，H，證明：四邊形MNHG的對(duì)角線交點(diǎn)在定直線上，并求出定直線方程．8．（2023年廣東省模擬數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)，．(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于不同的，兩點(diǎn)，且直線，，的斜率依次成等比數(shù)列．橢圓上是否存在一點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．9．已知橢圓C：=1(a>b>0)的離心率e=，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)T在橢圓上，△TF1F2的面積最大為2.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）橢圓C的左?右頂點(diǎn)分別為A，B.過定點(diǎn)(1，0)且斜率不為0的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP和直線BQ相交于橢圓C外一點(diǎn)M，求證：點(diǎn)M的軌跡為定直線.10．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，且過點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)若直線與C交于M，N兩點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)G，證明：點(diǎn)G在定直線上，并求出此定直線的方程．題型三、橢圓中的參數(shù)范圍及最值1．（2020年海南省高考數(shù)學(xué)試題（新高考全國(guó)Ⅱ卷））已知橢圓C：過點(diǎn)M（2，3）,點(diǎn)A為其左頂點(diǎn)，且AM的斜率為，（1）求C的方程；（2）點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn)，求△AMN的面積的最大值.2．（2023屆浙江省教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（二模）數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)、為橢圓上異于、的兩點(diǎn)，面積的最大值為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線、的斜率分別為、，且．①求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)．②設(shè)和的面積分別為、，求的最大值．3．已知橢圓，其右焦點(diǎn)為，點(diǎn)M在圓上但不在軸上，過點(diǎn)作圓的切線交橢圓于，兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究周長(zhǎng)的取值范圍.4．已知橢圓的離心率為，且橢圓過點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，求的最小值．5．已知橢圓的左右焦點(diǎn)為、，離心率，過圓上一點(diǎn)Q（Q在y軸左側(cè)）作該圓的切線，分別交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，交圓于C、D兩點(diǎn)（如圖所示）．當(dāng)切線與x軸垂直時(shí)，的面積為．（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）（?。┣蟮拿娣e的最大值；（ⅱ）求證：為定值，并求出這個(gè)定值．6．（2018年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（天津卷））設(shè)橢圓(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，且.（I）求橢圓的方程；（II）設(shè)直線l：與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P，且l與直線AB交于點(diǎn)Q.若(O為原點(diǎn))，求k的值.7．已知O坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的上頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為B，的面積為，原點(diǎn)O到直線AB的距離為．(1)求橢圓C的方程；(2)過C的左焦點(diǎn)F作弦DE，MN，這兩條弦的中點(diǎn)分別為P，Q，若，求面積的最大值．8．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為且經(jīng)過點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若斜率為1的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求面積的最大值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）9．在直角坐標(biāo)系中，曲線的方程為．為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)的軌跡為曲線．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求曲線，的極坐標(biāo)方程；(2)曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，求的最大值．10．如圖所示，、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，與橢圓交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值.題型四、橢圓中的向量問題1．已知橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，且橢圓經(jīng)過點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)若，橢圓C上四點(diǎn)M，N，P，Q滿足，，求直線MN的斜率.2．已知，直線過橢圓的右焦點(diǎn)F且與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，l與雙曲線的兩條漸近線、分別交于M、N兩點(diǎn)．(1)若，且當(dāng)軸時(shí)，△MON的面積為，求雙曲線的方程；(2)如圖所示，若橢圓的離心率，且，求實(shí)數(shù)的值．3．橢圓有兩個(gè)頂點(diǎn)過其焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；（2）當(dāng)點(diǎn)異于兩點(diǎn)時(shí)，證明：為定值．4．已知拋物線的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為4，橢圓經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F．(1)求拋物線的方程及a；(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若，點(diǎn)N滿足，且最小值為，求橢圓的離心率．5．（湖南省2021年普通高等學(xué)校對(duì)口招生考試數(shù)學(xué)試題）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，求的值.6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在上.(1)求的方程；(2)點(diǎn)為的下頂點(diǎn)，點(diǎn)在內(nèi)且滿足，直線交于點(diǎn)，求的取值范圍.7．已知橢圓過點(diǎn)離心率，左、右焦點(diǎn)分別為，P，Q是橢圓C上位于x軸上方的兩點(diǎn)．(1)若，求直線的方程；(2)延長(zhǎng)分別交橢圓C于點(diǎn)M，N，設(shè)，求的最小值．8．如圖，橢圓的頂點(diǎn)為，，，，焦點(diǎn)為，，，．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)n是過原點(diǎn)的直線，l是與n垂直相交于P點(diǎn)，與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)的直線，．是否存在上述直線l使成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．9．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，若，求直線的方程．10．（2023年四川省階段檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題）已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為4．(1)求橢圓C的方程；(2)若過點(diǎn)的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求的取值范圍．題型五、雙曲線中的定點(diǎn)、定值1．（2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.2．已知F1（－，0），F(xiàn)2（，0）為雙曲線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P（2，－1）在C上．(1)求C的方程；(2)點(diǎn)A，B在C上，直線PA，PB與y軸分別相交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線AB上，若＋，＝0，證明：存在定點(diǎn)T，使得|QT|為定值．3．已知雙曲線過點(diǎn)，且離心率(1)求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)如果，為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線的斜率互為相反數(shù)，證明直線的斜率為定值，并求出該定值.4．（2023屆湖北省調(diào)研數(shù)學(xué)試題）過點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，當(dāng)與軸平行時(shí)，，當(dāng)與軸平行時(shí)，．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)是直線上一定點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，若為定值，求點(diǎn)的坐標(biāo)．5．已知在△ABC中，，，動(dòng)點(diǎn)A滿足，，AC的垂直平分線交直線AB于點(diǎn)P．(1)求點(diǎn)P的軌跡E的方程；(2)直線交x軸于D，與曲線E在第一象限的交點(diǎn)為Q，過點(diǎn)D的直線l與曲線E交于M，N兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)K，記QM，QN，QK的斜率分別為，，，①求證：是定值．②若直線l的斜率為1，問是否存在m的值，使？若存在，求出所有滿足條件的m的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．6．已知雙曲線的離心率是，實(shí)軸長(zhǎng)是8.(1)求雙曲線C的方程；(2)過點(diǎn)的直線l與雙曲線C的右支交于不同的兩點(diǎn)A和B，若直線l上存在不同于點(diǎn)P的點(diǎn)D滿足成立，證明：點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為定值，并求出該定值.7．（2023屆江蘇省調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，過左焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn).當(dāng)軸時(shí)，，的面積為3.(1)求的方程；(2)證明：以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn).8．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，．且該雙曲線過點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)如圖．過雙曲線左支內(nèi)一點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別與雙曲線相交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D．當(dāng)直線AB，CD均不平行于坐標(biāo)軸時(shí)，直線AC，BD分別與直線相交于P．Q兩點(diǎn)，證明：P，Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱．9．已知雙曲線C：(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，其中一條漸近線的傾斜角的正切值為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程；(2)直線l與x軸正半軸相交于一點(diǎn)D，與雙曲線C右支相切(切點(diǎn)不為右頂點(diǎn))，且l分別交雙曲線C的兩條漸近線于M、N兩點(diǎn)，證明：△MON的面積為定值，并求出該定值．10．（2023屆湖南省一模數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與一條漸近線垂直，垂足為，與另一條漸近線相交于點(diǎn)，且都在軸右側(cè)，(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線的右支相切，切點(diǎn)為與直線交于點(diǎn)，試探究以線段為直徑的圓是否過軸上的定點(diǎn).題型六、雙曲線中的定直線1．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.2．（2023屆湖北省調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線C：的離心率為，過點(diǎn)的直線l與C左右兩支分別交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)（異于頂點(diǎn)）．(1)若點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線OP與直線MN斜率之積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；(2)若A，B為雙曲線的左右頂點(diǎn)，且，試判斷直線AN與直線BM的交點(diǎn)G是否在定直線上，若是，求出該定直線，若不是，請(qǐng)說明理由3．已知，分別是雙曲線的左，右頂點(diǎn)，直線（不與坐標(biāo)軸垂直）過點(diǎn)，且與雙曲線交于，兩點(diǎn).（1）若，求直線的方程；（2）若直線與相交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上.4．（2023屆遼寧省一模數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線的離心率為，左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)坐標(biāo)為，且.(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線與的左?右兩支分別交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)在線段上，滿足，證明：在定直線上.5．（2023屆廣東省二模數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，且雙曲線經(jīng)過點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)作動(dòng)直線，與雙曲線的左、右支分別交于點(diǎn)、，在線段上取異于點(diǎn)、的點(diǎn)，滿足，求證：點(diǎn)恒在一條定直線上．6．設(shè)雙曲線1，其虛軸長(zhǎng)為2，且離心率為.(1)求雙曲線C的方程；(2)過點(diǎn)P（3，1）的動(dòng)直線與雙曲線的左右兩只曲線分別交于點(diǎn)A?B，在線段AB上取點(diǎn)M使得，證明：點(diǎn)M落在某一定直線上；(3)在（2）的條件下，且點(diǎn)M不在直線OP上，求△OPM面積的取值范圍.7．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，且滿足，點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）設(shè)，，若過的直線與交于，兩點(diǎn)，且直線與交于點(diǎn).證明：（i）點(diǎn)在定直線上；（ii）若直線與交于點(diǎn)，則.8．設(shè)雙曲線，其虛軸長(zhǎng)為，且離心率為．(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線的左右兩支曲線分別交于點(diǎn)、，在線段上取點(diǎn)使得，證明：點(diǎn)落在某一定直線上．9．（2023年湖南省調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個(gè)焦點(diǎn)到該漸近線的距離為.(1)求C的方程；(2)設(shè)A，B是直線上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線與C交于M，N兩點(diǎn)，證明：直線AM與BN的交點(diǎn)在定直線上.10．（2023屆廣東省調(diào)研數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．(1)求雙曲線的方程；(2)已知點(diǎn)是雙曲線的右支上異于頂點(diǎn)的任意點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且，為的中點(diǎn)，求證：直線與直線的交點(diǎn)在某定曲線上．題型七、雙曲線中的參數(shù)范圍及最值1．已知雙曲線：過點(diǎn)，漸近線方程為，直線是雙曲線右支的一條切線，且與的漸近線交于A，B兩點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)點(diǎn)A，B的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離的最小值．2．已知雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)，它的兩條漸近線分別為和.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)雙曲線C的左?右焦點(diǎn)分別為?，過左焦點(diǎn)作直線l交雙曲線的左支于A?B兩點(diǎn)，求周長(zhǎng)的取值范圍.3．（2023屆安徽省一模數(shù)學(xué)試題）我們約定，如果一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸和短軸分別是另一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸，則稱它們互為“姊妺”圓錐曲線.已知橢圓，雙曲線是橢圓的“姊妺”圓錐曲線，分別為的離心率，且，點(diǎn)分別為橢圓的左?右頂點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線交雙曲線右支于兩點(diǎn)，若直線的斜率分別為.（i）試探究與的比值是否為定值.若是定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由；（ii）求的取值范圍.4．設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為，虛軸長(zhǎng)為，兩準(zhǔn)線間的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)動(dòng)直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，已知，設(shè)點(diǎn)到動(dòng)直線的距離為，求的最大值.5．（2023屆湖北省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn).點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡.(1)求的方程；(2)設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，的角平分線為直線l，過點(diǎn)作l的垂線，垂足為，交于另一點(diǎn)，求的最大值.6．（2023屆浙江省適應(yīng)性考試（三模）數(shù)學(xué)試題）已知拋物線與雙曲線相交于兩點(diǎn)是的右焦點(diǎn)，直線分別交于（不同于點(diǎn)），直線分別交軸于兩點(diǎn).(1)設(shè)，求證：是定值；(2)求的取值范圍.7．（2023屆遼寧省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作一條漸近線的垂線交C于點(diǎn)P，垂足為Q，，，M、N為雙曲線左右頂點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線l交雙曲線C右支于A，B兩點(diǎn)（A在第一象限），若直線AM，BN的斜率分別為，．（i）試探究與的比值是否為定值．若是定值，求出這個(gè)定值：若不是定值，請(qǐng)說明理由；（ii）求的取值范圍．8．（2023屆廣東省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為.當(dāng)時(shí)，.(1)求雙曲線的方程；(2)若的外心為，求的取值范圍.9．已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線的右支上，，的最小值，，且滿足．(1)求雙曲線的離心率；(2)若，過點(diǎn)的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最小值．10．（2023屆重慶市適應(yīng)性月考（四）數(shù)學(xué)試題）與橢圓有公共焦點(diǎn)的雙曲線過點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交雙曲線左支于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）.(1)求雙曲線的方程;(2)求的面積的最小值.題型八、雙曲線中的向量問題1．已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，直線l過F與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，且當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，；(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)F且垂直于l的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，求的取值范圍．2．已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)在上．（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線l與曲線交于M，N兩點(diǎn)，問在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得為常數(shù)？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)及此常數(shù)的值，若不存在，說明理由．3．（2023年湖南省模擬數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，漸近線的斜率為2．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，問在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及此常數(shù)的值；若不存在，說明理由．4．已知雙曲線是其左、右兩個(gè)焦點(diǎn)．是位于雙曲線右支上一點(diǎn)，平面內(nèi)還存在滿足．(1)若的坐標(biāo)為，求的值；(2)若，且，試判斷是否位于雙曲線上，并說明理由；(3)若位于雙曲線上，試用表示，并求出時(shí)的值．5．（2023年湖北省模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且過點(diǎn).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知是雙曲線上不同于的兩點(diǎn)，且于，證明：存在定點(diǎn)，使為定值.6．（2023年四川省模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題）已知雙曲線（，）中，離心率，實(shí)軸長(zhǎng)為4(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線：與雙曲線交于，兩點(diǎn)，且在雙曲線存在點(diǎn)，使得，求的值.7．（2023年湖南省模擬數(shù)學(xué)試題）如圖平面直角坐標(biāo)系中，一直角三角形，，在軸上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在邊上，，的周長(zhǎng)為12.若一雙曲線以為焦點(diǎn)，且經(jīng)過兩點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)若一過點(diǎn)（為非零常數(shù)）的直線與雙曲線相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，且，問在軸上是否存在定點(diǎn)，使？若存在，求出所有這樣定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.8．已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)，離心率為，且過點(diǎn).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)雙曲線的左右頂點(diǎn)為，，且動(dòng)點(diǎn)，在雙曲線上，直線與直線交于點(diǎn)，，，求的取值范圍.9．已知雙曲線C的方程為（），離心率為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過的直線交曲線于兩點(diǎn)，求的取值范圍.10．（2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試·新高考仿真模擬卷數(shù)學(xué)（一））已知分別為雙曲線左、右焦點(diǎn)，在雙曲線上，且．(1)求此雙曲線的方程；(2)若雙曲線的虛軸端點(diǎn)分別為（在軸正半軸上），點(diǎn)在雙曲線上，且，，試求直線的方程．題型九、拋物線中的定點(diǎn)、定值1．（2022年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．2．已知P(1，2)在拋物線C：y2＝2px上．(1)求拋物線C的方程；(2)A，B是拋物線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線PA的斜率與直線PB的斜率之和為2，證明：直線AB過定點(diǎn)．3．如圖，已知是拋物線上一點(diǎn)，直線，的斜率互為相反數(shù)，與拋物線分別交于，兩點(diǎn)，且均在點(diǎn)的下方．證明：直線的斜率為定值．4．（2023屆高三沖刺卷（一）全國(guó)卷文科數(shù)學(xué)試題）已知斜率存在的直線過點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn).(1)若直線的斜率為1，為線段的中點(diǎn)，的縱坐標(biāo)為2，求拋物線的方程；(2)若點(diǎn)也在軸上，且不同于點(diǎn)，直線的斜率滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo).5．已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)過的直線，分別與點(diǎn)P的軌跡相交于點(diǎn)M，N（均異于點(diǎn)Q），記直線，的斜率分別為，，若，求證：直線MN的斜率為定值．6．已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸，F(xiàn)到直線的距離為.點(diǎn)為此拋物線上的一點(diǎn)，.直線l與拋物線交于異于N的兩點(diǎn)A，B，且.(1)求拋物線方程和N點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求證：直線AB過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo).7．過點(diǎn)的任一直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．(1)求的值．(2)已知為拋物線上的兩點(diǎn)，分別過作拋物線的切線，且，求證：直線過定點(diǎn)．8．已知與圓相切的直線l，過拋物線的焦點(diǎn)F，且直線l的傾斜角為.(1)求拋物線E的方程；(2)直線與拋物線E交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，且A，B關(guān)于直線對(duì)稱，在上是否存在點(diǎn)N，使得以為直徑的圓恰好過點(diǎn)N，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說明理由.9．已知拋物線過點(diǎn)．（1）求拋物線的方程；（2）求過點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩個(gè)不同的點(diǎn)(均與點(diǎn)不重合)．設(shè)直線、的斜率分別為、，求證：為定值．10．已知點(diǎn)與點(diǎn)的距離比它到直線的距離小，若記點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)若直線與曲線相交于兩點(diǎn)，且．求證直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．題型十、拋物線中的定直線1．已知F為拋物線的焦點(diǎn)，直線與C交于A，B兩點(diǎn)且.（1）求C的方程.（2）若直線與C交于M，N兩點(diǎn)，且與相交于點(diǎn)T，證明：點(diǎn)T在定直線上.2．（2023屆山東省一模數(shù)學(xué)試題）已知拋物線：上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為3，，為拋物線上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn).延長(zhǎng)，分別交拋物線于點(diǎn)，，直線，相交于點(diǎn).(1)若，求四邊形面積的最小值；(2)證明:點(diǎn)在定直線上.3．（2023屆福建省質(zhì)量檢測(cè)（二檢）數(shù)學(xué)試題）已知拋物線E：（p>0），過點(diǎn)的兩條直線l1，l2分別交E于AB兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)．當(dāng)l1的斜率為時(shí)，(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)設(shè)G為直線AD與BC的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)G必在定直線上．4．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，當(dāng)在上時(shí)，直線的斜率為.（1）求拋物線的方程；（2）在線段上取點(diǎn)，滿足，，證明：點(diǎn)總在定直線上.5．如圖，已知拋物線C：的焦點(diǎn)F，過x軸上一點(diǎn)作兩條直線分別交拋物線于A，B和C，D，設(shè)和所在直線交于點(diǎn)P．設(shè)M為拋物線上一點(diǎn)，滿足以下的其中兩個(gè)條件：①M(fèi)點(diǎn)坐標(biāo)可以為；②軸時(shí)，；③比M到y(tǒng)軸距離大1．（1）拋物線C同時(shí)滿足的條件是哪兩個(gè)？并求拋物線方程；（2）判斷并證明點(diǎn)P是否在某條定直線上，如果是，請(qǐng)求出該直線；如果不是，請(qǐng)說明理由．6．（2023屆江西省名校聯(lián)考摸底測(cè)試數(shù)學(xué)（理）試題）已知拋物線，，是C上兩個(gè)不同的點(diǎn)．(1)求證：直線與C相切；(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，C在A，B處的切線交于點(diǎn)P，證明：點(diǎn)P在定直線上．7．已知拋物線C：（）與圓O：相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為.F是拋物線C的焦點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線l與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)M，N.（1）求拋物線C的方程.（2）過點(diǎn)M，N作拋物線C的切線，，是，的交點(diǎn)，求證：點(diǎn)P在定直線上.8．如圖，已知拋物線直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）證明：；（2）設(shè)拋物線C在點(diǎn)A處的切線為，在點(diǎn)B處的切線為，證明：與的交點(diǎn)M在一定直線上.9．如圖，過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，AM，AN，BC，BD分別垂直于坐標(biāo)軸，垂足依次為M，N，C，D．(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面積分別為，，求的值；(2)求證：直線MN與直線CD交點(diǎn)在定直線上．10．如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足PAB的垂心為原點(diǎn)O.當(dāng)直線l的傾斜角為30°時(shí)，.

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：點(diǎn)P在定直線上.題型十一、拋物線中的參數(shù)范圍及最值1．（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足，求直線斜率的最大值.2．（2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）如圖，已知F是拋物線的焦點(diǎn)，M是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，且，（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)F的直線交拋物線與A?B兩點(diǎn)，斜率為2的直線l與直線，x軸依次交于點(diǎn)P，Q，R，N，且，求直線l在x軸上截距的范圍.3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F且斜率大于0的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，過線段的中點(diǎn)M且與x軸平行的直線依次交直線，，l于點(diǎn)P，Q，N．(1)求證：；(2)若線段上的任意一點(diǎn)均在以點(diǎn)Q為圓心、線段長(zhǎng)為半徑的圓內(nèi)或圓上，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；4．已知拋物線上的任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離比到y(tǒng)軸的距離大.(1)求拋物線C的方程；(2)過拋物線外一點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若三角形ABP的重心G在定直線上，求三角形ABP面積的最大值.5．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于點(diǎn)，且．(1)求拋物線的方程；(2)過點(diǎn)作拋物線的兩條互相垂直的弦，，設(shè)弦，的中點(diǎn)分別為P，Q，求的最小值．6．已知平面上一動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的軌跡方程(2)已知點(diǎn)，過點(diǎn)B引圓的兩條切線BP；BQ，切線BP、BQ與曲線C的另一交點(diǎn)分別為P、Q，線段PQ中點(diǎn)N的縱坐標(biāo)記為，求的取值范圍．7．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M是拋物線的準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求p的值和拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)直線l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，且，求直線l在x軸上截距b的取值范圍．8．已知、、，圓，拋物線，過的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且．(1)求拋物線的方程；(2)若直線與圓交于、兩點(diǎn)，記面積為，面積為，求的取值范圍.9．如圖，為拋物線的焦點(diǎn)，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，中點(diǎn)為，當(dāng)，時(shí)，到軸的距離與到點(diǎn)距離相等.(1)求的值；(2)若存在正實(shí)數(shù)，使得以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，求的取值范圍.10．已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離為．(1)求拋物線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)設(shè)斜率為的直線過點(diǎn)且與拋物線交于不同的兩點(diǎn)、，若且，求斜率的取值范圍．題型十二、拋物線中的向量問題1．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，拋物線上一點(diǎn)到F的距離為3，(1)求拋物線C的方程和點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)設(shè)過點(diǎn)且斜率為k的直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N．若，求斜率k的取值范圍．2．（2018年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（北京卷））已知拋物線C：=2px經(jīng)過點(diǎn)（1，2）．過點(diǎn)Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，，，求證：為定值．3．設(shè)點(diǎn)是拋物線上異于原點(diǎn)O的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作斜率為、的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)（P、A、B三點(diǎn)互不相同）．(1)已知點(diǎn)，求的最小值；(2)若，直線AB的斜率是，求的值；(3)若，當(dāng)時(shí)，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍．4．（2023屆山東省二模數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)和點(diǎn)之間的距離為2，拋物線經(jīng)過點(diǎn)N，過點(diǎn)M的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線，上，且，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.(1)求直線l的傾斜角的取值范圍；(2)求的值.5．如圖所示，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，A在y軸左側(cè)且AB的斜率大于0.(1)當(dāng)直線AB的斜率為1時(shí)，求弦長(zhǎng)的長(zhǎng)；(2)已知為x軸上一點(diǎn)，弦AB過拋物線的焦點(diǎn)F，且斜率，若直線PA，PB分別交拋物線于C、D兩點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)使得，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.6．（2023屆東北三省聯(lián)考二模數(shù)學(xué)試題）從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)過拋物線反射后，光線都平行于拋物線的軸，根據(jù)光路的可逆性，平行于拋物線的軸射向拋物線后的反射光線都會(huì)匯聚到拋物線的焦點(diǎn)處，這一性質(zhì)被廣泛應(yīng)用在生產(chǎn)生活中．如圖，已知拋物線，從點(diǎn)發(fā)出的平行于y軸的光線照射到拋物線上的D點(diǎn)，經(jīng)過拋物線兩次反射后，反射光線由G點(diǎn)射出，經(jīng)過點(diǎn)．(1)求拋物線C的方程；(2)已知圓，在拋物線C上任取一點(diǎn)E，過點(diǎn)E向圓M作兩條切線EA和EB，切點(diǎn)分別為A、B，求的取值范圍．7．已知拋物線C：（）的焦點(diǎn)為F，原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)F的對(duì)稱點(diǎn)為Q，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)Q的對(duì)稱點(diǎn)，也在拋物線C上（1）求p的值；（2）設(shè)直線l交拋物線C于不同兩點(diǎn)A?B，直線?與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M?N，，，且，求直線l的橫截距的最大值.8．（2023屆廣西模擬數(shù)學(xué)（文）試題）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，且直線交軸于，直線交軸于.(1)求直線斜率的取值范圍；(2)證明：存在定點(diǎn)，使得，且.9．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F斜率為的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），交拋物線準(zhǔn)線于G，且滿足．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知C，D為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且，求證直線CD過定點(diǎn)P，并求出P點(diǎn)坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，求的最大值．10．設(shè)拋物線：，以為圓心，5為半徑的圓被拋物線的準(zhǔn)線截得的弦長(zhǎng)為8．(1)求拋物線的方程；(2)過點(diǎn)的兩條直線分別與曲線交于點(diǎn)A，B和C，D，且滿足，，求證：線段的中點(diǎn)在直線上．題型十三、曲線與方程1．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；(2)已知矩形有三個(gè)頂點(diǎn)在上，證明：矩形的周長(zhǎng)大于．2．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離比到點(diǎn)的距離大1．(1)求動(dòng)點(diǎn)所在的曲線的方程；(2)已知點(diǎn)，是曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，證明直線的斜率為定值，并求出這個(gè)定值；3．（2017年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)2卷））設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足.（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，且.證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線過C的左焦點(diǎn)F.4．已知，平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)滿足．(1)求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的軌跡方程；(2)已知直線與曲線交于，兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，恒成立，試探究直線的斜率是否為定值？若為定值請(qǐng)求出該定值，若不是定值請(qǐng)說明理由．5．已知圓心在x軸上移動(dòng)的圓經(jīng)過點(diǎn)A（-4，0），且與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B（x，0），C（0，y）兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記點(diǎn)D（x，y）的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過點(diǎn)F（1，0）的直線l與曲線交于P，Q兩點(diǎn)，直線OP，OQ與圓的另一交點(diǎn)分別為M，N（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求△OMN與△OPQ的面積之比的最大值.6．（2023屆廣東省二模數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)，P為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，以為直徑的圓與y軸相切，點(diǎn)P的軌跡記為C．(1)求C的方程；(2)過點(diǎn)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A且垂直于l的直線交x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B且垂直于l的直線交x軸于點(diǎn)N.當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，求l的方程.7．如圖所示，C為半圓錐頂點(diǎn)，O為圓錐底面圓心，BD為底面直徑，A為弧BD中點(diǎn)．是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，弦AD上點(diǎn)E使得二面角的大小為30°，且．(1)求t的值；(2)對(duì)于平面ACD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P總有平面BEC，請(qǐng)指出P的軌跡，并說明該軌跡上任意點(diǎn)P都使得平面BEC的理由．8．在直角坐標(biāo)系中，曲線的方程為．為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)的軌跡為曲線．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求曲線，的極坐標(biāo)方程；(2)曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，求的最大值．9．已知雙曲線C：的離心率為2，，為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線C上的一個(gè)點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程；(2)若過點(diǎn)且不與漸近線平行的直線l（斜率不為0）與雙曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，記雙曲線C在點(diǎn)M，N處的切線分別為，，點(diǎn)P為直線與直線的交點(diǎn)，試求點(diǎn)P的軌跡方程（注：若雙曲線的方程為，則該雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為）10．（2023屆湖南省質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一）數(shù)學(xué)試題）已知直線：和直線：，過動(dòng)點(diǎn)E作平行的直線交于點(diǎn)A，過動(dòng)點(diǎn)E作平行的直線交于點(diǎn)B，且四邊形OAEB（O為原點(diǎn)）的面積為4.(1)求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程；(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E的軌跡的焦點(diǎn)在x軸時(shí)，記軌跡為曲線，若過點(diǎn)的直線m與曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)N，若，，求證：為定值.題型十四、圓錐曲線新定義1．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中．阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比，是一個(gè)常數(shù)，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線上．已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點(diǎn)分別為橢圓的右焦點(diǎn)與右頂點(diǎn)，且橢圓的離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，過右焦點(diǎn)斜率為的直線與橢圓相交于，（點(diǎn)在軸上方），點(diǎn)，是橢圓上異于，的兩點(diǎn)，平分，平分．①求的取值范圍；②將點(diǎn)、、看作一個(gè)阿波羅尼斯圓上的三點(diǎn)，若外接圓的面積為，求直線的方程．2．定義：若點(diǎn)，在橢圓上，并且滿足，則稱這兩點(diǎn)是關(guān)于M的一對(duì)共軛點(diǎn)，或稱點(diǎn)