2025-2026學(xué)年江蘇省宿遷市宿城區(qū)項(xiàng)里學(xué)校九年級(jí)（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是(

)A.?x2+2x=3 B.x+1x=42.用配方法解方程x2?2x?5=0時(shí)，原方程變形為(

)A.(x+1)2=6 B.(x?1)2=63.已知直線l與⊙O相交，圓心O到直線l的距離為4，則⊙O的半徑可能是(

)A.2 B.3 C.4 D.54.如圖，A，B，C三點(diǎn)在⊙O上，且∠BOC=100°，則∠A的度數(shù)為(

)A.40°

B.50°

C.80°5.某種品牌的手機(jī)經(jīng)過(guò)四、五月份連續(xù)兩次降價(jià)，每部售價(jià)由3200元降到了2500元，設(shè)平均每月降低的百分率為x，根據(jù)題意列出的方程是(

)A.2500(1+x)2=3200 B.2500(1?x)2=32006.如圖半徑為5的⊙A與y軸交于B(0,2)，C(0,10)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(

)A.(3,6)

B.(3,5)

C.(2,4)

D.(2,3)

7.如圖，在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，E是矩形內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AE⊥BE，則線段CE最小值為(

)A.8

B.10

C.12

D.68.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC=120°，弦BD平分∠ABC并交AC于點(diǎn)E，弦AC=23，連接DA，DC，則⊙O的半徑是A.2

B.3

C.32

二、填空題：本題共10小題，每小題3分，共30分。9.若x=1是一元二次方程x2?3x+m=0的一個(gè)根，則m=______.10.關(guān)于x的一元二次方程(x+5)2=m有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是

11.如圖，⊙O的半徑為6，直角三角板的30°角的頂點(diǎn)A落在⊙O上，兩邊與圓交于點(diǎn)B、C，則弦BC的長(zhǎng)為_(kāi)_____.

12.已知點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，若點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最長(zhǎng)距離為5，最短距離為1，則⊙O的半徑為_(kāi)_____.13.如圖，在⊙O中，直徑AB⊥CD，垂足為E，若AE=CD=4，則⊙O的半徑為_(kāi)_____.

14.如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為圓上兩點(diǎn)且∠COD=64°，連接AC、BD并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，則∠E的大小為_(kāi)_____.

15.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若四邊形ABCO是平行四邊形，則∠ADC=

.

16.已知O為△ABC的外心，∠BOC=70°，則∠A=

.17.在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A(3,0)為圓心，13為半徑作⊙A.直線y=kx?3k+2與⊙A交于B，C兩點(diǎn)，則BC的最小值為_(kāi)_____.18.如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=22，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，AM的最小值是______.

三、計(jì)算題：本大題共1小題，共10分。19.將圖中的破輪子復(fù)原，已知弧上三點(diǎn)A，B，C.

(1)畫(huà)出該輪的圓心；

(2)若△ABC是等腰三角形，底邊BC=16cm，腰AB=10cm，求圓片的半徑R.四、解答題：本題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。20.(本小題8分)

解方程：

(1)x2?9=2(x?3)；21.(本小題8分)

已知關(guān)于x的一元二次方程x2?2x?3m2=0.

(1)求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1、x222.(本小題8分)

如圖，CD是⊙O的直徑，E是⊙O上一點(diǎn)，∠EOD=48°，A為DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AB=OC，求∠A的度數(shù).23.(本小題8分)

如圖，⊙O的弦AB、CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，且PA=PC.求證：AB=CD.24.(本小題10分)

某商店經(jīng)銷的某種商品，每件成本價(jià)為40元．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，售價(jià)為50元/件，可銷售150件；銷售單價(jià)每提高1元，銷售量將減少5件．如果商店將一批這種商品全部售完，盈利了1500元，問(wèn)：該商店銷售了這種商品多少件？每件售價(jià)多少元？25.(本小題10分)

如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在⊙O上且CF=CA，連接AF.

(1)求證：AF=CD；

(2)連接BF，BD.若AE=2，BF=6，求BD的長(zhǎng).26.(本小題10分)

如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠BAC=90°，AD平分∠BAC，且交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE//BC，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BD、CD.

(1)求證：DE是⊙O的切線；

(2)若AB=8，AC=6，求BD的長(zhǎng)27.(本小題12分)

如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以1cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)當(dāng)t=2時(shí)，△DPQ的面積為_(kāi)_____cm2；

(2)是否存在一個(gè)時(shí)刻，使得點(diǎn)Q在DP的垂直平分線上，若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)A、P、Q、D四點(diǎn)恰好在同一個(gè)圓上時(shí)，求t的值.28.(本小題12分)

某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在一次活動(dòng)中，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題作如下探究：

【問(wèn)題探究】如圖1，AD，BD為⊙O的兩條弦(AD<BD)，點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，過(guò)C作CE⊥BD、垂足為E.求證：BE=DE+AD.

小明同學(xué)的思路是：如圖2.在BE上截取BF=AD，連接CA，CB，CD，CF…請(qǐng)你按照小明的思路完成上述問(wèn)題的證明過(guò)程.

【結(jié)論運(yùn)用】如圖3，△ABC是⊙O的內(nèi)接等邊三角形，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，∠ACD=45°，連接BD，CD.過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E.若AB=22，求△BCD的周長(zhǎng).

【變式探究】如圖4，若將(問(wèn)題探究)中“點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)C為優(yōu)弧ACB的中點(diǎn)”，其他條件不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出BE、AD、DE之間的等量關(guān)系.

參考答案1.A

解：根據(jù)一元二次方程的定義：方程的兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且整理后未知數(shù)的最高次數(shù)是2，像這樣的方程叫做一元二次方程．

A.?x2+2x=3是關(guān)于x的一元二次方程，故A符合題意；

B.x+1x=4是分式方程，故B不符合題意；

C.x3+2x?1=0的最高次數(shù)是3，故C不符合題意；

D.x2+2y=2含有2個(gè)未知數(shù)x，y解：移項(xiàng)得x2?2x=5，

配方得x2?2x+1=6，

(x?1)2=6，解：∵直線l與⊙O相交，圓心O到直線l的距離為4，

∴⊙O的半徑大于4，

故選：D.

4.B

解：由題意得∠A=12∠BOC=12×100解：依題意得：兩次降價(jià)后的售價(jià)為3200(1?x)2=2500，

故選：C.

解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，連接AB，

∵⊙A的半徑為5，B(0,2)、C(0,10)，

∴AB=5，BC=10?2=8，OB=2，

∵AD⊥BC，AD過(guò)圓心A，

∴CD=BD=4，

∴OD=2+4=6，

∴AD=AB2?BD2=52解：如圖，連接OC交圓于E′，當(dāng)E與E′重合時(shí)，線段CE的長(zhǎng)最小，

∵AE⊥BE，

∴∠AEB=90°，

∴E在以AB為直徑的⊙O上，

∵AB=10，

∴OB=OA=OE′=5，

∵BC=12，

∴OC=OB2+BC2=13，

∴CE′=OC?OE′=13?5=8，

∴線段CE解：如圖，連接DO并延長(zhǎng)，交AC于H，

∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠ABC+∠ADC=180°，

∴∠ADC=180°?120°=60°，

∵BD平分∠ABC，

∴AD=CD，

∴AD=CD，

∴△ADC為等邊三角形，DH⊥AC，

∴AH=12AC=3，

由勾股定理得：DH=AD2?AH2=(23)2?(解：將x=1代入得：1?3+m=0，

解得：m=2.

故答案為：2.

10.m≥0

解：∵一元二次方程(x+5)2=m有實(shí)數(shù)根，

∴m≥0.

故答案為：m≥0.

解：如圖所示，連接OC，OB，

∵弧BC=弧BC，∠BAC=30°，

∴∠COB=2∠BAC=60°，

又∵OC=OB=6，

∴△OCB是等邊三角形，

∴BC=6，

故答案為：6.

12.2解：當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，則直徑=5+1=6，因而半徑是3；

當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，直徑=5?1=4，因而半徑是2.

所以⊙O的半徑為2或3.

故答案為：2或3.

13.2.5

解：連接OC，設(shè)⊙O的半徑為R，則OC=OA=R，

∵AB⊥CD，AB過(guò)圓心O，CD=4，

∴CE=DE=2，

在Rt△OEC中，由勾股定理得：OC2=OE2+CE2，

∴R2=(4?R)2+22，

解得：解：連接BC，

∵∠COD=64°，

∴∠CBD=12∠COD=32°，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠BCE=180°?∠ACB=解：設(shè)∠ADC的度數(shù)=α，∠ABC的度數(shù)=β；

∵四邊形ABCO是平行四邊形，

∴∠ABC=∠AOC；

∵∠ADC=12β，∠AOC=α；

而α+β=180°，

∴α+β=180°α=12β，

解得：α=60解：如圖，當(dāng)圓心O與點(diǎn)A在BC的同側(cè)時(shí)，

∴∠BAC=12∠BOC=35°；

如圖，當(dāng)圓心O與點(diǎn)A在BC的兩側(cè)時(shí)，

延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)D，連接CD，

∵∠D=12∠BOC，

∴∠D=35°.

∵四邊形ACDB為圓的內(nèi)接四邊形，

∴∠BAC+∠D=180°.

∴∠BAC=180°解：對(duì)于y=kx?3k+2，當(dāng)x=3時(shí)，y=2，

∴直線y=kx?3k+2過(guò)定點(diǎn)P(3,2)，

∵點(diǎn)A(3,0)，

∴AP=(3?3)2+(2?0)2=2，

又∵⊙A的半徑為13，AP<13，

∴點(diǎn)P在⊙A內(nèi)部，

根據(jù)垂徑定理得：當(dāng)直線y=kx?3k+2與AP垂直時(shí)，BC為最小，如圖所示：

則BP=CP，

∴BC=2BP，

在Rt△ABP中，AB=13，AP=2，

由勾股定理得：BP=AB解：如圖，取AB中點(diǎn)O，連接OP，OC，取OC的中點(diǎn)K，連接MK.

∵AC=BC=22，∠ACB=90°，

∴AB=8+8=4，

∴OP=12AB=2，

∵CM=MP，CK=OK，

∴MK=12OP=1，

當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑是以K為圓心，1為半徑的半圓，

∴AM≥AK?MK，當(dāng)且僅當(dāng)A、M、K三點(diǎn)共線時(shí)取等，

連接AK，過(guò)K作KG⊥AC于點(diǎn)G，

∵AC=BC，

∴∠ACO=45°，

∵CK=12CO=12，

∴GK=GC=219.解：(1)如圖所示：分別作弦AB和AC的垂直平分線交點(diǎn)O即為所求的圓心；

(2)連接AO，OB，

∵BC=16cm，

∴BD=8cm，

∵AB=10cm，

∴AD=6cm，

設(shè)圓片的半徑為R，在Rt△BOD中，OD=(R?6)cm，

∴R2=82+(R?6)2，

解得：R=25320.解：(1)x2?9=2(x?3)，

(x+3)(x?3)=2(x?3)，

(x+3)(x?3)?2(x?3)=0，

(x?3)(x+3?2)=0，

∴x?3=0或x+3?2=0，

解得：x1=3，x2=?1；

(2)∵a=1，b=?5，c=3，

∴Δ=b2?4ac=(?5)2?4×1×3=13>021.(1)證明：∵a=1，b=?2，c=?3m2，

∴Δ=(?2)2?4×1?(?3m2)

=4+12m2>0，

∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)解：由題意得：

x1+x2=2x1+2x2=5，

解得：x1=?1x2=3，

∵x1?x2=?3m2，

∴?3m223.證明：連接AC、OA、OB、OC、OD，如圖所示，

∵PA=PC，

∴∠PAC=∠PCA，

∵∠PAC=12∠BOC，∠PCA=12∠AOD

∴∠BOC=∠AOD

∴BC=AD，

24.解：設(shè)每件售價(jià)為x元，則可售出這種商品[150?5(x?50)]件，

根據(jù)題意得：(x?40)[150?5(x?50)]=1500，

整理得：x2?120x+3500=0，

解得：x1=50，x2=70，

當(dāng)x=50時(shí)，150?5(x?50)=150；

當(dāng)x=70時(shí)，150?5(x?50)=50.

答：每件售價(jià)為50元時(shí)，銷售這種商品15025.(1)證明：∵CD⊥AB于點(diǎn)E，

∴AC=AD，

∵CF=CA，

∴CD=AF，

∴AF=CD；

(2)解：連接OC，

∵CF=CA，

∴OC⊥AF，

∴AH=FH，

∵OA=OB，

∴OH是△ABF的中位線，

∴OH=12BF=12×6=3，

∵OE⊥CD，CD=AF，

26.(1)證明：連接OD，如圖：

∵∠BAC=90°，

∴BC是⊙O的直徑，

∴∠BDC=90°，

∵AD平分∠BAC，

∴BD=CD，

∴BD=CD，

∴△BCD是等腰直角三角形，

∵OB=OC，

∴DO⊥BC，

∵DE//BC，

∴OD⊥DE，

∵OD是圓的半徑，

∴DE是⊙O的切線；

(2)解：在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，

∴BC=A27.解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC=12cm，CD=AB=6cm，∠A=∠B=∠C=90°，

由題意得：AP=tcm，BQ=2tcm，

∴BP=AB?AP=(6?t)cm，CQ=BC?BQ=(12?2t)cm，

當(dāng)t=2時(shí)，AP=2cm，