專題01線段周長面積最大值（專項(xiàng)訓(xùn)練）1．（2022春?豐城市校級期末）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，﹣3）．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若P是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，PH⊥x軸于點(diǎn)H，與BC交于點(diǎn)M，連接PC．求線段PM的最大值；2．（2022?玉州區(qū)一模）如圖，拋物線y＝﹣x2x+4交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在A的右邊），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，PM交BC于點(diǎn)Q．（1）求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)P作PN上BC，垂足為點(diǎn)N，請用含m的代數(shù)式表示線段PN的長，并求出當(dāng)m為何值時(shí)PN有最大值，最大值是多少？3．（2022?懷化）如圖一所示，在平面直角坐標(biāo)中，拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．在線段CB上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，作PF∥AB交BC于點(diǎn)F．（1）求拋物線和直線BC的函數(shù)表達(dá)式．（2）當(dāng)△PEF的周長為最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PEF的周長．4．（2022?黃岡模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+2與x軸交點(diǎn)為A（﹣4，0）、B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，P為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AC于D．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，若P在直線AC上方，PE⊥x軸于E，交AC于F．①求sin∠PFD的值；②求線段PD的最大值．5．（2022?齊齊哈爾模擬）綜合與探究如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上一點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）在直線BC上方的拋物線上找一點(diǎn)P，作PG⊥BC，求線段PG的最大值；6．（2022?習(xí)水縣模擬）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，C兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)C的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)B，且C（1，0），OA＝OB＝3．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）若點(diǎn)P是拋物線位于第二象限上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交直線AB于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D．求線段PD的最大值；7．（2022?覃塘區(qū)三模）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，﹣1）和點(diǎn)B（5，4），P是直線AB下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PC∥y軸與AB交于點(diǎn)C，PD⊥AB于點(diǎn)D，連接PA．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）當(dāng)△PCD的周長取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PCD周長的最大值；8．（2022?大同三模）綜合與實(shí)踐如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣x﹣3的圖象與x軸交于點(diǎn)A和B，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求直線BC的函數(shù)解析式；（2）如圖2，點(diǎn)D在直線BC下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)D作DM∥y軸交BC于點(diǎn)M，9．（2022春?浦江縣期末）如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，9），與坐標(biāo)軸交于B、C、D三點(diǎn)，且B點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，0）．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在二次函數(shù)圖象位于x軸上方部分有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N，且點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)，過M、N作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)G、H兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形MNHG為矩形時(shí)，求該矩形周長的最大值；10.（婁底）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，且過點(diǎn)D（2，﹣3）．點(diǎn)P、Q是拋物線y＝ax2+bx+c上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線OD下方時(shí)，求△POD面積的最大值．11．（2022春?青秀區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c，與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)E、B．且點(diǎn)A（0，5），B（5，0），拋物線的對稱軸與AB交于點(diǎn)M．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）若點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，PM，求△PMB面積的最大值；12．直線l：y＝﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，與拋物線y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）交于點(diǎn)B，如圖所示．（1）求該拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，四邊形OAMB的面積為S，求S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值；專題01線段周長面積最大值（專項(xiàng)訓(xùn)練）1．（2022春?豐城市校級期末）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，﹣3）．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若P是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，PH⊥x軸于點(diǎn)H，與BC交于點(diǎn)M，連接PC．求線段PM的最大值；【解答】解：（1）將A，B，C代入函數(shù)解析式得，，解得，∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)＝x2﹣2x﹣3；（2）①設(shè)BC的解析式為y＝kx+b，將B，C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得，，解得，∴BC的解析式為y＝x﹣3，設(shè)M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，當(dāng)n＝時(shí)，PM最大＝，∴線段PM的最大值；2．（2022?玉州區(qū)一模）如圖，拋物線y＝﹣x2x+4交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在A的右邊），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，PM交BC于點(diǎn)Q．（1）求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)P作PN上BC，垂足為點(diǎn)N，請用含m的代數(shù)式表示線段PN的長，并求出當(dāng)m為何值時(shí)PN有最大值，最大值是多少？【解答】解：（1）當(dāng)y＝0，﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣3，x2＝4，∴A（﹣3，0），B（4，0），（2）設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+m+4），則點(diǎn)Q（m，﹣m+4），∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，P～N＝PQ?sin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）＝﹣（m﹣2）2+，∵﹣＜0，∴PN有最大值，當(dāng)m＝2時(shí)，PN的最大值為．3．（2022?懷化）如圖一所示，在平面直角坐標(biāo)中，拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．在線段CB上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，作PF∥AB交BC于點(diǎn)F．（1）求拋物線和直線BC的函數(shù)表達(dá)式．（2）當(dāng)△PEF的周長為最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PEF的周長．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0），∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，可得y＝3，∴C（0，3），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，則，∴，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3；（2）如圖一中，連接PC，OP，PB．設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝45°，∵PF∥AB，∴∠PFE＝∠OBC＝45°，∵PE⊥BC，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PE的值最大時(shí)，△PEF的周長最大，∵S△PBC＝S△POB+S△POC﹣S△OBC＝×3×（﹣m2+2m+3）+×3×m﹣×3×3＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴m＝時(shí)，△PBC的面積最大，面積的最大值為，此時(shí)PE的值最大，∵×3×PE＝，∴PE＝，∴△PEF的周長的最大值＝++＝+，此時(shí)P（，）；4．（2022?黃岡模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+2與x軸交點(diǎn)為A（﹣4，0）、B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，P為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AC于D．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，若P在直線AC上方，PE⊥x軸于E，交AC于F．①求sin∠PFD的值；②求線段PD的最大值．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+2與x軸交點(diǎn)為A（﹣4，0）、B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，令x＝0，則c＝2，∴C（0.2），設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+4）（x﹣1），將點(diǎn)（0，2）代入得，2＝﹣4a，解得：a＝﹣，∴y＝﹣（x+4）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+2，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+2；（2）①∵PE⊥x軸，∴∠AFE＝∠ACO，又∵∠PFD＝∠AFE，∴∠PFD＝∠ACO，∴sin∠PFD＝sin∠ACO＝，∵A（﹣4，0），C（0，2），∴AO＝4，OC＝2，∴AC＝＝2．∴sin∠PFD＝sin∠ACO＝＝＝；②設(shè)過A（﹣4，0）C（0，2）的直線解析式為y＝kx+b，則，解得：，∴直線AC解析式為y＝x+2，設(shè)P（m，﹣m2﹣m+2），則F（m，m+2），∴PF＝﹣﹣m+2﹣m﹣2＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+2）2+2，∴當(dāng)m＝﹣2時(shí)，PF有最大值2，∵PD＝PF?sin∠PFD，∴PF取最大值時(shí)，PD取最大值，∴PD最大值為×2＝；5．（2022?齊齊哈爾模擬）綜合與探究如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上一點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）在直線BC上方的拋物線上找一點(diǎn)P，作PG⊥BC，求線段PG的最大值；【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）如圖1，過P點(diǎn)作PH∥y軸交BC于點(diǎn)H，令x＝0，則y＝3，∴C（0，3），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+3，設(shè)P（t，﹣t2+2t+3），則H（t，﹣t+3），∴PH＝﹣t2+3t，∵C（0，3），B（3，0），∴BC＝3，∴S△PBC＝×BC×PG＝×BO×PH，∴PG×3＝3（﹣t2+3t），∴PG＝﹣（t﹣）+，∵點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上，∴0＜t＜3，∴當(dāng)t＝時(shí)，PG有最大值；6．（2022?習(xí)水縣模擬）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，C兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)C的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)B，且C（1，0），OA＝OB＝3．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）若點(diǎn)P是拋物線位于第二象限上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交直線AB于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D．求線段PD的最大值；【解答】解：（1）∵OA＝OB＝3，∴A（﹣3，0），B（0，3），∵C（1，0），∴，∴，∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；（2）①∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∵PQ∥y軸，∴PH⊥OA，∴∠QHA＝90°，∴∠PQD＝∠AQH＝45°，∴△PQD是等腰直角三角形，∴PD＝PQ，∴當(dāng)PQ取得最大值時(shí)，PD的值最大，設(shè)AB的解析式為y＝kx+n，∴，∴，∴y＝x+3，設(shè)P（m，﹣m2﹣2m+3），∵PQ∥y軸，∴Q（m，m+3），∴PQ＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∴m＝﹣時(shí)，PQ最長為，∴線段PD的最大值為7．（2022?覃塘區(qū)三模）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，﹣1）和點(diǎn)B（5，4），P是直線AB下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PC∥y軸與AB交于點(diǎn)C，PD⊥AB于點(diǎn)D，連接PA．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）當(dāng)△PCD的周長取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PCD周長的最大值；【解答】解：（1）由題意得：，解得：，則拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣4x﹣1；（2）設(shè)直線AB的表達(dá)式為：y＝kx+a（k≠0），∵A（0，﹣1），B（5，4），∴，解得：，∴直線AB的表達(dá)式為：y＝x﹣1，設(shè)直線AB交x軸于點(diǎn)M，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1，∵OA＝OM＝1，∵∠AOM＝90°，∴∠OAB＝45°，∵CP∥y軸，∴∠DCP＝∠OAB＝45°，∵PD⊥AB，∴△PCD是等腰直角三角形，即CD＝PD，∴PC＝＝CD，即CD＝PD＝PC，∴△PCD的周長為：PC+PD+CD＝（+1）PC，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2﹣4x﹣1），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，x﹣1），∴（+1）PC＝（+1）[（x﹣1）﹣（x2﹣4x﹣1）]＝﹣（+1）[（x﹣）2﹣]，∵﹣（+1）＜0，∴當(dāng)x＝時(shí)，△PCD周長取得最大值，最大值為（+1），此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）；8．（2022?大同三模）綜合與實(shí)踐如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣x﹣3的圖象與x軸交于點(diǎn)A和B，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求直線BC的函數(shù)解析式；（2）如圖2，點(diǎn)D在直線BC下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)D作DM∥y軸交BC于點(diǎn)M，作DN⊥BC于點(diǎn)N，當(dāng)△DMN的周長最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及△DMN周長的最大值；【解答】解：（1）由拋物線y＝x2﹣x﹣3，x＝0時(shí)，y＝﹣3，∴C（0，﹣3），y＝0時(shí)，x2﹣x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝4，∴A（﹣3，0），B（4，0），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b（k≠0），將B（4，0），C（0，﹣3）代入，，解得，∴直線BC的解析式為y＝x﹣3；（2）∵DM∥y軸，∴∠OCB＝∠CMD，∵B（4，0），C（0，﹣3），∴BC＝，∵sin∠OCB＝，cos∠OCB＝，DN⊥BC，∴sin∠DMN＝，cos∠DMN＝，∴DN＝，MN＝，設(shè)△DMN的周長為L，∴L＝DM+DN+MN＝，設(shè)D（x，x2﹣x﹣3），則M（x，），∴DM＝＝，∴L＝，即L＝﹣，∵開口向下，∴頂點(diǎn)（2，）最高，∴x＝2時(shí)，，∴，∴D（2，﹣），∴△DMN的周長最大時(shí)，D點(diǎn)的坐標(biāo)（2，﹣），△DMN的周長最大值為；9．（2022春?浦江縣期末）如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，9），與坐標(biāo)軸交于B、C、D三點(diǎn)，且B點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，0）．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在二次函數(shù)圖象位于x軸上方部分有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N，且點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)，過M、N作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)G、H兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形MNHG為矩形時(shí)，求該矩形周長的最大值；【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+9，將點(diǎn)B（﹣2，0）代入，∴9a+9＝0，∴a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）2+9＝﹣x2+2x+8；（2）設(shè)M（m，﹣m2+2m+8），則N（2﹣m，﹣m2+2m+8），∴MN＝2m﹣2，MG＝﹣m2+2m+8，∴矩形MNHG的周長＝2（MN+MG）＝2（﹣m2+4m+6）＝﹣2（m﹣2）2+20，∴當(dāng)m＝2時(shí)，矩形MNHG的周長有最大值20；10.（婁底）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，且過點(diǎn)D（2，﹣3）．點(diǎn)P、Q是拋物線y＝ax2+bx+c上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線OD下方時(shí)，求△POD面積的最大值．【答案】（1）：y＝x2﹣2x﹣3（2）①﹣m2+m+3②【解答】解：（1）函數(shù)的表達(dá)式為：y＝a（x+1）（x﹣3），將點(diǎn)D坐標(biāo)代入上式并解得：a＝1，故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）設(shè)點(diǎn)P（m，m2﹣2m﹣3），①當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，設(shè)直線PD與y軸交于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)P（m，m2﹣2m﹣3），將點(diǎn)P、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝sx+t并解得：直線PD的表達(dá)式為：y＝mx﹣3﹣2m，則OG＝3+2m，S△POD＝×OG（xD﹣xP）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，②當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，設(shè)PD交y軸于點(diǎn)M，同理可得：S△POD＝×OM（xD﹣xP）＝﹣m2+m+3，綜上，S△POD＝﹣m2+m+3，∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，當(dāng)m＝時(shí)，其最大值為；11．（2022春?青秀區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c，與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)E、B．且點(diǎn)A（0，5），B（5，0），拋物線的對稱軸與AB交于點(diǎn)M．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）若點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一動(dòng)